2 Bài toán biên Dirichlet cho phương trình ellipti cá tuyến tính cấp ha
2.5 Sự tương đương của độ nghiêng bị chặn và điều kiện ba điểm
ba điểm.
Đầu tiên giả thiết rằng , thỏa mãn một điều kiện độ nghiêng bị chặn với hằng số ,K vẫn lồi. Giả sử z z z1, ,2 3 là 3 điểm không thẳng hàng trên và giả sử
i i i
u z a zz z , i1,2,3,
là mặt phẳng trên và dưới tương đương tại điểm pi zi, zi thỏa mãn (2.27). Giả sử
i i , 1,2,3
là mặt phẳng đi qua P P P1, 2, 3. Chứng tỏ a K (nếu z z z1, ,2 3 và P P P1, 2, 3 là thẳng hàng, mặt phẳng u z với độ nghiêng K là liên tục). Theo (2.27) ta có
(2.34) a zi j zi a zj ziaizj zi, ,i j1, 2,3.
Từ z z z1, ,2 3 là các đỉnh của tam giác không suy biến và a là một vectơ trong
2 , ta có i1, 2,3 hay , 0 j j i j j ac z z c . Từ (2.34) ta cũng suy ra: 2 i j j i i j a ac z z a a K a , hoặc 2 i j i j i j a ac z z a a K a .
Do đó a K. Vì vậy điều kiện độ nghiêng bị chặn bao hàm điều kiện ba điểm đối với cùng một hằng số K. Ngược lại, giả sử , thỏa mãn điều kiện ba điểm với hằng số K trên miền lồi . zCho AzA, zA là điểm bất kỳ của sao cho zA không là điểm trong của đường thẳng . Tồn tại một dãy các hình tam giác với các đỉnh ở những điểm không thẳng hàng
, i, i , i=1,2,...
A B C sao cho B Ci, iA cũng như i và mặt phẳng i
xác định bởi , ,A B Ci i hội tụ đến một mặt phẳng giới hạn . Có thể giả thiết rằng đoạn ABi có một phương giới hạn trong đó xác định một đường thẳng L
qua A nằm trong có hình chiếu Lz lên mặt phẳng z là một giá của . Rõ ràng L trùng với tiếp tuyến của tại A. Cho Q, QL và cho biểu thị mặt phẳng xác định bởi Q L, . Độ nghiêng của không vượt quá K, từ
đó chuỗi mặt phẳng xác định bởi A Q, và Bi có độ nghiêng giới hạn như . Xét chuỗi mặt phẳng chứa L và điểm Q, QL, và cho các mặt phẳng xác định bởi hàm số tuyến tính uQ z . Trong mặt phẳng z cho H ký hiệu nửa mặt phẳng có bờ là cạnh L chứa . Nếu Q z Q' z với zH
nào đó, thì bất đẳng thức không đổi với mọi zH, trong trường hợp đặc biệt, với mọi z. Vì vậy có mặt phẳng trên và dưới tại A được xác định bởi.
sup , inf , z H Q L Q L Q Q Q Q z z z z .
Mặt phẳng u z và u z có độ nghiêng không vượt quá K và nằm tương ứng trên và dưới (trên ). Do đó chúng thỏa mãn điều kiện độ nghiêng bị chặn tại hằng sốK không đổi. Rõ ràng nếu A nằm trên đoạn thẳng
, thì đường thẳng chứa đoạn này có thể thay thế L trong lý luận trên. Vì vậy điều kiện ba điểm kéo theo điều kiện độ nghiêng bị chặn với cùng một hằng số K.
KẾT LUẬN
Luận văn đã trình bày được các vấn đề sau:
1. Đánh giá tiên nghiệm đối với ánh xạ K K, -á bảo giác trên mặt phẳng phức, trong đó có đánh giá cho tích phân Dirichlet và chuẩn Holder cho các thành phần của ánh xạ.
2. Áp dụng các kết quả của ánh xạ K K, -á bảo giác vào nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán biên Dirichlet cho phương trình á tuyến tính elliptic đều và không đều với hai biến độc lập.
Tài liệu tham khảo
[1] David Gilbang, Neil. S. Trudinger (2001), Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer.
[2] L.Bers, M.Schechter (1964), Partial Differential Equations, New York Interscience.