Trƣớc khi chúng ta có thể hợp nhất các kiểu thời gian phức tạp trong thiết kế logic về CSDL thời gian, ta cần hình thức hoá khái niệm về kiểu thời gian. Trong phần tiếp theo ta ký hiệu R là tập của mọi số thực.
Ta giả sử rằng có một khái niệm ngầm về thời gian tuyệt đối, đƣợc biểu diễn bởi tập hợp của các số thực.
Một kiểu thời gian là một ánh xạ µ từ tập hợp của các số nguyên dƣơng (những thời khắc) tới 2P
R
P (tập hợp của các tập thời gian tuyệt đối, tức là tập tất cả các tập con của R) mà với mọi số nguyên dƣơng i và j với i < j, thoả mãn các điều kiện sau:
(1)µ(i) ≠ Ø và µ(j) ≠ Ø chỉ ra rằng mỗi số thực trong µ(i) là nhỏ hơn mọi số thực trong µ(j), và
(2)µ(i) = Ø dẫn đến µ(j) = Ø.
Điều kiện (1) chỉ ra rằng phép ánh xạ phải là đơn điệu. Điều kiện (2) không cho phép một tập rỗng là giá trị của một ánh xạ với một thời khắc nhất định trừ khi tập rỗng sẽ là giá trị của ánh xạ với tất cả mọi thời khắc xảy ra sau.
Các kiểu thời gian trực giác (ví dụ: ngày, tháng, tuần, và năm) thoả mãn định nghĩa trên. Ví dụ, ta có thể định nghĩa một kiểu thời gian đặc biệt nam bắt đầu từ năm 1800 nhƣ sau: nam(1) là một tập của tập thời gian tuyệt đối (một khoảng của các số thực) tƣơng ứng với năm 1800, nam(2) là một tập của tập thời gian tuyệt đối tƣơng ứng với năm 1801 …vv. Chú ý là các tập hợp trong kiểu nam là các khoảng liên tục, tuy nhiên đây không phải là trƣờng hợp cho mọi kiểu. Năm nhuận, không phải là một khoảng liên tục, cũng tạo thành một kiểu thời gian. Nếu ta coi năm 1892 là năm nhuận đầu tiên, thì nam_nhuan(2) tƣơng ứng với 1896, nam_nhuan(3) tƣơng ứng với 1904TP
2
PT, nam_nhuan(4) tƣơng ứng với 1908, …vv. Chúng ta cũng có thể biểu diễn một tập hợp hữu hạn các “thời khắc” nhƣ là một kiểu thời gian. Ví dụ, để xác định rõ năm 1993, ta có thể sử dụng kiểu thời gian T nhƣ sau T(1) là tập thời gian thực tƣơng ứng với năm 1993, và T(i) = Ø với mỗi
i >1.
Định nghĩa cũng cho phép kiểu thời gian trong đó các thời khắc đƣợc ánh xạ tới không chỉ một khoảng đơn. Đó là sự khái quát hoá của hầu hết các định nghĩa trƣớc đó về những kiểu thời gian. Ví dụ, xem xét kiểu thang_lam_viec, trong đó mỗi tháng làm việc là một kết hợp của mọi ngày làm việc trong một tháng (nghĩa là, trừ mọi ngày thứ 7 và chủ nhật). Trong trƣờng hợp này có nhiều hơn một khoảng
TP
2
đơn là nằm trong một thời khắc).
Trong một hệ thống thực, ta phải phân biệt đƣợc tên của các kiểu thời gian, chẳng hạn nhƣ ngay, đƣợc ngƣời dùng hoặc các nhà thiết kế hệ thống sử dụng từ ánh xạ mà họ biểu diễn. Có thể trong một hệ thống có những tên khác nhau đƣợc dùng cho cùng một ánh xạ. Ví dụ: ngay và giorno (tiếng Italia có nghĩa là ngày) biểu diễn cùng một phép ánh xạ. Tuy nhiên để cho đơn giản, trong chƣơng này ta giả sử rằng các ký hiệu khác nhau đƣợc dùng để biểu diễn các ánh xạ khác nhau.
Có một mối quan hệ tự nhiên giữa các kiểu thời gian nhƣ sau:
Định nghĩa 2.2: (Kiểu mịn hơn) [6]:
Cho µB1B và µB2B là các kiểu thời gian, ta nói rằng µB1B là mịn hơn (finer) µB2B, ký hiệu là
µB1B≼µB2B, nếu với mỗi i tồn tại một j mà µB1B(i) µB2B(j).
Quan hệ “mịn hơn” này là cần thiết cho các phụ thuộc hàm thời gian. Trong quan hệ KHOA_HOC, do một giảng viên không thay đổi trong vòng một tuần, nên nó sẽ không thay đổi trong bất kỳ ngày nào của tuần đó. (Chú ý là ngày là mịn hơn tuần). Thực tế, giảng viên sẽ không thay đổi với nghĩa là bất kỳ kiểu thời gian nào mịn hơn tuan. Ta sẽ thảo luận vấn đề này kỹ hơn ở Phần 2.3. Chú ý: ở đây có một số vô hạn các kiểu thời gian mịn hơn tuan.
Trong phần còn lại của chƣơng này các điều kiện nhƣ µB1B(i) µB2B(j) thông thƣờng đƣợc biểu diễn nhƣ là “thời khắc j của µB2B bao trùm thời khắc i của µB1B”. Ký hiệu µ≺υ đƣợc dùng cho quan hệ mịn hơn chặt µ ≺ υ nếu µ ≼υ và µ ≠ υ.
Bây giờ xem xét các tính chất của quan hệ mịn hơn. Theo định nghĩa, µ ≼ µ
với mỗi kiểu thời gian µ và nếu µB1B≼µB2B và µB2B≼µB1B thì µB1B = µB2B. Hơn thế nữa quan hệ mịn hơn hiển nhiên là bắc cầu. Do đó ≼ là một thứ tự bộ phận. Quan hệ ≼ không là một thứ tự toàn phần vì, ví dụ tuan và thang là không thể so sánh đƣợc (tức là tuan không mịn hơn thang, và thang không mịn hơn tuan). Tồn tại một cận trên nhỏ nhất duy nhất của tập mọi kiểu thời gian đƣợc ký hiêu bởi µBTopB và một cận dƣới lớn nhất duy nhất µ . Các cận này đƣợc định nghĩa nhƣ sau: µ (1) = ;
µBTopB(i) = Ø với i >1, và µBBottomB (i) = Ø với i nguyên dƣơng. Thêm vào đó, với mỗi cặp µB1B, µB2B, tồn tại một cận trên nhỏ nhất lub(µB1B, µB2B) và một cận dƣới lớn nhất
glb(µB1B, µB2B) của hai kiểu đối với ≼.Nghĩa là tập của mọi kiểu có dạng một dàn đối với ≼ (quan hệ mịn hơn).
Mệnh đề 1: Tập hợp của tất cả các kiểu thời gian là một dàn (lattice) đối với quan hệ mịn hơn[6].
2.2.2 - Module thời gian: