Trong ví dụ ở hình 3.1 khi ta giả thiết rằng khoảng cách nhỏ nhất giữa các cặp đối tượng trong C1 lớn hơn khoảng cách nhỏ nhất giữa o2 với các đối tượng trong C2(d(o2,C2)), với các định nghĩa theo cách nhìn toàn cục thì tất cả các đối tượng nằm trong C1 đều là các phần tử ngoại lai. Điều này là không mong muốn, bổ đề 1 sau đây sẽ chứng tỏ rằng hầu hết các đối tượng nằm trong C1 không ngoại lai và LOF của chúng xấp xỉ bằng 1.
Bổ Đề 1: Cho C là một tập các đối tượng, đặt reach_dist_min là khoảng cách đạt được cực tiểu của các đối tượng trong C, có nghĩa là reach_dist_min
min{reach_dist(p,q)\p,qC}. Tương tự reach_dist_max là khoảng cách đạt được cực đại của các đối tượng trong C, được định nghĩa là
=reach_dist_max / reach_dist_min-1 thì với mọi p C mà mọi đối tượng q thuộc tập các lân cận phụ thuộc tham số Minpts của đối tượng p đều thuộc C và mọi đối tượng q thuộc tập các lân cận phụ thuộc tham số Minpts của đối tượng p đều thuộc C, mọi đối tượng o thuộc tập các lân cận phụ thuộc tham số Minpts của q cũng thuộc C thì LOF của p thỏa mãn điều kiện: 1/(1 + ) LOP(p) (1 + ).
Giải thích cho bổ đề 1: Ta thấy rằng, C tương đương với một vùng và bổ đề 1 chỉ quan tâm đến các đối tượng nằm sâu bên trong vùng, có nghĩa là tất cả các lân cận q thuộc tập các lân cận phụ thuộc tham số Minpts của p đều thuộc C và hơn thế nữa tất cả các đối tượng thuộc tập các lân cận phụ thuộc tham số Minpts của q cũng đều thuộc C. Các đối tượng nằm sâu như vậy thì LOF của p là bị chặn, nếu C là một vùng chặt thì giá trị trong bổ đề 1 có thể khá nhỏ, do đó làm cho LOF của p khá gần tới 1.