2.4.1 Định lý Hahn-Banach trong thực và phức
Định lý 2.3 (Định lý Hahn-Banach thực). Cho E là một không gian vecto trên R và M là một không gian vecto con. Giả sử p : E →[0,∞)
là một nửa chuẩn trên E và là α là một phiếm tuyến tính trên M thỏa mãn
|α(x)| ≤ p(x) ∀x ∈ M.
Khi đó tồn tại một mở rộng tuyến tính β :E → R của α và thỏa mãn
(i) β(x) = α(x) với mọi x∈ M (tức là β thác triển α).
(ii) |β(x)| ≤p(x) với mọi x ∈ E.
Trường hợp thường xuyên xảy ra khi E là một không gian định chuẩn và α là một hàm tuyến tính liên tục trên không gian vecto con
M vì thế α ∈ M∗ và |α(x)| ≤ kαk kxk (x ∈ M). Sử dụng định lý, ta có p(x) = kαk kxk.
Kết luận của định lý là một thác triển tuyến tính β : E → R của α
thỏa mãn
|β(x)| ≤ p(x) = kαk kxk(x ∈ E),
hoặc các số hạng khác, một thác triển β ∈ E∗ với chuẩn kβk ≤ kαk. Thực tế thì thác triển β không có chuẩn nhỏ hơn α và vì thế kβk =
kαk.
Định lý 2.4 (Định lí Hahn-Banach cho không gian định chuẩn). . Cho V là không gian định chuẩn thực, và p là một nửa chuẩn liên tục trong V. f là một phiếm hàm tuyến tính xác định trên không gian con
M ⊂ V thỏa mãn f(x) ≤ p(x) trên M. Khi đó, có một mở rộng F
của f từ M đến N sao cho F(x) ≤ p(x) trên V.
Hệ quả 2.1. Cho f là một phiếm hàm tuyến tính bị chặn xác định trên một không gian con M của V. Khi đó có một mở rộng F của f
đến V sao cho kFk = kfk.
Định lý 2.5 (Định lý Hahn-Banach phức). Cho không gian vectơ E
trên trường C và M là một không gian vectơ con. Giả sử p : E →
[0,∞) là một nửa chuẩn trên E và giả sử:
α : M → C
là một hàm tuyến tính thỏa mãn
|α(x)| ≤ p(x) với mọi x ∈ M
Khi đó tồn tại một mở rộng β : E → C của α là tuyến tính và thỏa mãn
(i) β(x) = α(x) với mọi x ∈ M.
(ii) |β(x)| ≤ p(x) với mọi x ∈ E.
Hệ quả 2.2. Nếu E là một không gian định chuẩn và x ∈ E khác phần tử không, khi đó tồn tại α ∈ E∗ với
kαk= 1 và α(x) =kxk.
Chứng minh. Cho M = {λx : λ ∈ K}, một không gian con duy nhất của E. Xác định α : M → K bởi α(λx) = λkxk. Khi đó α là tuyến tính và
kαk = sup λ6=0
|α(λx)| kλxk = 1.
Tương tự α(x) =kxk. Theo định lý Hahn-Banach, ta có thể mở rộng
α tới một hàm tuyến tính trên không gian E của chuẩn 1.
Hệ quả 2.3. Cho E là một không gian định chuẩn và x, y ∈ E phân biệt (x 6= y). Khi đó tồn tại α ∈ E∗ với α(x) 6= α(y).
Chứng minh. Áp dụng hệ quả 2.2 cho (x −y) ta có α(x −y) 6= 0 ⇒
α(x) 6= α(y).
Hệ quả 2.4. Nếu E là một không gian định chuẩn bất kỳ, khi đó có một ánh xạ tuyến tính:
cho bởi với mỗi x ∈ E
J(x) : E∗ → K
J(x)(α) =α(x).
Ánh xạ J là đơn ánh và
kJ(x)kE∗∗ = kxkE.
Nói ngắn gọn, J là một đẳng cấu đẳng cự từ E đến phạm vi J(E) ⊂
E∗∗ của nó.
Chứng minh. Ánh xạ J(x) : E∗ → K là tuyến tính, và
|J(x)(α)| = |α(x)| ≤ kαk kxk
tức là J(x) là bị chặn trên E∗. Như vậy, J(x) ∈ (E∗)∗ và, trong thực tế
kJ(x)(α)k(E∗)∗ ≤ kxk.
Theo định lý 2.2, cho x ∈ E, tồn tại α ∈ E∗, với kαk = 1 và |α(x)| =
kxk = kαk kxk, tức là kJ(x)k ≥ kxk. Vì thế kJ(x)k = kxk và J là một đẳng cự đến phạm vi của nó. Tức là J phải là đơn ánh.
Nhận xét 2.1. Một không gian định chuẩn E là phản xạ nếu ánh xạ
J : E → E∗∗ là toàn ánh (và là đẳng cấu đẳng cự theo hệ quả 2.4)
Ví dụ 2.4.1. (i) Mọi không gian định chuẩn hữu hạn chiều đều là phản xạ (vì E∗ là không gian định chuẩn đại số ; do đó dimE∗∗ = dimE∗ = dimE và do đó đơn ánh J :E → E∗∗ phải là toàn ánh)
(ii) Nếu không gian định chuẩn E là phản xạ, thì E phải là không gian Banach (vì không gian đối ngẫu là đầy đủ).
Định lý 2.6. Nếu E là không gian định chuẩn và M ⊂ E là không gian con đóng và nếu x0 ∈ E, x0 ∈/ M, khi đó tồn tai α ∈ E∗ với
α(x0) = 1 và α(x) = 0 với mọi x ∈ M. Chứng minh. Cho
d = dist(x0, M) = inf{kx−x0k: x ∈ M}
Từ đó M là đóng và x0 ∈/ M, d > 0. Cho
M1 = {x+λx0 : x ∈ M, λ ∈ K}
và xác định một hàm tuyến tính trên M1 cho bởi
α : M1 →K α(x+λx0) =λ. Ta thấy rằng (λ 6= 0) kx+λx0k = |λ| x λ + x0 ≥ |λ|d và do đó |α(x+ λx0)| = |λ| ≤ 1 d kx+λx0k
. (đúng với mọi x +λx0 ∈ M1, ngay cả khi λ = 0). Tức là α là hàm tuyến tính liên tục trênM1, do đóα ∈ M1∗. Theo định lý Hahn-Banach, ta có thể mở rộng α tới một phần tử của E∗ với các tính chất cần
thiết.
Hệ quả 2.5. (`∞)∗ 6= `1
Cụ thể hơn, không thể đồng nhất (`∞)∗ với `1.
Chứng minh. Ta biết rằng (c0)∗ = `1, c0 là một không gian con đóng của `∞ và c0 6= `∞
Cụ thể hơn, có một ánh xạ T : `1 →(c0)∗ cho bởi
(T(b))(a) = (T((bn)∞n=1))((an)∞n=1) =
∞
X
n=1
anbn
với b = (bn)∞n=1 ∈ `1, a = (an)∞n=1 ∈ c0. Ánh xạ này là một đẳng cấu đẳng cự từ `1 đến (c0)∗. Bởi cùng một đối số (sử dụng bất đẳng thức Ho¨lders) như đã làm trong ví dụ 2.3 để biểu thị T là một toán tử tuyến tính bị chặn, từ đó ta xác định T : `1 → (l∞)∗ bằng công thức tương tự. Tương tự kT(b)k(`∞)∗ ≤ kbk1. Từ đó c0 ⊂ `∞, ta biết rằng biến thức mới của T thỏa mãn kT(b)k(`∞)∗ = kbk1. Kết quả là T không ánh xạ `1 đến (`∞)∗.
Theo định lý 2.6, tồn tại α ∈ (`∞)∗, α = 06 với α = 0 trên c0. α không thể được đại diện bởi một phần tử của `1 nghĩa là không có sự chọn lọc của (bn)n ∈ `1, do đó
α((an)n) = X n
anbn với mọi (an)n ∈ `∞
tại một ánh xạ tuyến tính không liên tục
α : E →K.
Chứng minh. Do E là một không gian vectơ trên trường K, phải có một cơ sở đại số (hoặc cơ sở Hamel). Cho {ei : i ∈ I} là một cơ sở và gọi lại mỗi x ∈ E có thể được biểu thị (theo một cách duy nhất) như là một tổ hợp tuyến tính hữu hạn
x = xi1ei1 +xi2ei2 +...+ xinein
của các phần tử cơ sở. Hoặc có thể viết lại dưới dạng
x = X
i∈I xiei
trong đó xi = 0 nếu i 6= ij cho một số j. Xem xét các phiếm hàm hệ số
αi : E → K
x 7→ xi
Khi đó, ít nhất một trong các phép biến đổi tuyến tínhαi (i ∈ I) phải là không liên tục. Thật vậy, nếu mọi αi đều liên tục, ta lấy một dãy vô hạn (in)n các phần tử phân biệt của I. Cho
xn = n X j=1 1 2j eij eij
x ∈ E. Nếu mỗi αij là liên tục thì
αij(x) = lim
n αij(xn) = 1 2j
eij là khác không với vô hạn ij. Điều này mâu thuẫn vì
x = X
i∈I
αi(x)ei
là một tổng hữu hạn.