x thỏa mãn f1 () =0 Do đó f0 (.) sẽ đạt cực tiểu tại điểm tiếp úc ∗ giữa đường thẳng
2.2.5 Điểm yên ngựa và định lý Kuhn-Tucker
Từ đây ta xét bài toán quy hoạch lồi với ràng buộc bất đẳng thức trong không gian Euclid và hàm mục tiêu f0(x) thay bởi f(x)., tức là bài toán quy hoạch lồi có dạng:
f(x) → inf, (2.36)
D = {x ∈ A | f1(x) ≤ 0, f2(x) ≤ 0, . . . , fm(x) ≤ 0,}. (2.37) Định nghĩa 2.2.26. (Hướng chấp nhận được) Cho phương án x, ta nói véc tơ z ∈ IRn là hướng chấp nhận được tại x nếu tồn tại > 0 sao cho
x+z cũng là phương án (do đó ∀λ : 0 ≤ λ ≥ thì x+λz cũng là phương án của bài toán (2.36)–(2.37).
Ta có nhận xét sau: Với D là tập lồi, gọi Dx là tập tất cả các hướng chấp nhận được tại x. Khi đó, z = 0(x−x) với x ∈ D cũng là hướng chấp nhận được. Thật vậy:
x+z = x+ 0(x−x) =0x+ (1−0)x ∈ D(do D lồi ).
Định lý 2.2.28. (Điều kiện cần và đủ) Phương án x∗ là phương án tối ưu khi và chỉ khi
f0(x∗;z) ≥0 ∀z ∈ Dx∗. (2.38)
Chứng minh. Điều kiện cần: Cho x∗ là phương án tối ưu và z ∈ Dx∗. Khi đó tồn tại > 0 đủ nhỏ để x∗ +z ∈ Dx∗ do đó
f(x∗ +z)−f(x∗)
≥ 0.
Cho →0+ ta suy ra điều kiện cần.
Điều kiện đủ: Giả sử biểu thức (2.38) thỏa mãn, tức là δf(x∗;z) ≥ 0∀z ∈
Dx∗. Theo tính chất của hàm lồi ta có f(x∗ +z)−f(x∗) ≥ δf(x∗;z), nên thay z := x−x∗ ta được
∀x ∈ D : f(x∗ + (x−x∗))−f(x∗) ≥ δf(x∗, x−x∗)
⇒ f(x)−f(x∗) ≥ δf(x∗, z)
Do đó x∗ là phương án tối ưu của bài toán (2.36)–(2.37). Hệ quả 2.2.4. điểm yên ngựa Nếu f khả vi và ∂f∂x(x)
j = 0 (j = 1, . . . m) tại
x ∈ Dx∗ thì x∗ là phương án tối ưu.
Định nghĩa 2.2.27. (Điểm yên ngựa) Ta nói một điểm (x, λ) ∈
IRn×IRm là điểm yên ngựa (hay điểm đèo) của hàm Lagrange
L(x, λ) := f(x) + m
X
i=1
λifi(x),
trong đó λ := (λ1, λ2, . . . , λm), nhận các giá trị thực, nếu
x ∈ A, λ≥ 0
∀x ∈ A ∀λ ≥ 0 : L(x, λ) ≤ L(x, λ) ≤ L(x, λ). (2.39)
Từ định nghĩa và biểu thức (2.39) ta thấy, khi cố định x = x, thì (x, λ)
là điểm "cao" nhất của L(x, λ). Khi cố định λ = λ thì (x, λ) lại là điểm ” thấp ” nhất.
Định lý 2.2.29. (Phát biểu khác của Định lý Kuhn – Tucker) Giả sử bài toán quy hoạch lồi thỏa điều kiện Slater
∃z ∈ A : fi(z) < 0 ∀i = 1, . . . , m.
Khi đó x∗ ∈ D là phương án tối ưu khi và chỉ khi ∃λ∗ ∈ IRm, λ∗ ≥ 0 sao cho (x∗, λ∗) là điểm yên ngựa của hàm Lagrange L(x, λ) trong miền x ∈ D.
Nhận xét 2.2.3. Phần phải của (2.39) có nghĩa là :
L(x∗, λ∗) = min
x∈A L(x, λ∗).
Phần trái của (2.39) có nghĩa là :
L(x∗, λ∗) = max
x∈A L(x∗, λ).
Do đó định lý có thể phát biểu tương đương như sau: x∗ là phương án tối ưu của bài toán khi và chỉ khi tồn tại λ∗ sao cho
(a) x∗ là lời giải của bài toán
minL(x, λ∗).
(b) x∗ là lời giải của bài toán
maxL(x∗, λ).
Ta dễ dàng thấy rằng điều kiện (b) tương đương với
m
X
i=1
λ∗ifi(x∗) = 0, fi(x∗ ≤ 0, i = 1,2, . . . , m.
Thực vậy, vìλi ≥0, fi(x∗) ≤ 0nênPm
i=1λifi(x∗) = 0.Ngược lại cũng tương tự. Từ đây, ta nhận được phát biểu ban đầu của Định lý Kuhn-Tucker.
Nhận xét 2.2.4. Khi A = IRn và các hàm f, fi, i= 1, . . . , m là khả vi, khi đó theo Hệ quả 2.2.4 thì điều kiện Kuhn-Tucker có dạng
∂f(x∗) ∂xj + m X i=1 ∂fi(x∗)λ∗i ∂xj = 0, j = 1,˙,n hoặc 5f(x∗) + m X i=1 5fi(x∗)λ∗i ∂xj = 0. Nhận xét 2.2.5. Ý nghĩa và ứng dụng
- Coi các nhân tử Lagrange λi như là tiền phạt (hay giá) phải trả nếu
fi(x) vượt quá mức cho phép một đơn vị...(mức tối đa cho phép của
fi(x) là 0.)
- Coi f(x) là chi phí phải trả nếu chọn điểm x ∈ D.
Khi đó tổng số tiền phải trả là cho x ∈ D là L(x, λi). Như vậy theo các định lý đã phát biểu ở các dạng khác nhau ở trên ta thấy rằng nếu chọn giá trị λ∗ = (λ∗1, . . . , λ∗m) thích hợp thì lời giải x∗ cũng sẽ là lời giải của bài toán đặt ra. Giá trị λ∗ là thích hợp nếu số tiền phạt là lớn nhất đối với phương án x∗ đã tìm.
Trong nhiều trường hợp thực tế, việc tìm cực tiểu của một hàm lồi bất kỳ f(x) trên tập D có thể tiến hành tương đối đơn giản nhờ một thuật toán tốt, hoặc một cơ chế tự động nào đó có thể tin cậy được. Khi ấy cách làm thứ hai trên đây có thể thực hiện được bằng cách lấy một giá trị λ >0
tìm x ∈ D đạt cực tiểu hàm lồi L(x, λ) rồi điều chỉnh dần giá λ cho đến khi nó trở thành thích hợp. Như thế bài toán sẽ quy về điều chỉnh véc tơ m chiều λ và nếu m rất nhỏ so vớin (số chiều của x) thì phương pháp này có thể hiệu lực hơn là tìm trực tiếp x. Đó là cơ sở khoa học của phương pháp xử lý hiện đại đối với nhiều bài toán quản lý kinh tế và điều khiển các hệ thống phức tạp nói chung.
Ghi chúCác kết quả được trình bày ở các mục trên có thể tìm thấy trong các tài liệu sau: [1],[2],. . .