2 Bài toán đối ngẫu Lagrange
2.4 Các bài toán không lồi
Nếu một điểm yên ngựa của hàm Lagrange không tồn tại, nó là trường hợp điển hình cho các bài toán không lồi thì quan hệ đối ngẫu (2.12) không đúng. Tuy vậy, ta vẫn có thể dùng bài toán đối ngẫu để chặn dưới giá trị tối ưu của bài toán gốc.
Bổ đề 2.3. Với mọi (λ, µ) ∈ Λ0 và với mọi x ∈ X0 LD(λ, µ) ≤ LP(x).
Chứng minh. Kết quả theo sau đây từ dãy của bất đẳng thức:
LD(λ, µ) ≤ L(x, λ, µ) ≤ LP(x). Cách khác δ = min x∈X0LP(x)− max (λ,µ)∈Λ0LD(λ, µ) ≥0. được gọi là độ lệch.
Trong nhiều ứng dụng, chặn dưới của Bổ đề 2.3 là hữu ích. Xét bài toán tối ưu với ràng buộc tuyến tính:
minf(x)
Ở đây f(·) là một số hàm số từ Rn đến R, A là ma trận cấp m×n và
b ∈ Rm. Tập X0 là tập con tùy ý của Rn. Không có giả thiết nào về tính lồi của f(·) hoặc X0. Ta viết các ràng buộc của bất đẳng thức dưới dạng ”≥ ” cho tiện và là dạng duy nhất.
Xác định hàm số: f(X0)(x) = f(x) nếu x ∈ X0, +∞ các trường hợp khác. Khi đó bài toán (2.19) có thể được viết lại như sau:
minfX0(x)
với giả thiết là Ax ≥ b. (2.20)
Cùng với nó, chúng ta xem xét bài toán lồi hóa
minfX∗∗
0(x)
với giả thiết là Ax ≥ b. (2.21)
Ở đây fX∗∗0(x) là hàm liên hợp thứ hai của hàm fX0. Ta biết rằng từ [3, Theorem 2.95] nếu fX0 có ít nhất hàm affine trội khi fX∗∗
0(x) là hàm lồi trội lớn nhất của fX0. Do đó bài toán (2.21) là nới lỏng của (2.20) Giờ ta trở lại với bài toán không lồi (2.20). Hàm Lagrange của nó có dạng:
Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hải Yến
Ta có thể tính toán hàm đối ngẫu này như sau:
LD(λ) = inf x {fX0(x) +hλ, b−Axi } = −sup x { ATλ, x−fX0(x)}+ hλ, bi = −fX∗ 0(ATλ) + hb, λi.
Ở đây fX∗0 kí hiệu hàm liên hợp fX0. Bài toán đối ngẫu do đó có thể viết lại như sau:
sup
λ≥0
{ hb, λi −fX∗
0(ATλ)}. (2.22)
Phép biến đổi này cho phép chúng ta liên hệ với bài toán đối ngẫu (2.22) và bài toán lồi (2.21).
Định lý 2.7. Giả sử mối quan hệ đối ngẫu (2.12) cũng đúng cho bài toán lồi (2.21). Khi đó bài toán đối ngẫu (2.22) có một nghiệm tối ưu và giá trị tối ưu đó bằng với giá trị tối ưu của bài toán lồi (2.22)
Chứng minh. Khi bài toán lồi ban đầu có một nghiệm, hàm số fX∗∗0(x) là riêng biệt. Có nghĩa là fX∗
0(x) cũng riêng biệt. Nó luôn lồi và bán liên tục dưới. [3, Theorem 2.95] nói rằng
fX∗0 = fX∗0∗∗ = fX∗∗0∗.
Khi đó bài toán (2.22) có thể được viết lại
sup{hb, λi −
đây là bài toán đối ngẫu của bài toán lồi (2.21). Theo giả thiết, mối quan hệ đối ngẫu của bài toán lồi cũng đúng. Điều đó dẫn tới khẳng định của định lý.