Đẳng thức này đúng nên ta có (Đpcm).
b) Phần đảo
Gọi giao điểm của dM,dN là O
Qua O hạ đường vuông góc xuống AB tại P . áp dụng định lí phần thuận ta có :
2 2 ' 2 2 2 ' 2
MB NC P A MC NA P B P trùng với P.
dM,d d đồng quy. N, P
4. Định lí Steiner-Lenmus về tam giác cân Định lí Steiner-Lenmus:
Nếu một tam giác có hai phân giác bằng nhau thì nó là một tam giác cân .
Chứng minh
Cho ABC , với 2 phân giác xuất phát từ B, C bằng nhau (BM=CN). Ta phải chứng minh AC = AB (b=c).
Định lí này có nhiều cách chứng minh. Sau đây là 2 cách chứng minh. Cách 1 chỉ sử dụng kiến thức lớp 7, cách 2 chỉ sử dụng 1 số kiến thức đơn giản về đường tròn lớp 9.
Cách 1
a) Giả sử
1 1
B C tức, B C . Từ N kẻ ND // BM và ND = BM = CN Vậy tam giác CND cân tại N,và NCDNDC (1)
Mặt khác: 1 2 2 B D B và 2 nên 1 2 (2) 2 C C D C So sánh BCM và BCN có BC chung BM = CN và hai góc xen
30
giữa không bằng nhau: B1C1 ta suy ra :CM > BN, tức CM > DM (Vì DM = BN). Từ đó : D2 C3 (3)
Từ (2),(3) D1D2 C2C3
Hay NDC >NCD trái với (1).
b) Do 2 góc B , C có vai trò như nhau, nên với chứng minh trên cũng đủ để kết luận rằng, nếu B C thì dẫn đến mâu thuẫn.
Vậy B = C và ABC cân
Cách 2:
Theo giả thiết , BM=CN .
Giả sử B( =2 ) C( 2 ) . Chẳng hạn
BC. Vẽ đường tròn qua B, C, M cắt CN tại D. Vì MBD( = )<MBN( ) nên điểm D nằm giữa C và N, hay CD < CN (1) Mặt khác: (= ) ( ) CD CM MD BM BD DM (do + > ) nên CD > BM, tức : CD > CN (2) Từ (1), (2) mâu thuẫn với nhau:
B < C cũng dẫn tới mâu thuẫn tương tự .
Vậy B = C
5. Tam giác trực tâm và định lí Fagnano
Cho tam giác nhọn ABC. Tam giác MNP có đỉnh nằm trên 3 cạnh
của ABC được gọi là tam giác nội tiếp trong tam giác (Hình 29). Tam
31
giác nội tiếp có đỉnh là chân 3 đường cao ( D, E, G) của tam giác ABC
được gọi là tam giác trực tâm của tam giác ABC (Hình 30).
Tam giác trực tâm có một số tính chất và thể hiện trong 2 định lí sau đây: 5.1 Định lí
Các đường cao của tam giác nhọn ABC là các đường phân giác trong của tam giác trực tâm của tam giác ABC.
Cho tam giác nhọn ABC và DEF là tam giác trực tâm của nó. Để chứng minh đường cao AD của tam giác ABC là phân giác trong của
DEF, tức là chứng minh FDAEDA, ta có thể chứng minh
BFDCDE. Tương tự như vậy với các đường cao khác .
Chứng minh định lí.
Ta có ABD CBF( tam giác vuông có góc nhọn B chung). Do đó AB DB
CB FB suy ra ABC DBF vì vậy BACBDF (1)
Hỡnh 23 Hỡnh 22
32Tương tự : Tương tự :
CAD CBE nên CA CD
CB CE
ra và (2)
Suy CAB CDE CAB CDE
(1),(2) (đpcm)
Từ ta có BDF CDE
5.2. Định lí Fagnano
Trong tất cả các tam giác nội tiếp một tam giác nhọn ABC, tam giác trực tâm có chu vi nhỏ nhất .
Chứng minh của Fejer
Cho ABC , có tam giác trực tâm DEF . Lấy D1,D2 đối xứng của D qua AB, AC.
Theo định lí 5.1 , dễ dàng thấy suy ra D1 ,E, F, D2 thẳng hàng và chu vi
DEF
bằng đoạn thẳng D1D2
Xét tam giác bất kì MNP, nội tiếp trong tam giác ABC và không trùng
với DEF .