đầy đủ hóa
Tiết này dành để chứng minh định lý chính của luận văn về điều kiện cần và đủ của vành cơ sở để công thức chuyển tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương qua địa phương hóa và đầy đủ hóa là đúng. Nội dung của tiết này được trình bày dựa theo bài báo [NQ].
Trước tiên sử dụng Bổ đề 2.3.5, ta có tính chất sau, tính chất này sẽ được dùng để chứng minh Bổ đề 2.4.2.
Bổ đề 2.4.1. Với các kí hiệu trong Chú ý 2.3.4, giả thiết rằng x ∈ a(M)3 là phần tử tham số của M. Khi đó ta có
d−1 [ i=0 AttR(Hmi(M)) ⊆ d−2 [ i=0 AttR(Hmi(M/xM))∪(AssRM)d−1.
Chứng minh. Với UM(0) là môđun con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn d. Đặt M = M/UM(0). Đầu tiên ta chứng minh rằng
Thật vậy, từ dãy khớp 0 →UM(0) → M → M → 0 sẽ cảm sinh dãy khớp
Hmd−1(UM(0)) →f Hmd−1(M) →Hmd−1(M) → 0
NếudimUM(0) < d−1 thì AttR(Hmd−1(UM(0))) = ∅ = (AssRM)d−1, theo Bổ đề 1.3.2(i). Vậy đẳng thức trên là đúng. Giờ ta xét dim(UM(0)) = d−1
thì
AttR(Hmd−1(UM(0))) = (AssRUM(0))d−1 = (AssRM)d−1, theo [BS, 7.3.2]. Từ Bổ đề 1.3.2(iii) ta có:
AttR(Hmd−1(M)) ⊆ AttR(Hmd−1(UM(0)))/Kerf)∪ AttR(Hmd−1(M))
⊆ AttR(Hmd−1(UM(0)))∪AttR(Hmd−1(M)) = (AssRM)d−1 ∪AttR(Hmd−1(M)).
Mặt khác, ta có (AssRM)d−1 ⊆ AttR(Hmd−1(M)) (xem [BS, 11.3.9]) và do dãy trên khớp nên AttR(Hmd−1(M)) ⊆ AttR(Hmd−1(M)). Suy ra
AttR(Hmd−1(M)) ⊇ (AssR(M))d−1 ∪ AttR(Hmd−1(M)). Vậy đẳng thức trên đã được chứng minh.
Giờ sử dụng Bổ đề 2.3.5 ta có d−2 [ i=0 AttR(Hmi(M/xM)) = d−2 [ i=0 (AttR(Hmi(M))∪AttR(Hmi+1(M))).
Chú ý rằng Hm0(M) = 0. Suy ra AttR(Hm0(M)) = ∅. Vì vậy từ đẳng thức trên ta có: d−2 [ i=0 AttR(Hmi(M/xM))∪(AssRM)d−1 = d−2 [ i=0
(AttR(Hmi(M))∪ AttR(Hmi+1(M)))∪(AssRM)d−1
=
d−2
[
i=0
(AttRHmi(M)∪AttRHmi (M)) ∪((AssRM)d−1 ∪AttRHmd−1(M))
=
d−1
[
i=0
Rõ ràng d−1 [ i=0 AttR(Hmi(M)) ⊆ d−2 [ i=0 AttR(Hmi(M/xM))∪(AssRM)d−1.
Kết quả của bổ đề này được xem như chìa khóa để chứng minh kết quả chính của tiết này.
Bổ đề 2.4.2. Cho x1, . . . , xd là một hệ tham số của M. Với giả thiết như Chú ý 2.3.4, nếu xi ∈ a(M/(x1, . . . , xi−1)M)3 với mọi i = 1, . . . , d thì
d−1 [ i=0 AttR(Hmi(M)) ⊆ d−1 [ i=0 (AssR(M/(x1, . . . , xi)M))d−i−1.
Chứng minh. Ta chứng minh quy nạp theo d. Với d = 1 thì vế trái là
AttR(Hm0(M)), vế phải là (AssR(M))0. Vậy bổ đề đúng với d = 1. Với d > 1. Giả thiết rằng kết quả đúng với d−1. ĐặtM1 = M/x1M. Áp dụng Bổ đề 2.4.1 và giả thiết quy nạp ta được:
d−1 [ i=0 AttR(Hmi(M)) ⊆ d−2 [ i=0 AttR(Hmi(M1))∪(AssRM)d−1 ⊆ d−2 [ i=0 (AssR(M1/(x2, . . . , xi+1)M1))d−i−2 ∪(AssRM)d−1 = d−1 [ i=1 (AssR(M/(x1, . . . , xi)M))d−i−1 ∪(AssRM)d−1 = d−1 [ i=0 (AssR(M/(x1, . . . , xi)M))d−i−1.
Sau đây là Nguyên lí dịch chuyển của môđun đối đồng điều địa phương qua địa phương hóa được R.Y. Shap chứng minh trong [S, Định lý 3.7].
Bổ đề 2.4.3. Giả sử R là vành thương của vành Gorenstein địa phương. Khi đó với bất kì iđêan nguyên tố p của R và bất kì số nguyên i ≥ 0 ta có
AttRp(HpRi−dim(R/p)
p (Mp)) ={qRp | q ∈ AttR(Hmi(M)),q ⊆ p}.
Nhìn chung Nguyên lí dịch chuyển của môđun đối đồng điều địa phương qua địa phương hóa không đúng trong trường hợp tổng quát, (xem [BS, Ví dụ 11.3.14]). Với R là vành địa phương bất kì ta sẽ có quan hệ bao hàm và được gọi là Nguyên lí dịch chuyển yếu qua địa phương hóa, [BS, 11.3.8].
Bổ đề 2.4.4. Với bất kì iđêan nguyên tố p của R và bất kì số nguyên i ≥0 ta có
AttRp(HpRi−dim(R/p)
p (Mp)) ⊆ {qRp | q ∈ AttR(Hmi (M)),q ⊆ p}. Bây giờ sẽ là Định lý chính trong luận văn này.
Định lý 2.4.5. Ta có các điều kiện sau là tương đương:
(i) R là catenary phổ dụng và các thớ hình thức là Cohen-Macaulay;
(ii) AttRp(HpRi−dim(R/p)
p (Mp)) = {qRp | q ∈ AttR(Hmi(M)),q ⊆ p} với mọi R-môđun M hữu hạn sinh, p ∈ SpecR và số nguyên i ≥ 0;
(iii) Att b R(Hmi (M)) = S p∈AttRHi m(M) Ass b
R(R/pb Rb), với mọi R-môđun hữu hạn sinh M và số nguyên i ≥ 0.
Chứng minh. Ta sử dụng các kí hiệu như trong Chú ý 2.3.4. Cho số nguyên i ≥ 0. Đầu tiên ta chứng minh nếu tồn tại một hệ tham số x1, . . . , xd của M thỏa mãn xk ∈ a(M/(x1, . . . , xk−1)M)3, với mọi k = 1, . . . , d, thì
Att b R(Hmi(M)) ⊆ [ p∈AttR(Hi m(M)) Ass b R(R/pb Rb)
Thật vậy, lấy P ∈ Att
b
R(Hmi(M)). Nếu i = d thì ta có P ∈ (Ass
b
RMc)d, xem [BS, Định lý 7.3.2]. Chú ý rằng (AssRM)d = AttR(Hmd(M)). Do đó theo [Mat, 23.2] ta có P ∈ [ p∈(AssRM)d Ass b R(R/pb Rb) = [ p∈AttR(Hd m(M)) Ass b R(R/pb Rb).
Vậy kết quả là đúng trong trường hợp i = d.
Cho i < d. Với mọi k = 1, . . . , d, dễ thấy
a(M/(x1, . . . , xk−1)M)Rb ⊆a(M /c (x1, . . . , xk−1)Mc). Đặt dim(R/Pb ) = t thì P ∈ (Att b RHmi(M))t. Vì i < d nên theo Bổ đề 2.4.2 ta có P ∈ (Ass b R(M /c (x1, . . . , xd−t−1)Mc))t. Đặt p0 = P ∩R. Khi đó p0 ∈ AttRHmi(M) theo Bổ đề 1.3.4 và p0 ∈ AssR(M/(x1, . . . , xd−t−1)M). Vì vậy ta có P ∈ Ass b R(M /c (x1, . . . , xd−t−1)Mc) = [ p∈AssR(M/(x1,...,xd−t−1)M) Ass(R/pb Rb). Do đó P ∈ Ass(R/pb 0Rb) và vì thế P ∈ S p∈AttR(Hi m(M)) Ass b R(R/pb Rb). Vậy tính chất đầu đã được chứng minh.
Giờ ta chứng minh (i) ⇒ (ii). Cho số nguyên i ≥ 0 và p là iđêan nguyên tố của R. Từ kết quả của Bổ đề 2.4.4, để chứng minh (ii) ta chỉ còn phải chỉ ra rằng nếu q ∈ AttR(Hmi (M)) sao cho q ⊆ p thì qRp ∈
AttRpHpRi−dim(R/p)
p (Mp). Thật vậy, theo Bổ đề 1.3.4 thì tồn tại iđêan nguyên tố Q ∈ Att
b
R(Hmi(M)) sao cho Q∩R = q. VìR là vành catenary phổ dụng và tất cả các thớ hình thức là Cohen-Macaulay, ta códim(R/at(M)) ≤ tvới mọit= 0, . . . , d−1, (xem [CNN, Hệ quả 4.2(i)]). Vì vậydim(R/a(M)) < d. Do đó tồn tại phần tử x1 ∈ a(M)3 là phần tử tham số của M. Bằng cách tương tự, ta chọn được hệ tham số của M là {x1, . . . , xd} thỏa mãn xk ∈ a(M/(x1, . . . , xk−1)M)3, với mọi k = 1, . . . , d. Nên từ chứng minh
trên ta có Q ∈ Ass
b
R(R/qb Rb). Vì R là catenary phổ dụng và tất cả các thớ hình thức là Cohen-Macaulay nên vành R/q là không trộn lẫn. Vì vậy
dim(R/Qb ) = dim(R/q). Vì Q ∈ Att
b R(Hmi (M)) = Att b R(Hi mRb(Mc)) nên QRbQ ∈ Att b RQ(Hi−dim(R/Qb ) QRbQ (McQ)) theo Bổ đề 2.4.3. Chú ý rằng ánh xạ tự nhiên Rq →RbQ là phẳng hoàn toàn và có dim(RbQ/qRbQ) = 0. Hơn nữa, từ Định lý chuyển cơ sở phẳng (xem [BS, 4.3.2]) ta có
HqRi−dim(R/q)
q (Mq)⊗RbQ ∼= Hi−dim(R/Qb )QRbQ QRbQ
(McQ).
Vậy qRq ∈ Att(HqRi−dim(R/q)
q (Mq)) bởi Bổ đề 2.3.6. Theo giả thiết (i) có R là catenary nên
i−dim(R/q) = (i−dim(R/p))−dim(Rp/qRp).
Vì thế từ (Rp)qRp ∼= R
q, suy ra qRp ∈ AttRp(HpRi−dim(R/p)
p (Mp)) theo nguyên lý dịch chuyển yếu qua địa phương hóa (Bổ đề 2.4.4).
(ii) ⇒ (iii). Cho p ∈ AttR(Hmi(M)) và P ∈ Ass(R/pb Rb). Đầu tiên ta sẽ chứng minh dim(R/Pb ) = dim(R/p). Thật vậy, giả sử dim(R/Pb ) <
dim(R/p), đặt k = dim(R/Pb ). Theo [BS, 11.3.3] ta thấy rằng
P ∈ Att b R(Hk mRb(R/pb Rb)) = Att b R(Hmk(R/p)).
Bởi vì P ∈ Ass(R/pb Rb) nên p = P ∩ R ∈ AttR(Hmk(R/p)) theo Bổ đề 1.3.4. Vì vậy từ giả thiết (ii) ta có pRp ∈ AttRp(HpRk−dim(R/p)
p (Rp/pRp)). Tuy nhiên, nếu dim(R/p) > k thì AttRp(HpRk−dim(R/p)
p (Rp/pRp)) = ∅, điều này là mâu thuẫn. Vậy dim(R/Pb ) = dim(R/p). Tiếp theo, từ chứng minh trên ta códim(RbP/pRbP) = 0. Vìp ∈ AttR(Hmi(M))nên từ giả thiết (ii) suy ra pRp ∈ AttRp(HpRi−dim(R/p)
p (Mp)). Chú ý rằng ánh xạ tự nhiên Rq → RbP
là phẳng hoàn toàn và HpRi−dim(R/p)
p (Mp) ⊗RbP ∼= Hi−dim(R/Pb )PRbP (McP). Vì vậy PRbP (McP). Vì vậy PRbP ∈ Att b RP(Hi−dim(R/Pb ) PRbP
(McP)) theo Bổ đề 2.3.6. Theo nguyên lý dịch chuyển yếu qua địa phương hóa (Bổ đề 2.4.4) có P ∈ Att
b
R(Hi
P ∈ Att b R(Hmi(M)). Suy ra Att b R(Hmi(M)) ⊇ [ p∈AttR(Hi m(M)) Ass b R(R/pb Rb).
Giờ ta chứng minh bao hàm ngược lại bằng cách sử dụng tính chất đã chứng minh ở đầu. Với mỗi số nguyên i ∈ {0, . . . , d −1} sao cho Hmi(M) 6= 0. Suy ra tồn tại iđêan nguyên tố p ∈ AttR(Hmi(M)) sao cho dim(R/p) = dim(R/ai(M)) theo Mệnh đề 1.3.2. Vậy pRp ∈ AttRp(HpRi−dim(R/p)
p (Mp))
theo giả thiết (ii). Suy ra AttRp(HpRi−dim(R/p)
p (Mp)) 6= ∅. Theo Mệnh đề 1.3.2(i) suy ra HpRi−dim(R/p)
p (Mp) 6= 0. Vì vậy ta có i ≥ dim(R/p). Suy ra dim(R/ai(M)) ≤ i. Vậy dim(R/a(M)) ≤ d. Do đó tồn tại phần tử x1 ∈ a(M)3 là phần tử tham số của M. Kết quả tương tự sẽ tồn tại một hệ tham số {x1, . . . , xd} của M sao cho xk ∈ a(M/(x1, . . . , xk−1)M)3, với mọi k = 1, . . . , d. Từ chứng minh trên ta có
Att b R(Hmi(M)) ⊆ [ p∈AttR(Hi m(M)) Ass b R(R/pb Rb).
Kết luận
Trong luận văn này, chúng tôi đã trình bày lại chi tiết các kết quả trong bài báo của L. T. Nhàn và P. H. Quý [NQ], Attached primes of local cohomology modules under localization and completion, Journal of Algebra, (2014). Luận văn đã thu được một số kết quả như sau:
1. Hệ thống lại một số vấn đề về tập iđêan nguyên tố liên kết môđun Artin và môđun đối đồng điều địa phương có liên quan đến nội dung luận văn.
2. Trình bày khái niệm và một số tính chất của hệ tham số và hai lớp vành đặc biệt liên quan đến luận văn là vành Gorenstein và vành catenary. Tiếp đó là hai bổ đề cần thiết để chứng minh định lý chính của luận văn là hai định lý chính trong [CN] và [CQ]. Và cuối cùng là chứng minh lại định lý chính trong [NQ].
Định lý 2.4.5. Các điều kiện sau là tương đương:
(i) R là catenary phổ dụng và các thớ hình thức là Cohen-Macaulay; (ii) AttRp HpRi−dim(R/p)
p (Mp) = {qRp | q ∈ AttRHmi(M),q ⊆ p} với mọi R-môđun M hữu hạn sinh, p ∈ SpecR và số nguyên i ≥ 0; (iii) Att b RHmi (M) = S p∈AttRHi m(M) Att b
R(R/b pRb). với mọi R-môđun M hữu hạn sinh và số nguyên i ≥0.