Định nghĩa 2.3.5 Cho hàm f :D →R, trong đó D ⊂R. Ta nói hàm f liên tục đều trên tập D nếu cho tr-ớc một số >0 tuỳ ý, tồn tại số δ =δ()> 0(δ phụ thuộc vào ) sao cho với mọi x, y∈D và|x−y|< δ ta có
|f(x)−f(y)|< .
Theo định nghĩa trên hiển nhiên nếu f liên tục đều trên D, khi đóf liên tục tại mọi điểm x∈D.
2.3 Hàm liên tục 29
Ví dụ 2.3.2
1. Các hàm
f(x) =x, g(x) = sinx
liên tục đều trên toàn bộ trục số (trên R). Thật vậy với mọi > 0và mọi cặpx, y∈R sao cho |x−y|< ta có
|g(x)−g(y)|=|sinx−siny|= 2
cosx+2 ysinx −y 2 ≤ |x−y|< .
2. Hàm f(x) = 1x liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng I = (0,1), tuy nhiên nó không liên tục đều trên I.
Thật vậy khi x vày "rất gần" với 0, chẳng hạn chọn
xn = 1
n, yn=
1 2n khin là số tự nhiên đủ lớn, xn−yn nhỏ tuỳ ý, song
|f(xn)−f(yn)|=|n−2n|=n
không nhỏ theo ý muốn mà ng-ợc lại|f(xn)−f(yn)| lớn một cách tuỳ ý.
Định lí 2.3.9 f :D →R là hàm liên tục đều trên tập bị chặn D, khi đóf cũng bị chặn trên D.
Chứng minhTừ giả thiết hàm f liên tục đều trên D, tồn tại số δ >0sao cho với mọix, y∈D và|x−y|< δ ta có |f(x)−f(y)|<1. Nh- vậy hàm f bị chặn trên một đoạn bất kì có độ dài không v-ợt quáδ.
DoD là tập bị chặn, tập D đ-ợc chứa trong một đoạn[a, b]nào đó. Mặt khác đoạn [a, b] luôn luôn có thể đ-ợc chia thành hợp của hữu hạn các đoạn nhỏ Ik, mỗi đoạn có độ dài không v-ợt quá δ. Hàm f bị chặn trên từng đoạn nhỏ Ik, suy ra nó cũng bị chặn trên toàn bộ tập D.
Nhận xét rằng một hàm liên tục đều trên một tập không bị chặn cũng có thể là hàm không bị chặn trên đó. Chẳng hạn hàm f(x) = x là hàm liên tục đều trên R và cũng không bị chặn trên R.
Định lí 2.3.10 Cho D ⊂ R là tập đóng và bị chặn, f : D → R là hàm liên tục trên D, khi đóf liên tục đều trên D.
Chứng minh
Ta chứng minh bằng phản chứng. Thật vậy giả sử tồn tại một số >0sao cho với mọiδn= 1n(nlà số tự nhiên) luôn tồn tại một cặp sốxn, yn ∈D :|xn−yn|< δn
để
|f(xn)−f(yn)| ≥
DoD đóng và bị chặn nên từ dãy{xn}∞
1 , theo định lí Bolzano??tồn tại một dãy con {xnk}∞
k=1 hội tụ tới a ∈ D (limk→∞xnk = a). Đồng thời từ giả thiết phản
chứng
|xn−yn|< δn→0, (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
dãy con t-ơng ứng {ynk}∞k=1 cũng hội tụ tới a. Mặt khác f là hàm liên tục trên
D nên cũng liên tục tại a∈D. Vậy
lim
k→∞(f(xnk)−f(ynk)) =f(a)−f(a) = 0,
mâu thuẫn với bất đẳng thức trên |f(xn)−f(yn)| ≥ với mọi n.
Từ định lí trên suy ranếu hàmf liên tục trên đoạn[a, b], khi đóf liên tục đều trên đó.