f(x,y) g(x,y) f’(x,y) f (x,y)
( , )x y
Nhiễu gây hư hại
Hình 2.1. Mô hình hóa sự khôi phục lại ảnh gốc Hàm hư
hại H +
Lọc khôi phục ảnh
-26-
Quá trình khôi phục ảnh được mô hình hóa trên sơ đồ hình 2.1. Như thấy trên sơ đồ, ảnh hư hại f’(x,y) do một hàm hư hại H và do các nhiễu cộng thêm
( , )x y
gây ra
f’(x,y) = H[f(x,y)] + ( , )x y (2.2)
Mục tiêu của sự khôi phục ảnh là từ ảnh hư hại này xác định được ảnh gốc f(x,y) khi hàm hư hại H và nhiễu đã biết. Và hiển nhiên, càng biết nhiều về nguyên nhân gây hư hại ảnh; tức là hàm H và nhiễu ( , )x y thì ảnh khôi phục lại f’(x,y) sẽ càng gần với ảnh gốc f(x,y).
Nếu H là một quá trình tuyến tính và bất biến với không gian, thì trong lĩnh vực không gian, ảnh hư hại sẽ được xác định bởi phương trình :
f x y'( , ) h x y( , ) * ( , )f x y ( , )x y (2.3) trong đó
g(x,y) = h(x,y)*(x,y) (2.4)
là nhân chập hai mảng dữ liệu h(x,y) và ảnh f(x,y). Nếu là ảnh số, thì :
( , ) ( , ) ( , , , ) N N i j g m n f i j h i j n m (2.5) Hay dưới dạng ma trận g = Hf (2.6)
Ở đây h(x,y) là đáp ứng xung đơn vị 2D của hàm hư hại H, ký hiệu * là nhân chập 2D giữa hai mảng dữ liệu h và f(x,y). Nếu lấy biến đổi Fourier 2D phương trình (2.3) và (2.4) ta sẽ thu được :
F(u,v) = H(u,v)F(u,v) + N(u,v) (2.7) Và
G(u,v) = H(u,v)F(u,v) (2.8)
Đây chính là biểu diễn hư hại f’(x,y) trên lĩnh vực tần số. Như vậy, nếu biết được hàm truyền hư hại h(x,y) và xác định được biến đổi Fourier của ảnh
-27-
hư hại G(u,v) thì ta có thể xác định được biến đổi Fourier của ảnh không bị hư hại nhờ hệ thức :
F(u,v) = ( , )
( , )
G u v
H u v (2.9)
và từ đó khôi phục được ảnh gốc f(x,y) bằng cách lấy biến đổi Fourier nghịch đảo của hàm F(u,v). Tuy nhiên, cách làm này không phải bao giờ cũng thực hiện được. Thật vậy, nếu h(u,v) = 0 thì điều gì sẽ xảy ra tại điểm (u,v) đó? Hàm H(u,v) có thể có giá trị bằng không tại một số điểm trong mặt phẳng (u,v); có nghĩa là G(u,v) cũng có giá trị bằng không tại các điểm đó. Do vậy hàm F(u,v) sẽ có giá trị không tại các điểm này. Vì thế, ảnh gốc sẽ không thể khôi phục lại được tại các tần số (u,v) đó. Vậy làm thế nào để vượt qua khó khăn này? có thể được vì chỉ cần có tác động nhỏ vào phương trình (2.8) thì các điểm không của H(u,v) sẽ khác với các điểm không của G(u,v). Có nghĩa là chúng ta phải cộng thêm một lượng tạp nhiễu nhỏ ( , )x y vào như trong phương trình (2.4). Khi đó sẽ thu được phương trình (2.7) và biến đổi Fourier của ảnh không hư hại tìm được dưới dạng :
' ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) F u v N u v F u v H u v H u v (2.10)
Như vậy nếu biết được hàm hư hại h(x,y), tạp nhiễu cộng thêm ( , )x y và tính được biến đổi Fourier của ảnh hư hại '
( , )
F u v ta có thể xác định được biến đổi Fourier của ảnh không bị hư hại F u v( , )và từ đó khôi phục ảnh gốc không bị hư hại f(x,y) bằng cách lấy biến đổi nghịch đảo F(u,v). Trong phương pháp này lại đặt ra một vấn đề mới; đó là vì H(u,v) có thể có giá trị không hoặc thậm chí rất nhỏ thì tạp nhiễu có thể được khuếch đại cực lớn. Vậy làm thế nào để tránh không khuếch đại tạp nhiễu tại các tần số này ? Thông thường, hàm H(u,v) giảm rất nhanh khi ra ngoài gốc tọa độ, trong khi hàm N(u,v) lại gần như hằng số. Do đó, nếu dùng một hàm cửa sổ cắt hàm H(u,v) trước khi nó có giá trị bằng không rất nhỏ; khi đó tỉ số thứ hai trong (2.10) sẽ có giá trị
-28-
rất nhỏ và vì vậy ta sẽ tránh được hiện tượng làm tăng tạp nhiễu. Hàm hư hại H đôi khi được gọi là hàm truyền quang học (OTF: Optical Transfer Function). Trong lĩnh vực không gian, hàm H(x,y) được gọi là hàm mở rộng điểm (PSF: Point Spread Function).
Hàm mở rộng điểm hay hàm hư hại(PSF) đóng vai trò rất quan trọng. Dựa vào mô hình PSF này, ta có thể xác định một cách chính xác nguyên nhân gây hư hại ảnh và do đó có thể khôi phục ảnh hoàn hảo nhất.