Một số ứng dụng trong toán sơ cấp
2.3.1 Bài toán Chứng minh rằng không thể chia tập hợp {1, 2, 3, , 1997} thành một số tập con rời nhau sao cho số lớn nhất trong mỗi tập con bằng
thành một số tập con rời nhau sao cho số lớn nhất trong mỗi tập con bằng tổng các số còn lại.
Chứng minh. Giả sử phản chứng rằng phân hoạch nh− thế tồn tại. Khi đó tổng tất cả các số của mỗi tập con bằng hai lần số lớn nhất. Suy ra tổng tất cả các số của tập hợp {1,2,3, . . . ,1997} là một số chẵn. Mặt khác, ta có dãy các số 1,2,3, . . . ,1997 lập thành 1 cấp số cộng có 1997 số hạng với số hạng đầu tiên là u1 = 1 và công sai là d = 1. Suy ra
1 + 2 + 3 +. . .+ 1997 = 1997.1998
2 = 1997999,
đây là một số lẻ, mâu thuẫn. Từ đây ta suy ra phân hoạch nh− thế không tồn tại.
2.3.2 Bài toán. Chứng minh rằng với phân hoạch bất kì tập hợp X ={1,2,3, . . . ,100} thành 7 tập con, luôn tồn tại ít nhất 1 tập con chứa 4 {1,2,3, . . . ,100} thành 7 tập con, luôn tồn tại ít nhất 1 tập con chứa 4 phần tử phân biệt a, b, c, d sao cho a+b = c+d hoặc chứa 3 số phân biệt
e, f, g sao cho e+f = 2g.
Chứng minh. Vì 14.7 = 98 < 100 nên tồn tại ít nhất 1 tập con T của X có ít nhất 15 phần tử. Chúng ta xét tất cả các hiệu a−b với a, b thuộc T và
a > b. Ta có C2
15 = 105 hiệu nh− vậy. Các hiệu nh− thế nhận giá trị thuộc tập hợp {1,2,3, . . . ,99}. Do đó tồn tại ít nhất 2 cặp (x, y),(u, v) phân biệt thỏa mãn x − y = u − v > 0. Nếu x, y, u, v là 4 số phân biệt thì ta có
x+ v = u+ y, suy ra điều phải chứng minh. Nếu x = v thì y + u = 2x hoặc nếu y = u, do đó ta có x+v = 2y.
2.3.3 Bài toán. Giả sử tổng của 2 số nguyên a, b không chia hết cho 3.Chứng minh rằng không thể chia tập số nguyên Z thành 3 lớp đôi một rời