không giãn
2.1. Một số kiến thức chuẩn bị
2.1.1. Hội tụ mạnh và yếu
Định nghĩa 2.1.1. Giả sử X là không gian định chuẩn.
1. Ta nói {xn} hội tụ mạnh đến x (kí hiệu: xn −→x) nếu ∥xn −x∥ → 0
2. Dãy {xn} hội tụ yếu đến x (xn −→w x) , nếu: ∀f ∈ X∗ : f(xn) →f(x)
Rõ ràng hội tụ mạnh suy ra hội tụ yếu. Điều ngược lại không đúng. Ví dụ 2.1.1. Cho {en} là hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert khả ly. Vì
||en −em| |2 = (en−em, en−em) = ||en| |2 +||em| |2 = 2
nên dãy {en} không là dãy Cauchy và do đó không hội tụ.
Mặt khác, mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong H đều có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng f(x) = (x, y), y cố định.
Nói riêng f(en) = (en, f) = cn là hệ số Fourier của f. Từ bất đẳng thức Bessel: ∞ ∑ n=1 en2 ≤ ∥y∥2 suy ra chuỗi ∑∞ n=1
en2 hội tụ, nên số hạng tổng quát e2n −→ 0. Do đó:
f(en) −→ 0 = f(0)
Điều này đúng với mọi f ∈ H∗ nên en ⇀ 0.
Nhận xét 2.10. Giới hạn yếu nếu tồn tại thì duy nhất.
Định lý 2.1.1. Toán tử tuyến tính liên tục đưa mọi dãy hội tụ yếu vào dãy hội tụ yếu.
Định lý 2.1.2. Mọi dãy hội tụ yếu đều giới nội.
Định lý 2.1.3. Trên tập compăc tương đối, hội tụ mạnh và yếu trùng nhau.
Định lý 2.1.4. Chuẩn là phiếm hàm nửa liên tục dưới yếu, nghĩa là: Nếu xn ⇀ x0 thì ∥xo∥ ≤ limn∥xn∥.
Định lý 2.1.5. Tập lồi và đóng (mạnh) thì đóng yếu.
Định lý 2.1.6. Hình cầu đơn vị trong không gian Hilbert là tập compăc yếu.
Rộng hơn, tập đóng và bị chặn trong không gian Hilbert (hay Banach phản xạ) thì compăc yếu.