- Đường tròn: ngoại tiếp tâm O, nội tiếp tâm I, bàng tiếp tâm J, ơle 3.Các tính chất cơ bản trong tam giác
H là trực tâm nên BA⊥C; CA⊥B (2)
Từ (1) và (2) suy ra CH//BT; BH//CT => BHCT là hình bình hành, có M là trung điểm đường chéo BC nên M cũng là trung điểm đường chéo HT; O là trung điểm AT => OM là đường trung bình của tam giác AHT
𝑂𝑀//𝐴𝐻
𝐴𝐻= 2𝑂𝑀 =>𝐴𝐻 = 2𝑂𝑀
Từ đó, ta nhận ra phải đi tìm tọa độ điểm M:
Áp dụng bổ đề:𝐴𝐻 = 2𝐼𝑀 =(-2;-1) 2(𝑥𝑀 − 𝑥𝐼 =−2 2(𝑦𝑀 − 𝑦𝐼 =−1 𝑥𝑀 = 1 𝑦𝑀 =−1 2 => M(1;−1 2) Do đó, phương trình đường thẳng BC qua M(1;-1
(BC): 2(x-1)+1.(y+2)=0 (BC): 2x+y-2=0
Ví dụ 2:Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD cạnh a=1. M, N là trung điểm của AB, BC.
Biết phương trình đường thẳng CM, DN lần lượt là x+y-2=0; x+2y-3=0. Tìm tọa độ A biết A thuộc d: x-2y+3=0
Giải
Tham số hóa A(2t-3;t) => cần tìm thêm 1 phương trình liên quan Gọi I là giao điểm của CM, DN => I(1;1). Ta có bổ đềsau:
AD=AI
M, N là trung điểm của AB, BC. AN cắt CM tại I
Gọi P là trung điểm CD
AP cắt DN tại H. theo bổ đề 1, DN⊥CM
Dễ thấy AMCP là hình bình hành => AP//CM hay PH//CI, mà P là trung điểm DC nên H là trung điểm DI
AP//CM => AP⊥DN
Do đó, AP vừa là trung tuyến , vừa là đường cao => tam giác ADI cân tại A => AD=AI
Áp dụng bổ đề:
1=AD=AI= (2𝑡 −4 2+(𝑡 −1 2 t=1 hoặc t=8 A(-1;1) hoặc A(13;8)
Ví dụ 3: (Khối A-2009) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6;2) là giao của 2 đường chéo AC và BD. Điểm M(1;5) thuộc cạnh AB và trung điểm E của CD thuộc đường thẳng ∆: x+y-5=0. Viết phương trình đường thẳng AB
Giải
Viết phương trình đường thẳng AB, biết đi qua M(1;5). Ta cần tìm vectơ pháp tuyến của nó (có thểtìm thêm 1 điểm khác thuộc AB nhưng không khả thi)
Nhận thấyIE⊥CD//AB => IE⊥AB , đã biết điểm I => cần tìm điểm E sẽsuy ra được vtpt của AB. Điểm E thuộc ∆:x+y-5=0 => tham số hóa E(t;5-t) => cần tìm thêm 1 phương trình
Khi đã biết tọa độtâm I, ta nghĩ ngay đến tính chất đối xứng của hình chữ nhật: Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I. Nếu M∈AB, N đối xứng với M qua I thì N∈CD Do đó, N có tọa độ 2𝑥𝐼− 𝑥𝑀 = 11
2𝑦𝐼− 𝑦𝑀 = −1 => N(11;-1) Từđó, ta có 1 phương trình liên qua đến t là: 𝐸𝐼 .𝐸𝑁 = 0
𝐸𝐼
= (6− 𝑡;𝑡 −3) ; 𝐸𝑁 = (11− 𝑡;𝑡 −6)
(6− 𝑡 .(11− 𝑡 +(𝑡 −3 .(𝑡 −6 = 0 => 𝑡 = 6
𝑡 = 7 - Nếu t=6 =>𝐸𝐼 = (0;3) => (AB): 3(y-5)=0
- Nếu t=7 =>𝐸𝐼 = (−1; 4) => (AB): -1(x-1)+4(y-5)=0 (AB) –x+4y-19=0
Ví dụ 4:Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) 𝑥2+𝑦2 = 25 ngoại tiếp tam giác nhọn ABC có chân các đường cao hạ từ B, C lần lượt là M(-1;-3); N(2;-3). Tìm tọa độcác đỉnh của tam giác ABC biết 𝑦𝐴 < 0
Biết 𝑦𝐴 < 0 => tìm tọa độđiểm A trước
Xuất hiện 2 chân đường vuông góc và tâm ngoại tiếp, ta nghĩ đến bổ đề:
Tính chất AO⊥EF
BE, CF là 2 đường cao hạ từ B, C. Kẻ tiếp tuyến tại A của đường tròn tâm O 𝑥𝐴𝐵=𝐴𝐶𝐵
𝐵𝐹𝐶=𝐵𝐸𝐶= 90𝑜 => BFEC là tứ giác nội tiếp =>𝐴𝐹𝐸=𝐴𝐶𝐵
(AO): x=0
Tọa độđiểm A là giao của đường tròn © với AO: 𝑥= 0
𝑥2+𝑦2 = 25 𝑦𝑥== 0−5(𝑑𝑜𝑦𝐴 < 0) Phương trình AN: x-y-5=0
Phương trình AM: 2x+y+5=0
Điểm B, C là giao của AN, AM với đường tròn ©:
𝑥 − 𝑦 −5 = 0
𝑥2+𝑦2= 25 =>𝐵(5; 0)
2𝑥+𝑦+ 5 = 0
𝑥2+𝑦2= 25 =>𝐶(−4; 3)
Ví dụ 5:Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC cân tại A, trực tâm H(-3;2). Gọi D, E lần lượt là chân đường cao hạ từ B, C. Biết A nằm trên đường thẳng d: x-3y-3=0. Điểm F(-2;3) thuộc đường thẳng DE và HD=2. Tìm tọa độđiểm A
Giải
A∈(d): x-3y-3=0 => A(3t+3;t)
Ta cần tìm thêm 1 phương trình liên quan đến A
Tam giác ABC cân tại A, D, E là chân đường cao hà từ B, C => DE//BC H là trực tâm => AH⊥BC
AH⊥DE hay AH⊥DF
Sử dụng bổ đề sau:
Áp dụng định lý Py-ta-go: 𝐴𝐸 = 𝐴𝐻 +𝐸𝐻 ;𝐵𝐸 = 𝐸𝐻 +𝐵𝐻 =>𝐴𝐸 − 𝐵𝐸 = 𝐴𝐻 − 𝐵𝐻2 Tương tự, ta có 𝐴𝐹2− 𝐵𝐹2 = 𝐴𝐻2− 𝐵𝐻2 Dó đó, 𝐴𝐸2− 𝐵𝐸2 =𝐴𝐹2 − 𝐵𝐹2 Áp dụng:𝐹𝐴2− 𝐹𝐻2=𝐷𝐴2− 𝐷𝐻2 Theo Py-ta-go: 𝐷𝐴2=𝐴𝐻2− 𝐷𝐻2 =>𝐹𝐴2− 𝐹𝐻2=𝐴𝐻2−2𝐷𝐻2
Biết tọa độ F, H, tham sốhóa A, đoạn DH => ta được 1 phương trình của t:
(3𝑡+ 5 2+(𝑡 −3 2−2 =(3𝑡+ 6 2+(𝑡 −2 2−8 t=0 => A(3;0)
Ví dụ 6:Trong mặt phẳng với hệ tọa độOxy, cho tam giác ABC có các điểm I(1;-1) và J(1;0) lần lượt là
tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC, đường tròn bàng tiếp góc A có tâm F(2;-8). Tìm tọa
độ của các đỉnh của tam giác biết đỉnh A có tung độ âm Giải
Bổđềliên quan đến đường tròn bàng tiếp:
- Đường tròn bàng tiếp có tâm J là giao của 1 đường phân giác trong và 2 đường phângiác ngoài của tam giác ABC => có 3 đường tròn bàng tiếp