ChoΩlà một miền compact trongRn(n≥ 3),với biên∂Ωtrơn và phân hoạch đơn vị{Uj, ϕj}Nj=1.
Định nghĩa 2.4.1. Toán tử A tác động tuyến tính từ ∪`≥0H`,p,q(Ω) vào
∪`≥0H`,p,q(Ω)đ−ợc gọi là toán tử GVP cấpsnếu
(i) với mỗi ϕ ∈ C∞(Ω), toán tử ϕA−Aϕ là toán tử tuyến tính bị chặn từ
H`+s,p,q(Ω)vàoH`+1,p,q(Ω), với mọi` ≥0,
(ii) với mỗiϕ, ψ ∈ C∞(Ω)có giá cùng nằm trongUj
• nếu Uj ∩∂Ω = ∅thì trong hệ toạ độ địa ph−ơng liên kết với Uj có
ϕA[ψ] = ϕAj[ψ]trong đó Aj là toán tử GVP cấpstrong Rn,
• nếu Uj ∩∂Ω 6= ∅thì trong hệ toạ độ địa ph−ơng liên kết với Uj có
ϕA[ψ] = ϕAj[ψ]trong đó Aj là toán tử GVP cấpstrong R¯n
Toán tử A đ−ợc gọi là chấp nhận đ−ợc nếu với mọi ϕ, ψ ∈ C∞(Ω) có giá nằm trong Uj, mà Uj ∩∂Ω 6= ∅, thì trong hệ toạ độ địa ph−ơng liên kết với
Uj cóϕA[ψ.] = ϕAj[ψ.], vớiAj là chấp nhận đ−ợc. Cho s,m1, . . . , ms ∈ Z+, γ1, γ2 ∈ R và
Q=
z ∈ C
γ1 ≤ argz ≤γ2 .
Xét bài toán biên
Au(x, q) = f(x, q), x ∈ Ω, (2.18)
Bju(x, q)
∂Ω =Bju(x, q)
x=x0 = gj(x0, q), j = 1, . . . , s, (2.19) trong đó q ∈ Q, A, Bj là các toán tử GVP chấp nhận đ−ợc cấp2s, mj trong miềnΩ. Đặt`0 = max 2s, m1+ 1, . . . , ms+ 1 ,U = A, B1 ∂Ω, . . . , Bs ∂Ω , và khi`≥ `0, 1 < p < ∞, H`,p,q(Ω, ∂Ω) = H`−2s,p,q(Ω)ì s Y j=1 H`−mj−(1−1 p),p,q(∂Ω) với chuẩn k(f, g)k`,p,q,Ω,∂Ω = k(f, g1, . . . , gs)k`,p,q,Ω,∂Ω = kfk`−2s,p,q,Ω+ s X j=1 kgjk`−m j−(1−1 p),p,q,∂Ω.
Mệnh đề 2.4.2. Toán tử U là toán tử tuyến tính bị chặn từ H`,p,q(Ω) vào
H`,p,q(Ω, ∂Ω). Hơn nữa, có đánh giá
kUuk`,p,q,Ω,∂Ω ≤ Ckuk`,p,q,Ω, u ∈ H`,p,q(Ω),
trong đóC là hằng số không phụ thuộcu, q.
Chứng minh: Với{Uj, ϕj}Nj=1 là một phân hoạch đơn vị củaΩ,chọn các hàm
xthuộc giásuppϕj.Có Uu = N X j=1 ϕjUj(ψju) +T u,
trong đóT là toán tử tuyến tính bị chặn từH`−1,p,q(Ω)vào H`,p,q(Ω, ∂Ω),
• khiUj ∩∂Ω = ∅thì Uj =Aj là toán tử GVP cấp2s trong Rn,
• khiUj∩∂Ω 6= ∅thìUj = (Aj, Bj1|xn=0, . . . , Bjs|xn=0)vớiAj, Bj1, . . . , Bjs
là các toán tử GVP cấp, t−ơng ứng, là2s, m1, . . . , ms, trong nửa không gianR¯n +. Khi đó từ Mệnh đề 2.3.2, Định lý 2.2.3 có ||Uu||`,p,q,Ω,∂Ω ≤ ||ϕjUj(ψju)||`,p,q,Ω,∂Ω+||T u||`−1,p,q,Ω,∂Ω ≤CX0 j||ϕjAj(ψju)||`−2s,p,q,Ω+X00 j||ϕjUj(ψju)||`,p,q,Ω,∂Ω +||u||`−1,p,q,Ω ≤CX0 j||ϕju||`,p,q,Ω+X00 j||ϕju||`,p,q,Ω+||ϕju||`,p,q,Ω trong đóP0
j lấy tổng tất cả các chỉ sốj màUj không giao với biên ∂Ω, còn
P00
j lấy tổng tất cả các chỉ sốj màUj giao với biên∂Ω,nên
kUuk`,p,q,Ω,∂Ω ≤ Ckuk`,p,q,Ω, u ∈ H`,p,q(Ω),
trong đóC là hằng số không phụ thuộc u,q.
Tính Elliptic. Trong hệ toạ độ liên kết với mỗi lân cận Uj toán tử A có dạngAj là toán tử GVP trongRn hayR¯n
+, tuỳ theo lân cậnUj không giao hay giao với biên∂Ω, phần chínhA0j là toán tử GVP có biểu tr−ng σA0j(x, ξ, q) là phần thuần nhất d−ơng bậc2strong biểu tr−ngσAj(x, ξ, q).
Toán tử A đ−ợc gọi là elliptic nếu trong mỗi lân cận Uj, phần chính A0j là toán tử elliptic, nghĩa là biểu tr−ng
Lấy y ∈ ∂Ω. Khi đó có một lân cận giao với biênUj chứay.Trong hệ toạ độ địa ph−ơng liên kết vớiUj mà ở đó y trở thành gốc của hệ toạ độ, phần biên
∂Ω∩ Uj trở thành một phần của siêu phẳng xn = 0, vàUj nằm ở nửa không gian trênxn ≥ 0,toán tửA, B1, . . . , Bs có các phần chínhA0j, B01j, . . . , B0sj
với các biểu tr−ng t−ơng ứngσA0j(x, ξ, q), σB01j(x, ξ, q), σB0sj(x, ξ, q).
Toán tửU,hay bài toán biên (2.18)−(2.19),đ−ợc gọi là thoả mãn điều kiện Shapiro- Lopatinski nếu bài toán Cauchy trên nửa đ−ờng thẳngt≥ 0
σA0j(0, ξ,−d dt, q)v(t) = 0, t > 0, (2.20) σB0kj(0, ξ0,−i d dt, q)v(t) t=0 =hk. k = 1, . . . , s, (2.21) khi||ξ0||+|q| 6= 0, có duy nhất nghiệm trong không gian các nghiệm ổn định
Mcủa ph−ơng trình (2.20) với bất kỳhk.
Toán tửU, hay bài toán biên (2.18)−(2.19),đ−ợc gọi là elliptic nếu (i) toán tửAlà elliptic,
(ii) toán tửU thoả mãn điều kiện Shapiro- Lopatinski.
Mệnh đề 2.4.3. Giả sử toán tử U là elliptic. Khi đó ta có −ớc l−ợng tiên nghiệm
kuk`,p,q,Ω ≤ C kUuk`,p,q,Ω,∂Ω+kuk`−1,p,q,Ω
, u ∈ H`,p,q(Ω)
trong đó hằng sốC không phụ thuộcu, q.
Khi đó với|q|đủ lớn, toán tử U là đơn ánh từH`,p,q(Ω)vàoH`,p,q(Ω, ∂Ω),
hay nói cách khác với mọi (f, g) ∈ H`,p,q(Ω, ∂Ω), nếu bài toán biên
(2.18)−(2.19)có nghiệm thì nó có duy nhất nghiệmu ∈ H`,p,q(Ω).
Chứng minh: Với{Uj, ϕj}Nj=1 là một phân hoạch đơn vị củaΩ,chọn các hàm
ψ1, . . . , ψN thuộc lớpC0∞(Ω)mà giásuppψj nằm trong Uj vàψj(x) = 1khi
xthuộc giásuppϕj.Có
Uu =
N
X
j=1
trong đóT là toán tử tuyến tính bị chặn từH`−1,p,q(Ω)vào H`,p,q(Ω, ∂Ω),
• khi Uj ∩ ∂Ω = ∅ thì Uj = Aj là toán tử GVP elliptic cấp 2s trong Rn nên
||u||`,p,q,Ω ≤C||ϕjUj(ψju)||`−2s,p,q,Ω+||u||`−1,p,q,Ω,
• khiUj ∩ ∂Ω 6= ∅ thìUj = (Aj, Bj1|xn=0, . . . , Bjs|xn=0) là elliptic trong ¯ Rn+ nên ||u||`,p,q,Ω ≤C||ϕjUj(ψju)||`,p,q,Ω,∂Ω+||u||`−1,p,q,Ω, do đó, có ||u||`,p,q,Ω≤ C|| N X j=1 ϕjUj(ψju)||`,p,q,Ω,∂Ω ≤ C ||Uu||`,p,q,Ω,∂Ω+||T u||`,p,q,Ω,∂Ω ≤ C ||Uu||`,p,q,Ω,∂Ω+||u||`−1,p,q,Ω,∂Ω (2.22) trong đó hằng sốC không phụ thuộcu, q.
Chú ý rằng, khi|q|đủ lớn thì chuẩn của phép nhúngH`,p,q(Ω) ,→ H`−1,p,q(Ω) nhỏ hơn 1
2C,nghĩa là||u||`−1,p,q,Ω ≤ 1
2C||u||`,p,q,Ω
nên, thay vào (2.22), có||u||`,p,q,Ω ≤ 2C||Uu||`,p,q,Ω,∂Ω
do đó, toán tử Ulà đơn ánh từH`,p,q,Ωvào H`,p,q(Ω, ∂Ω).
Bổ đề 2.4.4. Cho B0, B, B0 là các không gian Banach với các chuẩn k ã k0,
k ã k,k ã k0. Giả sử phép nhúngB ,→B0là compact và toán tửA : B →B0 là toán tử tuyến tính bị chặn. Khi đó điều kiện cần và đủ đểdim(KerA) <+∞
vàImAđóng trongB0, là
kuk ≤ C kAuk0 +kuk0
, u ∈ B, (2.23)
trong đó hằng sốC không phụ thuộcu.
B −→A ImA ⊂B0 π y %A1 B/N trong đóπ là phép chiếu chính tắc A1là toán tử tuyến tính bị chặn.
Vì B0 là không gian Banach và theo Định lý Banach, các mệnh đề sau là t−ơng đ−ơng
(i) ImAđóng trongB0,
(ii) ImAlà không gian Banach, (iii)A−11 là bị chặn.
Giả sử dim(N) <+∞và ImAđóng trongB0. Ta chứng minh bất đẳng thức (2.23) Do ImA đóng trongB0 nênA−11 bị chặn. Lấy u ∈ B, có kπ(u)k= kA−11 A1π(u)k = kA−11 A(u)k ≤ C1kAuk0. (2.24) Xét ánh xạ sau ϕ: N −→ R v 7−→ ku+vk. Dễ thấy ánh xạϕliên tục. Có S1 = v ∈ N kvk ≤ 2kuk
là tập đóng, bị chặn trongN mà dimN < +∞, nênS1 là tập compact trong
N.
Do đó, cóv0 ∈ S1mà
ϕ(v0) = min
ϕ(v)
Nếuv ∈ N, kvk >2kukthì
ϕ(v) = kv+uk ≥ kvk − kuk > kuk = ϕ(0) nênϕ(v0) ≤ϕ(0) < ϕ(v).
Khi đóϕ(v0) = min{ϕ(v)|v ∈ N}hay
kv0+uk =kπ(u)k. (2.25) Từ (2.24), (2.25) có kv0+uk ≤ C1kAuk0 (2.26) nên kuk ≤ C1kAuk0+kv0k. (2.27) Nếuu = 0hay kv0k< 1 2kuktừ (2.27) có (2.23). Nếuu 6= 0, 1 2kuk ≤ kv0k ≤ 2kuk, hay v0 kuk ∈ S2 = n v ∈ B1 2 ≤ kvk ≤ 2 i , do N là không gian hữu hạn chiều, có||.||0,||.||là t−ơng đ−ơng trongN, nên tồn tạiC4 >0 mà kvk0 ≥ C4, ∀v ∈ S2 do đó kvu0k 0 ≥ C4 hay kv0k0 ≥C4kuk. (2.28) Có ||v0||0 ≤ ||u+v0||0+||u||0, và B compact,→ B0 nên ||v0||0≤ C5||u+v0||+||u||0. (2.29) Từ (2.24), (2.28), (2.29) có (2.23).
Giả sử có hằng số C6 >0 sao cho với mọiu ∈ B có
kuk ≤ C6 kAuk0+kuk0
.
Ta sẽ chứng minh dimN < +∞ và ImA đóng trong B0 hay dimN < +∞
vàA−11 bị chặn. Lấy u ∈ N, có
Au = 0 nên từ giả thiết có
kuk ≤ C6kuk0,
do đó hình cầu đơn vị trong(N,k ã k0)
S =
u ∈ N, kuk0 ≤1 là tập đóng, bị chặn trong(B,k ã k).
Do B ,→ B0 là compact, nên S là tập compact trong (B0,k ã k0). Do đó, dimN <+∞.
Bây giờ ta chỉ còn phải chứng minhA1bị chặn. Giả sử A−11 không bị chặn, nghĩa là có một dãy{un} trongB sao cho
kπ(un)k= 1, kA1π(un)k0 =kAunk0 →0 khi n → ∞.
Ta có thể giả sử ||un|| = 1, vì nếu không theo (2.25) với mỗi un đều có
v0n ∈ N mà||v0n+un|| =||π(un)|| = 1, khi đó ta chọnun0 = un+v0n có
||u0n|| =kπ(u0n)k = 1,
kA1π(u0n)k0 =kA(un+v0n)k0 = ||Aun|| → 0 khi n→ ∞.
Do phép nhúngB ,→ B0là compact nên{un}là dãy compact t−ơng đối trong
B0, do đó có một dãy con của{un}, để đơn giản ta có thể giả sử dãy{un}hội tụ trongB0.
Khi đó dãy{Aun}hội tụ trong B0và
nên{un}là dãy Cauchy trongB.
DoB là không gian Banach, nên tồn tạiu0 ∈ B màun −→B u0, khin→ ∞. Doπ liên tục vàkπ(un)k = 1, có kπ(u0)k = 1. Mặt khác,A liên tục vàkAunk0 →0, nên kAu0k0 = 0 hay kA1π(u0)k0 = 0, do đóπ(u0) = 0.
Điều này dẫn đến sự mâu thuẫn. VậyA1bị chặn.
Định lý 2.4.5. Nếu toán tử U là elliptic , thì toán tử U là toán tử Noether từ
H`,p,q(Ω) vào H`,p,q(Ω, ∂Ω) và có toán tử làm đều Rlà toán tử tuyến tính bị chặn từH`,p,q(Ω, ∂Ω)vào H`,p,q(Ω)mà
RU =Id1+T1, UR= Id2+T2,
trong đó
Id1, Id2 là toán tử đồng nhất trongH`,p,q(Ω), H`,p,q(Ω, ∂Ω),
T1là toán tử tuyến tính bị chặn từH`,p,q(Ω)vàoH`+1,p,q(Ω),
T2là toán tử tuyến tính bị chặn từH`,p,q(Ω, ∂Ω) vàoH`+1,p,q(Ω, ∂Ω). Chứng minh: Với{Uj, ϕj}Nj=1 là một phân hoạch đơn vị củaΩ,chọn các hàm
ψ1, . . . , ψN thuộc lớpC0∞(Ω)mà giásuppψj nằm trong Uj vàψj(x) = 1khi
xthuộc giásuppϕj.Có
Uu =
N
X
j=1
ϕjUj(ψju) +T u,
• khiUj ∩∂Ω = ∅ thì Uj = Aj là toán tử GVP elliptic cấp2s trong Rn,
nên theo Định lý 2.2.3, khi lân cận Uj đủ nhỏ, toán tử Uj có toán tử ng−ợcR2j =A−1j ,
• khiUj ∩ ∂Ω 6= ∅ thìUj = (Aj, Bj1|xn=0, . . . , Bjs|xn=0) là elliptic trong nửa không gianR¯n
+nên theo Định lý 2.3.6 có toán tửR2j là toán tử tuyến tính bị chặn từH`,p,q( ¯Rn+,Rn−1) vàoH`,p,q( ¯Rn+) sao cho
UjR2j = Id2+T2j
trong đóId2 là toán tử đồng nhất trongH`,p,q( ¯Rn+,Rn−1), toán tửT2j là toán tử tuyến tính bị chặn từH`,p,q( ¯Rn+,Rn−1)vào H`+1,p,q( ¯Rn+,Rn−1),
mà với mọi ϕ ∈ C∞(Ω) có ϕA − Aϕ là toán tử tuyến tính bị chặn từ
H`−2s,p,q(Ω)vàoH`−2s+1,p,q(Ω)nênϕU−Uϕlà toán tử tuyến tính bị chặn từ
H`,p,q(Ω, ∂Ω) vào H`+1,p,q(Ω, ∂Ω) do đó, nếu đặtR2 = PN
j=1ϕjR2jψj có
UR2 =Id2+T2
trong đóId2 là toán tử đồng nhất trongH`,p,q(Ω, ∂Ω), T2 là toán tử tuyến tính bị chặn từH`,p,q(Ω, ∂Ω)vào H`+1,p,q(Ω, ∂Ω).
Do phép nhúngH`+1,p,q(Ω, ∂Ω) ,→ H`,p,q(Ω, ∂Ω)là compact nên ảnh của toán tửUR2 =Id2+T2là đóng và có đối số chiều trong không gianH`,p,q(Ω, ∂Ω) là hữu hạn.
Mà ImUR2 ⊂ Im U nên Im U là đóng và có đối số chiều trong không gian
H`,p,q(Ω, ∂Ω) là hữu hạn. Lại có, từ Mệnh đề 2.4.3, Bổ đề 2.4.4, toán tử U
từ H`,p,q(Ω) vào H`,p,q(Ω, ∂Ω) có KerU là không gian hữu hạn chiều trong
C0∞(Ω).Do đó, toán tửU là toán tử Noether từH`,p,q(Ω)vào H`,p,q(Ω, ∂Ω). Đặt T1 = R2U−Id1 là toán tử tuyến tính bị chặn từ H`,p,q(Ω)vào H`,p,q(Ω) và
nênT2U =UT1. Khi đó theo Mệnh đề 2.4.3 có
||T1u||`+1,p,q,Ω ≤C ||UT1u||`+1,p,q,Ω,∂Ω+||T1u||`,p,q,Ω
≤C ||T2Uu||`+1,p,q,Ω,∂Ω+||u||`,p,q,Ω
≤C||u||`,p,q,Ω, ∀u ∈ H`,p,q(Ω)
do đó,T1 là toán tử tuyến tính bị chặn từH`,p,q(Ω)vào H`+1,p,q(Ω).
Nh− vậy, toán tửR2 chính là toán tử làm đều phải tìm.
Định lý 2.4.6. Giả sử bài toán biên (2.18)−(2.19) là elliptic. Khi đó khi|q|
đủ lớn, với mọi (f, g) ∈ H`,p,q(Ω, ∂Ω) bài toán biên (2.18)−(2.19) có duy nhất nghiệmu∈ H`,p,q(Ω).Hơn nữa, ta có đánh giá sau
C−1||u||`,p,q,Ω ≤ ||(f, g)||`,p,q,Ω,∂Ω ≤C||u||`,p,q,Ω,
trong đóC > 1 là hằng số không phụ thuộcq và các hàm.
Chứng minh: Từ Định lý 2.4.5, toán tửU là elliptic nên có toán tử làm đềuR
là toán tử tuyến tính bị chặn từH`,p,q(Ω, ∂Ω) vàoH`,p,q(Ω)mà
RU =Id1+T1, UR= Id2+T2,
trong đó
Id1, Id2 là toán tử đồng nhất trongH`,p,q(Ω),H`,p,q(Ω, ∂Ω),
T1là toán tử tuyến tính bị chặn từ H`,p,q(Ω)vào H`+1,p,q(Ω),
T2là toán tử tuyến tính bị chặn từ H`,p,q(Ω, ∂Ω) vào H`+1,p,q(Ω, ∂Ω),
mà khi |q| đủ lớn, các phép nhúng H`+1,p,q(Ω, ∂Ω) ,→ H`,p,q(Ω, ∂Ω) và
H`+1,p,q(Ω) ,→ H`,p,q(Ω) có chuẩn nhỏ hơn min{||T1||−1,||T2||−1} nên các toán tử Id1 + T1, Id2 +T2 là các toán tử khả nghịch, lần l−ợt trong
H`,p,q(Ω), H`,p,q(Ω, ∂Ω)
do đó, toán tử U có nghịch đảo trái (Id1 + T1)−1R, nghịch đảo phải
R(Id2+T2)−1là toán tử tuyến tính bị chặn từH`+1,p,q(Ω, ∂Ω)vàoH`+1,p,q(Ω) và
(Id1+T1)−1R = (Id1+T1)−1R UR(Id2+T2)−1
= (Id1+T1)−1RU
Nh− vậy, toán tửU là một đẳng cấu từH`,p,q(Ω)vào H`,p,q(Ω, ∂Ω) khi|q|đủ lớn. Hay nói cách khác, ta có điều phải chứng minh.
D−ới đây, ta nghiên cứu bài toán biên đối với ph−ơng trình GVP elliptic nửa tuyến tính Au(x, q) =f(x, q, ~u(x, q))trong Ω, (2.30) Bju(x, q) =gj(x, q, ~uj(x, q))trên ∂Ω, j = 1, . . . , s, (2.31) trong đó~u(x, q) = (u(x, q), Du(x, q), . . . , D2s−1u(x, q)), ~ uj(x, q) = (u(x, q), Du(x, q), . . . , Dmj−1u(x, q)),
các toán tử A, Bj là các toán tử GVP nh− đã xét đối bài toán biên tuyến tính (2.18)−(2.19).
Vế phảif, g1, . . . , gscủa bài toán biên (2.30)−(2.31) thỏa mãn các điều kiện sau.
(i) Các ánh xạ
(x, q, ~u) 7→ f(x, q, ~u) từ ΩìCìCN vào C,
(x, q, ~uj) 7→gj(x, q, ~uj) từ ∂ΩìCìCNj vào C,
trong đó~u = (u1, . . . , uN), ~uj = (u1, . . . , uNj), thỏa mãn điều kiện Caratheodory, nghĩa là liên tục theo ~u, ~uj( t−ơng ứng) với hầu hết (x, q) và đo đ−ợc theo (x, q) với mọi~u, ~uj(t−ơng ứng),
(ii) ánh xạ u(x, q) 7→ f(x, q, ~u(x, q)), gj(x, q, ~uj(x, q))
từH`,p,q(Ω)vào
H`,p,q(Ω, ∂Ω),biến mỗi tập bị chặn thành tập compact t−ơng đối, (iii)1 > inf M >0 lim sup |q|→+∞ kU−1k k(f, gj)kM,q, trong đó k(f, gj)kM,q = sup{ 1 Mk f(x, q, ~u(x, q)), gj(x, q, ~uj(x, q)) k`,p,q,Ω,∂Ω kuk`,p,q,Ω ≤ M}. Ví dụ 2.4.7. Với f(x, q, ~u) = N X k=1 u2k +f1(x, q),
gj(x, q, ~uj) = Nj X k=1 u2k +g1j(x, q), trong đó(f1, g1j) ∈ H`+1,p,q(Ω, ∂Ω).
Dễ thấyf, gj thỏa mãn (i). Có
||(f(x, q, ~u(x, q)), gj(x, q, ~uj(x, q)))||`+1,p,q,Ω,∂Ω≤ C1||u||2`,p,q,Ω+C2. Do đóf, gj thỏa mãn (ii) và 1 >0 = lim inf M→+∞ lim sup |q|→+∞ kU−1k k(f, gj)kM,q.
Bổ đề 2.4.8. ChoX là không gian Banach,Y là không gian véc-tơ tôpô, phép nhúng X ,→ Y là liên tục. Giả sử{un} là một dãy compact t−ơng đối trong
X, hội tụ đến u trong Y. Khi đó u nằm trong Xvà dãy {un} hội tụ đến u
trongX.
Chứng minh: Tr−ớc hết, ta chứng minhu ∈ X.
DoX là không gian Banach, mà {un}là dãy compact t−ơng đối trongX nên nó có một dãy con{unk}+∞k=1 hội tụ đếnu0 trong X. Mà phép nhúngX ,→ Y
là liên tục, dãy{unk}+∞k=1 hội tụ đếnu0 trong Y. Lại có, dãy{un}hội tụ đếnu
trongY nên dãy con{unk}+∞k=1cũng hội tụ đếnutrongY.Do đó,u =u0 ∈ X. Bây giờ, ta chứng minh dãy{un}+∞n=1 hội tụ đếnu trong X bằng phản chứng. Giả sử dãy {un}+∞n=1 không hội tụ đến u trong X. Khi đó có một số d−ơng
và một dãy con{unk}+∞k=1 của dãy{un}+∞n=1sao cho
kunk −ukX ≥ . (2.32)
Ngoài ra, do dãy con của một dãy compact t−ơng đối, hay hội tụ cũng là dãy compact t−ơng đối, hay hội tụ, nên t−ơng tự trên có một dãy con {unkl}+∞l=1
của dãy{unk}+∞k=1 hội tụ đếnu trong X.Điều này mâu thuẫn với (2.32). Nh− vậy, dãy{un}hội tụ đếnu trong X.
Bổ đề 2.4.9. T−ơng ứng sau
là ánh xạ compact từH`,p,q(Ω)vào H`,p,q(Ω, ∂Ω).
Chứng minh: Từ giả thiết (ii), để chứng minh Bổ đề này ta chỉ còn phải chứng minh ánh xạu(x, q) 7→ f(x, q, ~u(x, q)), gj(x, q, ~uj(x, q))
là ánh xạ liên tục từH`,p,q(Ω)vào H`,p,q(Ω, ∂Ω).
Lấy một dãy{um}hội tụ trongH`,p,q(Ω). Khi đó các dãy{~um},{~ujm}hội tụ