VI- HèNH HOẽC GIẢI TÍCH 1 Tóa ủoọ , vectụ :
5. ẹửụứng troứn :
* ẹửụứng troứn (C) xaực ủũnh bụỷi tãm I(a,b) vaứ bk R : (C) : (x – a)2 + (y – b)2 = R2
* (C) : x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 coự tãm I(–A,–B), bk R = A2+B2 −C
* (d) tx (C) ⇔ d(I, (d)) = R, caột ⇔ < R, khõng caột ⇔ > R. * Tieỏp tuyeỏn vụựi (C) tái M(xo,yo) : phãn ủõi t/ủoọ trong (C) :
(xo–a)(x–a) + (yo–b)(y–b) = R hay xox + yoy + A(xo + x) + B(yo + y) + C = 0 * Cho (C) : F(x,y) = x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 thỡ PM/(C) = F(xM, yM) =
MB .
MA = MT2 = MI2 – R2 vụựi MAB : caựt tuyeỏn, MT : tieỏp tuyeỏn ; M ∈ (C) ⇔
PM/(C) = 0 , M trong (C) ⇔ PM/(C) < 0, ngoaứi ⇔ > 0.
* Trúc ủaỳng phửụng cuỷa (C) vaứ (C/) :2(A – A/)x + 2(B – B/)y + (C – C/) = 0 * (C), (C/) ngoaứi nhau ⇔ II/ > R + R/ : (coự 4 tieỏp tuyeỏn chung); tx ngoaứi ⇔ = R + R/ (3 tieỏp tuyeỏn chung); caột ⇔ R−R/ < II/ < R + R/ (2 tt chung); tx trong ⇔
= R−R/ (1 tt chung laứ trúc ủaỳng phửụng) chửựa nhau ⇔ < R−R/ (khõng coự tt chung).
6. Maởt cầu :
* Mc (S) xủ bụỷi tãm I (a, b, c) vaứ bk R : (S) : (x – a)2 + (y – b2) + (z – c)2 = R2. * (S) : x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 coự tãm I(–A,–B,–C), bk R =
D C B
A2+ 2 + 2−
* (P) tx (S) ⇔ d(I,(P)) = R, caột ⇔ < R, khõng caột ⇔ > R. * Pt tieỏp dieọn vụựi (S) tái M : phãn ủõi tủoọ (S).
* Cho (S) : F(x, y, z) = 0. PM/(S) = F (xM, yM, zM); PM/(S) = 0 ⇔ M ∈ (S), < 0
⇔ M trong (S), > 0 ⇔ M ngoaứi (S). * Maởt ủaỳng phửụng cuỷa (S) vaứ (S/) :
2(A – A/)x + 2(B – B/)y + 2(C – C/)z + (D – D/) = 0 * Tửụng giao giửừa (S), (S/) : nhử (C), (C/).
* Khi (S), (S/) tx trong thỡ tieỏt dieọn chung laứ maởt ủaỳng phửụng. * Khi (S), (S/) caột nhau thỡ mp qua giao tuyeỏn laứ maởt ủaỳng phửụng.
7. Elip : * cho F1, F2, F2F2 = 2c, cho a > c > 0 M ∈ (E) ⇔ MF1 + MF2 = 2a. M ∈ (E) ⇔ MF1 + MF2 = 2a. * (E) : 22 22 b y a x
+ = 1 (a > b > 0) : tiẽu ủieồm : F1(–c,0), F2(c,0); ủổnh A1(–a,0); A2(a,0); B1(0,–b); B2(0,b); tiẽu cửù : F1F2 = 2c, trúc lụựn A1A2 = 2a; trúc nhoỷ
B1B2 = 2b; tãm sai e = c/a; ủửụứng chuaồn x = ± a/e; bk qua tiẽu : MF1 = a + exM, MF2 = a – exM; tt vụựi (E) tái M : phãn ủõi tóa ủoọ (E),
(E) tx (d) : Ax + By + C = 0 ⇔ a2A2 + b2B2 = C2 ; a2 = b2 + c2. * (E) : 1 a y b x 2 2 2 2 =
+ (a > b > 0) : khõng chớnh taộc; tiẽu ủieồm : F1(0,–c), F2(0,c); ủổnh A1(0,–a), A2(0,a), B1(–b,0), B2(b,0), tiẽu cửù : F1F2 = 2c; trúc lụựn A1A2 = 2a; trúc nhoỷ B1B2 = 2b; tãm sai e = c/a; ủửụứng chuaồn y = ± a/e; baựn kớnh qua tiẽu MF1 = a + eyM, MF2 = a – eyM; tieỏp tuyeỏn vụựi (E) tái M : phãn ủõi tóa ủoọ (E); (E) tieỏp xuực (d) : Ax + By + C = 0 ⇔ a2B2 + b2 A2 = C2; a2 = b2 + c2 (Chuự yự : taỏt caỷ caực keỏt quaỷ cuỷa trửụứng hụùp naứy suy tửứ trửụứng hụùp chớnh taộc trẽn baống caựch thay x bụỷi y, y bụỷi x).
8. Hypebol :* Cho F1, F2, F2F2 = 2c, cho 0 < a < c. * Cho F1, F2, F2F2 = 2c, cho 0 < a < c. M ∈ (H) ⇔ MF1−MF2 = 2a (H) : 22 22 b y a x − = 1 (pt chớnh taộc)
tiẽu ủieồm F1(–c,0), F2(c,0); ủổnh tr.thửùc A1(–a,0), A2(a,0); ủổnh trúc aỷo B1(0,–b), B2(0,b); tiẽu cửù F1F2 = 2c; ủoọ daứi trúc thửùc A1A2 = 2a; ủoọ daứi trúc aỷo B1B2 = 2b; tãm sai : e = c/a; ủửụứng chuaồn : x = ± a/e; baựn kớnh qua tiẽu : M ∈ nhaựnh
MF2 = –exM + a; tieỏp tuyeỏn vụựi (H) tái M : phãn ủõi tóa ủoọ (H); (H) tx (d) : Ax + By + C = 0 ⇔ a2A2 – b2B2 = C2 > 0; tieọm caọn y = ± abx hỡnh chửừ nhaọt cụ sụỷ : x = ± a, y = ± b; c2 = a2 + b2. (H) : 1 b x a y 2 2 2 2 = − (pt khõng chớnh taộc)
tiẽu ủieồm F1(0,–c), F2(0,c); ủổnh trúc thửùc A1(0,–a), A2(0,a); ủổnh trúc aỷo B1(– b,0), B2(b,0); tiẽu cửù F1F2 = 2c; ủoọ daứi trúc thửùc A1A2 = 2a; ủoọ daứi trúc aỷo B1B1
= 2b; tãm sai : e = c/a; ủửụứng chuaồn : y = ± a/e; baựn kớnh qua tiẽu : M ∈ nhaựnh trẽn MF1 = eyM + a, MF2 = eyM – a; M ∈ nhaựnh dửụựi MF1 = –eyM – a, MF2 = – eyM + a; tieỏp tuyeỏn vụựi (H) tái M : phãn ủõi tóa ủoọ (H);
(H) tx (d) : Ax + By + C = 0 ⇔ a2B2 – b2A2 = C2 > 0; tieọm caọn x = ± aby
hỡnh chửừ nhaọt cụ sụỷ : y= ± a, x = ± b; c2 = a2 + b2 (chuự yự : taỏt caỷ caực keỏt quaỷ cuỷa trửụứng hụùp naứy suy tửứ trửụứng hụùp chớnh taộc baống caựch thay x bụỷi y, y bụỷi x).
9. Parabol : * Cho F, F ∉ (∆)M ∈ (P) ⇔ MF = d(M,(∆)) M ∈ (P) ⇔ MF = d(M,(∆))
(P) : y2 = 2px (p > 0) (phửụng trỡnh chớnh taộc).
tiẽu ủieồm (p/2, 0), ủửụứng chuaồn x = – p/2; baựn kớnh qua tiẽu MF = p/2 + xM; tãm sai e = 1, tieỏp tuyeỏn vụựi (P) tái M : phãn ủõi tóa ủoọ; (P) tx (d) : Ax + By + C = 0 ⇔ pB2 = 2AC (p : heọ soỏ cuỷa x trong (P) ủi vụựi B : heọ soỏ cuỷa y trong (d)); tham soỏ tiẽu : p.
(P) : y2 = – 2px (p > 0) (phửụng trỡnh khõng chớnh taộc).
tiẽu ủieồm (–p/2, 0), ủửụứng chuaồn x = p/2; baựn kớnh qua tiẽu MF = p/2 – xM; tãm sai e = 1, tieỏp tuyeỏn vụựi (P) tái M : phãn ủõi tóa ủoọ; (P) tx (d) : Ax + By + C = 0 ⇔ pB2 = – 2AC.
(P) : x2 = 2py (p > 0) (phửụng trỡnh khõng chớnh taộc).
tiẽu ủieồm (0, p/2), ủửụứng chuaồn y = – p/2; baựn kớnh qua tiẽu MF = p/2 + yM; tãm sai e = 1, tieỏp tuyeỏn vụựi (P) tái M : phãn ủõi tóa ủoọ; (P) tx (d) : Ax + By + C = 0 ⇔ pA2 = 2BC (p : heọ soỏ cuỷa y trong (P) ủi vụựi A : heọ soỏ cuỷa x trong (d)).
(P) : x2 = – 2py (p > 0) (phửụng trỡnh khõng chớnh taộc).
tiẽu ủieồm (0, – p/2), ủửụứng chuaồn y = p/2; baựn kớnh qua tiẽu MF = p/2 – yM; tãm sai e = 1, tieỏp tuyeỏn vụựi (P) tái M : phãn ủõi tóa ủoọ;
(P) tx (d) : Ax + By + C = 0 ⇔ pA2 = – 2BC . CHÚ Ý :
* Cần coự quan ủieồm giaỷi tớch khi laứm toaựn hỡnh giaỷi tớch : ủaởt cãu hoỷi cần tỡm gỡ? (ủieồm trong mp M(xo,yo) : 2 aồn ; ủieồm trong khõng gian (3 aồn); ủửụứng thaỳng trong mp Ax + By + C = 0 : 3 aồn A, B, C - thửùc ra laứ 2 aồn; ủửụứng troứn : 3 aồn a, b, R hay A, B, C; (E) : 2 aồn a, b vaứ cần bieỏt dáng ; (H) : nhử (E); (P) : 1 aồn p vaứ
cần bieỏt dáng; mp (P) : 4 aồn A, B, C, D; maởt cầu (S) : 4 aồn a, b, c, R hay A, B, C, D; ủửụứng thaỳng trong khõng gian (d) = (P) ∩ (Q); ủửụứng troứn trong khõng gian (C) = (P) ∩ (S).
* Vụựi caực baứi toaựn hỡnh khõng gian : cần laọp heọ trúc tóa ủoọ.
HAỉ VAấN CHệễNG- PHAẽM HỒNG DANH-NGUYỄN VAấN NHÂN. (TRUNG TÂM LUYỆN THI ẹAẽI HOẽC VểNH VIỄN)