Đối với độ sâu thông thường qua dãy khớp ngắn ta có một số tính chất sau.
Bổ đề 2.4.1. (Bổ đề Độ sâu [10, Bổ đề 1.3.9]) Nếu
0→U →M→N→0
là một dãy khớp ngắn của các môđun phân bậc hữu hạn sinh trên vành phân bậcS, khi
đó
(i) Nếudepth(M)<depth(N), thìdepth(U) =depth(M).
(ii) Nếu depth(M) =depth(N), thìdepth(U)≥depth(M).
Hệ quả 2.4.2. Cho 0→U →M→N→0là một dãy khớp ngắn của các môđun phân bậc hữu hạn sinh trên vành phân bậcS, khi đó
depth(M)≥min{depth(U),depth(N)}.
Còn đối với độ sâu Stanley qua dãy khớp ta được kết quả như sau.
Bổ đề 2.4.3. Cho 0→U →f M →g N → 0là một dãy khớp của các S-môđun Zn-phân bậc hữu hạn sinh. Khi đó
sdepth(M)≥min{sdepth(U),sdepth(N)}.
Chứng minh. ĐặtD :U=⊕r
i=1uiK[Zi]là một phân tích Stanley củaUvớisdepth(D) =
sdepth(U)và đặtD0:N=⊕s
j=1njK[Z0j]là một phân tích Stanley củaNvớisdepth(D0) =
sdepth(N). Vì f là một đơn ánh, ta có thể giả sử f là phép nhúng. Giả sửn0j∈M là một phần tửZn thuần nhất thỏa mãng(n0j) =nj. Hiển nhiên
M= r ∑ i=1 uiK[Zi] + s ∑ j=1 n0jK[Z0j]. Ta chứng minh∑ri=1uiK[Zi] +∑sj=1n0jK[Z0j]là tổng trực tiếp. Xét tậpV =∑sj=1n0jK[Z0j]. Vì dãy khớp chẻ ra như các không gian tuyến tính nênU∩V ={0}. Khi đó với mọi y∈n0jK[Z0j]∩∑sk=1
k6=jn0kK[Z0k], ta cóg(y)∈n0jK[Z0j]∩∑sk=1
k6=jn0kK[Zk0] ={0}. Do đó ta được y∈U =Kerf, kéo theoy∈U∩V ={0}. Vậy
M= r M i=1 uiK[Zi]⊕ s M k=1 k6=j n0kK[Zk0]. Đó là điều cần chứng minh.
Hệ quả 2.4.4. Cho (0) =M0 ⊂M1 ⊂ · · · ⊂Mr−1⊂Mr=M là một dãy tăng của các môđun conZn-phân bậc củaM. Khi đó
sdepth(M)≥min{sdepth(Mi/Mi−1),i∈ {1, . . . ,r}} (3.3)
Chứng minh. Ta xét dãy khớp của các môđun conZn-phân bậc củaM
0→Mi−1→Mi→Mi/Mi−1 →0.