bằng cách dùng phương pháp FEM. Để giải phương trình ta theo các bước
sau:
) Nhập lệnh pdetool vào cửa sổ lệnh MATLAB. Cửa sổ PDE toolbox
xuất hiện. Ta có thể bật/tắt tuỳ chọn Grid bằng cách bấm vào Grid trên
menu Option. Ta cũng có thể hiệu chỉnh phạm vi trục x và y bằng cách
chọn Axes Limit trong nemu Option
Nếu muốn cho các hình gắn vào lưới, ta chọn Snap trong menu Option.
Nếu muốn tỉ lệ xích của trục x và t bằng nhau để hình tròn nhìn không
giống hình ellip ta chọn Axes Equal trong menu Option.
) Để vẽ miền Ω ta dùng menu Draw hay các icon trên thanh công cụ
ngay phía dưới các menu.
) Để đặt điều kiện biên ta dùng menu Boundary hay icon ∂Ω. Ta bấm
) Tiếp theo ta tạo lưới bằng cách dùng menu Mesh hay icon ∆. Để tinh
chỉnh lưới ta bấm vào Refine Mesh hay icon
) Tiếp theo ta mô tả dạng phương trình và các thông số của nó bằng
cách dùng menu PDE. Muốn thế, ta mở menu PDE hay chọn icon PDE
và chọn PDE Specification và cho các tham số của phương trình.
) Để giải phương trình ta dùng menu Solve hay chọn icon = . Ta chọn
menu con Parameters để nhập điều kiện đầu và khoảng thời gian tìm
nghiệm ) Nếu muốn vẽ kết quả, ta dùng menu Plot 3. Một số ví dụ: a. Ví dụ 1: Giải phương trình Laplace: ∇ = ∂ +∂ = ∂ ∂ 2 2 2 2 2 u(x,y) u(x,y) u(x,y) 0 x y (vd1.1) trong miền 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 4 với các điều kiện biên:
u(0, y) = ey ‐ cosy u(4, y) = eycos4 ‐ e4cosy (vd1.2)
u(x, 0) = cosx ‐ ex u(x, 4) = e4cosx ‐ excos4 (vd1.3) Để giải phương trình ta thực hiện các bước sau:
¾ Mở công cụ PDETOOL. Vào menu Option | Axes Limit để hiệu chỉnh
lại phạm vi giá trị của x và y là [0 5] rồi chọn Apply và Close. Chọn
Option | Axes Equal
¾ Bấm vào icon để vẽ hình vuông. Khi vẽ xong, nếu chưa đúng kích
thước ta bấm đúp vào đối tượng bây giờ có tên là R1 để hiệu chỉnh lại
thành Left: 0, Bottom: 0, Height: 4, Width: 4.
¾ Bấm vào icon ∂Ω thì đường biên của đối tượng có màu đỏ. Trên mỗi đoạn biên ta cho điều kiện biên theo (vd1.2) và (vd1.3). Để ghi điều kiện
biên cho đoạn nào ta bấm đúp chuột lên đoạn đó. Điều kiện biên đã cho (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
là điều kiện biên Dirrichlet. Trên biên trái, ta ghi điều kiện biên:
h = 1, r = exp(y) ‐ cos(y)
trên biên phải:
h = 1, r = eycos4 ‐ e4cosy
trên biên dưới:
h = 1, r = cosx ‐ ex
và trên biên trên:
¾ Bấm đúp chuột vào icon PDE và chọn phương trình dạng elliptic và
các thông số theo (vd1.1): c = 1, a = 0, f = 0
¾ Bấm đúp chuột vào icon để tạo lưới và sau đó tinh chỉnh nó. ¾ Bấm đúp chuột vào icon = để giải phương trình.
¾ Vào menu Plot | Parameters để chọn cách vẽ và sau đó vẽ ra kết quả b. Ví dụ 2: Giải phương trình parabolic: − ⎡∂ ∂ ⎤ ∂ + = ⎢ ∂ ∂ ⎥ ∂ ⎣ ⎦ 2 2 4 2 2
u(x,y,t) u(x,y,t) u(x,y,t)
10
x y t (vd2.1)
trong miền 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 4 và 0 ≤ t ≤ 5000 với các điều kiện đầu và điều
biên:
u(x, y, 0) = 0 (vd2.2a)
u(x, y, t) = eycosx ‐ excosy với x = 0, x = 4, y = 0, y = 4 (vd2.2b) Để giải phương trình ta theo các bước sau:
¾ Mở công cụ PDETOOL. Vào menu Option | Axes Limit để hiệu chỉnh
lại phạm vi giá trị của x và y là [0 4] rồi chọn Apply và Close. Chọn
Option | Axes Equal
¾ Bấm vào icon để vẽ hình vuông. Khi vẽ xong, nếu chưa đúng kích
thước ta bấm đúp vào đối tượng bây giờ có tên là R1 để hiệu chỉnh lại
thành Left: 0, Bottom: 0, Height: 4, Width: 4.
¾ Bấm vào icon ∂Ω thì đường biên của đối tượng có màu đỏ. Trên mỗi đoạn biên ta cho điều kiện biên theo (vd2.2b). Để ghi điều kiện biên cho đoạn nào ta bấm đúp chuột lên đoạn đó. Điều kiện biên đã cho là điều
kiện biên Dirrichlet. Trên biên trái, ta ghi điều kiện biên:
h = 1, r = exp(y) ‐ cos(y)
trên biên phải:
h = 1, r = eycos4 ‐ e4cosy
trên biên dưới: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
h = 1, r = cosx ‐ ex
và trên biên trên:
h = 1, r = e4cosx ‐ excos4
¾ Bấm đúp chuột vào icon PDE và chọn phương trình dạng parabolic
và các thông số theo (vd2.1): c = 1e‐4, a = 0, f = 0, d = 1. Trong menu
Solve | Parameters ta ghi Time: 0:100:5000, u(t0) = 0 (điều kiện đầu). ¾ Bấm đúp chuột vào icon để tạo lưới và sau đó tinh chỉnh nó. ¾ Bấm đúp chuột vào icon = để giải phương trình.
¾ Vào menu Plot | Parameters để chọn cách vẽ và sau đó vẽ ra kết quả c. Ví dụ 3: Giải phương trình hyperbolic: ⎡∂ ∂ ⎤ ∂ + = ⎢ ∂ ∂ ⎥ ∂ ⎣ ⎦ 2 2 2 2 2 2
u(x,y,t) u(x,y,t) u(x,y,t)
1
4 x y t (vd3.1)
trong miền 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2 và 0 ≤ t ≤ 2 với các điều kiện biên zero và điều
kiện đầu:
u(0, y, t) = 0 u(2, y, t) = 0 u(x, 0, t) = 0 u(0, 2, t) = 0 (vd3.2)
u(x, y, 0) = 0.1sin(πx)sin(πy/2) ∂u/∂t(x, y, 0) = 0 với t = 0 (vd3.3) Để giải phương trình ta theo các bước sau:
¾ Mở công cụ PDETOOL. Vào menu Option | Axes Limit để hiệu chỉnh
lại phạm vi giá trị của x và y là [0 2] rồi chọn Apply và Close. Chọn
Option | Axes Equal
¾ Bấm vào icon để vẽ hình vuông. Khi vẽ xong, nếu chưa đúng kích
thước ta bấm đúp vào đối tượng bây giờ có tên là R1 để hiệu chỉnh lại
thành Left: 0, Bottom: 0, Height: 2, Width: 2.
¾ Bấm vào icon ∂Ω thì đường biên của đối tượng có màu đỏ. Trên mỗi đoạn biên ta cho điều kiện biên theo (vd3.2). Để ghi điều kiện biên cho đoạn nào ta bấm đúp chuột lên đoạn đó. Điều kiện biên đã cho là điều
kiện biên Dirrichlet. Trên biên trái, ta ghi điều kiện biên:
h = 1, r = 0
trên biên phải:
h = 1, r = 0
trên biên dưới:
h = 1, r = 0
và trên biên trên:
h = 1, r = 0
¾ Bấm đúp chuột vào icon PDE và chọn phương trình dạng parabolic (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
và các thông số theo (vd2.1): c = 1/4, a = 0, f = 0, d = 1. Trong menu Solve
| Parameters ta ghi Time: 0: 0.1: 2, u(t0) = 0.1*sin(pi*x).*sin(pi*y/2). ¾ Bấm đúp chuột vào icon để tạo lưới và sau đó tinh chỉnh nó. ¾ Bấm đúp chuột vào icon = để giải phương trình.
¾ Vào menu Plot | Parameters để chọn cách vẽ và sau đó vẽ ra kết quả