Theo bài 2.18, ta có AEF tiếp xúc với BTC nên EFS tiếp xúc với BChay EJF tiếp xúc với BC.
Bài 2.21 (trường Đông Bắc Trung Bộ 2015) Cho tam giác ABC nhọn với AB AC và trực tâm H. AH BH CH, , lần lượt cắt các cạnh BC CA AB, , tại D E F, , . EFcắt BCtại G. K là hình chiếu của H lên AG. AH cắt EFtại L.Trung trực LD cắt GHtại P N, là trung điểm của EF . Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp các tam giác KGNvà DPL tiếp xúc nhau.
Lời giải.
Gọi M là trung điểm của BC. Ta dễ thấy K A E H F, , , , thuộc một đường tròn và hàng
BC DG, 1 do đó GK GA GE GF GD GM GB GC. . . . từ đó tứ giác KAMD nội tiếp suy ra 0
90AKM ADM AKM ADM
nên KH đi qua M. Vậy H là trực tâm tam giác AGMnên HG vuông góc AMtại I.
34 | P a g e
Dễ thấy MN EF nên N cũng thuộc đường trong đường kính GM. Ta lại có hàng
AH LD, 1 mà IL ID nên IHlà phân giác LID. IH cắt trung trực LD tại P nên , , ,
L I D Pthuộc một đường tròn.
Gọi J là trung điểm AH, theo hệ thức Newton dễ thấy JI2JA2JH2 JL JD. . Nên JItiếp xúc đường tròn ngoại tiếp tam giác DPL. Mặt khác từ chùm điều hòa cơ bản trong tam giác AGMcó AD GI KM, , đồng quy tại H nên I DK AG , 1 I DL AH , suy ra I K L, , thẳng hàng.
Từ đó JIL IDL IDA KGI do đó JI tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp tam giác KGN. Vậy các đường tròn ngoại tiếp tam giác KGNvà DPL tiếp xúc nhau tại I. Ta có điều phải chứng minh.
Bài 2.22 Cho tam giác ABC nhọn với AB AC nội tiếp đường tròn C . H là trực tâm tam giác ABC. F là hình chiếu của A xuống BC . M là trung điểm của đoạn BC. Gọi
,
Q K là hai điểm trên đường tròn C sao cho AQH HKQ 90 .0 Giả sử các điểm
, , , ,
A B C K Q phân biệt và nằm trên C theo thứ tự đó. Chứng minh rằng hai đường tròn ngoại tiếp của các tam giác KQH và FKM tiếp xúc với nhau.
Lời giải.
Trước khi giải bài toán, ta đi chứng minh nhận xét sau:
Nhận xét . Cho tam giác ABC không cân. D là chân đường cao hạ từ A xuống BC . E
35 | P a g e Chứng minh. Chứng minh.
Gọi F là giao điểm của BE với AC M, là giao điểm của CE với AB N, là giao điểm của
MF với BC.
Vì EBA ECA nên tứ giác BCFM nội tiếp đường tròn tâm O.
Theo định lí Brocard ta có: AE ON AD ON .
Lại có: AD BC O BC.
Khi đó OB OC O là trung điểm của đoạn thẳng BC. Hay nói cách khác, E là trực tâm tam giác ABC.
Trở lại bài toán
Gọi W,N,P lần lượt là trung điểm của AH HQ HK, , . Gọi T là điểm đối xứng của Qqua
W.
Theo nhận xét 6, dễ dàng nhận thấy M H Q, , thẳng hàng. Phép vị tự tâm H tỉ số 1
2 biến đường tròn O thành đường tròn Euler S .
Suy ra các điểm P N, ,Wthuộc đường tròn Euler S .
Ta có: AQ HT AQ HT , HT HQ và ta có NP HK .
36 | P a g e
Ta có: HT là trục đẳng phương của hai đường tròn HPN HFM , .
NPlà trục đẳng phương của hai đường tròn HPN S , . FM là trục đẳng phương của hai đường tròn S HFM, .
Suy ra NP HT FM, , đồng quy tại J. Khi đó JK là tiếp tuyến của đường tròn KFM.
Ta có:
2 2 .
JK JH JF JM JK là tiếp tuyến của đường tròn KFM.
37 | P a g e
Bài 2.23 Cho tam giác nội tiếp đường tròn , có trực tâm . Gọi là trung điểm của Đường tròn đường kính và đường tròn cắt nhau tại
cắt tại . cắt tiếp tuyến tại của đường tròn tại a/ Chứng minh rằng vuông góc
b/ Đường thẳng đối xứng với qua phân giác trong góc cắt đoạn thẳng tại Gọi là hình chiếu của trên Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác
tiếp xúc với đường tròn
a/ Gọi A B C1, ,1 1 là chân đường vuông góc kẻ từ A, B, C của tam giác ABC.
Khi đó AT, BC, BC1 1 đồng quy tại Q ( do tính chất tâm đẳng phương của ba đường tròn
( ),(O AH BC),( ). (kí hiệu (AH BC),( ) là đường tròn đường kính AH, BC)
Ta có RA2 RP RN. và QT QA QB QC. 1. 1 do đó R Q, có cùng phương tích đối với đường tròn (O) và đường tròn Euler ( đường tròn 9 điểm qua P, N, B C1, )1 .
ABC ( )O H M N P, , , , . BC CA AB AH ( )O . T A AT BC Q NP A ( )O R. QR OH. HM BHC BC . I K A HI. MIK ( ).O
38 | P a g e
Ta đã biết tâm đường tròn Euler là trung điểm OH nên RQ OH .
b/ Ta chứng minh bài toán trong trường hợp như hình vẽ, các trường hợp khác chứng minh tương tự.
Gọi AH cắt (O) tại D khác A, AE là đường kính của (O).
Trước tiên ta có H và D đối xứng nhau qua BC và tứ giác HBEC là hình bình hành đồng thời các điểm T, H, M, E thẳng hàng.
Ta có
1
HIA HAK KTH KTM do đó T, I, M, K cùng thuộc một đường tròn.
Ta chứng minh T, I, D thẳng hàng. Thật vậy gọi TD cắt BC tại J. Khi đó do tính đối xứng thì
BHJ BDJ BDT BET BEH EHC , do đó J trùng với I.
Gọi Tx là tiếp tuyến tại T của (O). Khi đó xTD TED TMI do đó Tx cũng là tiếp tuyến
của đường tròn ngoại tiếp tam giác TMI hay Tx là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MIK.
Hay Tx là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và đường tròn ngoại t iếp tam giác MIK, ta có điều phải chứng minh.
Bài 2.24. Cho tam giác nhọn không cân ABC nội tiếp đường tròn ( ).O Gọi D E F, , lần trung điểm của các cạnh BC CA AB, , . Tiếp tuyến tại B của ( )O cắt đường thẳng DF tại K,
tiếp tuyến tại C của ( )O cắt đường thẳng DE tại L. Đường tròn đường kính OK cắt ( )O tại điểm thứ hai khác B là S, đường tròn đường kính OL cắt ( )O tại điểm thứ hai khác C là
.
T
)
a Chứng minh rằng các đường phân giác trong ASC và phân giác trong ABC cắt nhau trên đường thẳng FD.
)
b Gọi U là giao điểm của BS và CT. Tia AU cắt lại ( )O tại điểm V khác A. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác EFV tiếp xúc với ( ).O
39 | P a g e
)
a Gọi X và Y là hai giao điểm của FD với ( ).O Dễ thấy BXSY là tứ giác điều hòa. Do vậy hai phân giác trong góc XSY và XBY cắt nhau trên đường thẳng FD. Vì XY và AC song song nên hai phân giác này cũng chính là phân giác trong góc ASC và ABC.
)
b Ta thấy BS là đối trung trong tam giác XBY. Gọi E là trung điểm XY. Khi đó E O E, ,
thẳng hàng, BE cắt AC tại điểm B. Gọi B là chân đường cao hạ từ đỉnh B trong tam giác ABC. Khi đó B và B đối xứng qua trung điểm của AC. Đồng thời BS và BB đẳng giác trong góc ABC.
Tương tự ta định nghĩa C C A A, , , như trên. Khi đó CT và CC đẳng giác trong góc .
BCA
Đường tròn (AEF) tiếp xúc trong với ( )O tại A. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn tại A
cắt đường EF tại M. Đường tròn đường kính OM cắt ( )O tại điểm thứ hai khác A là R. Dễ thấy MR cũng là tiếp tuyến của ( ).O Khi đó do M là tâm đẳng phương của ( ), (O AEF) và
40 | P a g e
(EFR) nên MR cũng là tiếp tuyến của (EFR) hay (EFR) tiếp xúc với ( )O tại R. Tương tự chứng minh trên thì AR và AA đẳng giác trong góc CAB.
Mặt khác AA BB CC, , đồng quy tại trực tâm H của tam giác ABC nên AA BB CC, ,
đồng quy tại điểm isotomic của H (dùng định lý Ceva sin). Do đó AR BS CT, , đồng quy tại điểm U. Vậy V và R trùng nhau. Do đó (EFV) tiếp xúc với ( ).O
41 | P a g e