Trong thực tế, chẳng hạn công việc của nhà địa chất học có liên quan chặt chẽ với các phép dựng hình và đo đạc. Nhưng công tác thực hành về
địa chất hầu như chỉ sử dụng tới phép dựng đường thẳng. Vì vậy, ngay từ thế kỉ XVII các nhà toán học đã quan tâm nghiên cứu các phép dựng hình chỉ thực hiện bằng thước.
Nếu chỉ với cái thước, ta không thể thực hiện đường tròn dưới dạng liên tục. Cho nên, ngoài những tiên đề về cái thước, ta quy ước thêm:
+ Một đường tròn sẽ coi là dựng được nếu biết tâm và bán kính.
+ Bổ đề hình thang: đường thẳng nối giao điểm của hai đường chéo và giao điểm hai cạnh bên sẽ chia đáy hình thang thành hai phần bằng nhau. Chỉ dùng thước thì ta có thể giải được một nhóm hạn chế các bài toán dựng hình. Chẳng hạn, chỉ dùng thước thì ta không thể chia đôi đoạn thẳng hay qua dựng đường thẳng song song với đường thẳng đã cho. Tuy nhiên, các bài toán này và nhiều bài toán khác nữa lại có thể giải được chỉ bằng thước. Sau đây, ta xét ví dụ.
Ví dụ 1.5.3. Cho hai đường thẳng song song m và n. Trên đường thẳng m cho một đoạn thẳng AC. Dựng trung điểm B của đoạn thẳng AC.
- Cách dựng:
Lấy một điểm tùy ý K không thuộc đường thẳng m. Dựng các đường thẳng KA, KC.
Dựng lần lượt các giao điểm M và N của đường thẳng KA và KC với đường thẳng n.
Dựng giao điểm O của đường thẳng AN và đường thẳng M C. Dựng giao điểm B của đường thẳng KO và đường thẳng AC.