1. Các khái niệm cơ bản
3.1. Các tính chất của phụ thuộc hàm trên lƣợc đồ khối
Cho lƣợc đồ khối R = (id, A1, A2, ..., An), r(R) là một khối bất kỳ, F là tập các phụ thuộc hàm và X, Y, Z, W n (i ) i 1 id , ta có một số tính chất cơ
bản của các phụ thuộc hàm nhƣ sau:
F1) Nếu Y ⊆ X thì X → Y (tính phản xạ)
F2) Nếu X → Y thì XW → YW (tính gia tăng)
F3) Nếu X → Y, Y → Z thì X → Z (tính bắc cầu)
F4) Nếu X → Y, YZ → W thì XZ → W (tính tựa bắc cầu)
F5) Nếu X → Y, Z → W thì XZ →YW (cộng tính đầy đủ)
F6) Nếu X → Y thì XZ→Y (tính mở rộng vế trái)
F7) Nếu X → Y, X → Z thì X → YZ (cộng tính vế phải)
F8) Nếu X → YZ thì X → Y (bộ phận vế phải)
F9) Nếu X → YZ, Z → WV thì X → YZW (tính tích lũy)
Chứng minh
F1) Với mọi t1, t2 r(R) và t1(X) = t2(X), cần chứng minh t1(Y) = t2(Y). Thật vậy, từ giả thiết t1(X) = t2(X) mà Y X suy ra t1(Y) = t2(Y). Vậy từ t1(X) = t2(X) ⇒ t1(Y) = t2(Y).
F2) Với mọi t1, t2 r(R) và t1(XW) = t2(XW), cần chứng minh t1(YW)= t2(YW)
Phản chứng: Giả sử t1(YW) ≠ t2(YW).
Theo giả thiết có t1(XW) = t2(XW)⇒ t1(X)= t2(X) t1(W)= t2(W) Nên để có t1(YW) ≠ t2(YW) thì t1(Y) ≠ t2(Y).
39
t1(Y) = t2(Y) (mâu thuẫn) ⇒ t1(YW)= t2(YW). Vậy từ t1(XW) = t2(XW) ⇒ t1(YW)= t2(YW).
F3) Với mọi t1, t2 r(R) và t1(X) = t2(X), cần chứng minh t1(Z) = t2(Z) Phản chứng: Giả sử t1(Z) ≠ t2(Z).
Theo giả thiết X → Y nên t1(X) = t2(X) ⇒ t1(Y) = t2(Y). Mặt khác, cũng theo giả thiết có Y → Z nên t1(Y) = t2(Y) ⇒ t1(Z) = t2(Z) (mâu thuẫn) ⇒ t1(Z)= t2(Z).
Vậy từ t1(X) = t2(X) ⇒ t1(Z)= t2(Z).
F4) Với mọi t1, t2 r(R) và t1(XZ) = t2(XZ), cần chứng minh t1(W)= t2(W). Thật vậy, theo giả thiết ta có X → Y ⇒ t1(XZ)= t2(XZ) (Theo F2) Từ t1(XZ) = t2(XZ) ⇒ t1(YZ)= t2(YZ) (1)
Theo giả thiết YZ →W nên t1(YZ) = t2(YZ) ⇒ t1(W) = t2(W) (2) Từ (1) và (2) suy ra t1(XZ) = t2(XZ) ⇒ t1(W)= t2(W)
Vậy từ t1(XZ) = t2(XZ) ⇒ t1(W)= t2(W).
F5) Với mọi t1, t2 r(R) và t1(XZ) = t2(XZ), cần chứng minh t1(YW)= t2(YW).
Theo giả thiết có X → Y nên từ t1(X) = t2(X) ⇒ t1(Y) = t2(Y) (1)
Cũng theo giả thiết có Z→ W do đó từ t1(Z) = t2(Z) ⇒ t1(W) = t2(W) (2) Từ (1) và (2) suy ra t1(XZ) = t2(XZ) ⇒ t1(YW) = t2(YW).
Vậy từ t1(XZ) = t2(XZ) ⇒ t1(YW)= t2(YW).
F6) Với mọi t1, t2 r(R) và t1(XZ) = t2(XZ), cần chứng minh t1(Y)= t2(Y). Thật vậy, từ t1(XZ) = t2(XZ) ⇒ t1(X)= t2(X) (1)
Mà theo giả thiết có X → Y do đó từ t1(X) = t2(X) ⇒ t1(Y) = t2(Y). (2) Từ (1) và (2) suy ra t1(XZ) = t2(XZ) ⇒ t1(Y) = t2(Y)
Vậy từ t1(XZ) = t2(XZ) ⇒ t1(Y)= t2(Y).
F7) Với mọi t1, t2 r(R) và t1(X) = t2(X), cần chứng minh t1(YZ)= t2(YZ). Theo giả thiết có X → Y do đó từ t1(X) = t2(X) ⇒ t1(Y) = t2(Y) (1)
40
Cũng theo giả thiết có X→ Z do đó từ t1(X) = t2(X) ⇒ t1(Z) = t2(Z) (2) Từ (1) và (2) suy ra t1(X) = t2(X) ⇒ t1(YZ) = t2(YZ).
Vậy từ t1(X) = t2(X) ⇒ t1(YZ)= t2(YZ).
F8) Với mọi t1, t2 r(R) và t1(X) = t2(X), cần chứng minh t1(Y)= t2(Y). Theo giả thiết có X → YZ do đó từ t1(X) = t2(X) ⇒ t1(YZ) = t2(YZ) Từ t1(YZ) = t2(YZ) ⇒ t1(Y)= t2(Y)
t1(Z)= t2(Z) Vậy từ t1(X) = t2(X) ⇒ t1(Y)= t2(Y).
F9) Giả sử với mọi t1, t2 r(R) và t1(X) = t2(X), cần chứng minh t1(YZW)= t2(YZW).
Thật vậy, từ t1(X) = t2(X) và giả thiết X → YZ ⇒ t1(YZ) = t2(YZ) (1) ⇒ t1(Z) = t2(Z)
Mặt khác cũng theo giả thiết ta có Z → WV nên từ t1(Z) = t2(Z) ⇒ t1(WV) = t2(WV) ⇒ t1(W) = t2(W) (2).
Từ (1) và (2) ⇒ t1(YZW) = t2(YZW)
Vậy từ t1(X) = t2(X) ⇒ t1(YZW)= t2(YZW).
Chú ý: Khi id ={x} tức là khối suy biến thành quan hệ thì các tính chất trên chính là các tính chất trong mô hình quan hệ.