chứng minh và xây dựng các bất đẳng thức lượng giác trong tam giác.
2.4.1Áp dụng Bất đẳng thức Jensen chứng minh một số bất đẳng thức trong tam giác
bất đẳng thức trong tam giác
Ví dụ 2.4.1.
Chứng minh rằng trong mỗi tam giác ABC ta luôn có
sinA+2 sinB
2 +3 sin
C
3 ≤3.Lời giải.Hàm số f (x) =sinx lõm trên khoảng (0, π). Lời giải.Hàm số f (x) =sinx lõm trên khoảng (0, π). Áp dụng bất đẳng thức Jensen ta có sinA+2 sinB 2 +3 sin C 3 ≤6 sin A+B+C 6 =6 sinπ 6 =3. Dấu đẳng thức khi và chỉ khi A= B
2 = C C 3 hay A= π 6,B = π 3,C = π 2.
2.4 Phương pháp áp dụng Bất đẳng thức Jensen
2.4.1 Áp dụng Bất đẳng thức Jensen chứng minh một sốbất đẳng thức trong tam giác bất đẳng thức trong tam giác
Nhận xét 2.4.2. Bằng phương pháp trên, ta có thể chứng minh bất đẳng thức dạng tổng quát như sau:
Trong mọi tam giácABC , vớim,n,p là các số nguyên dương, ta đều có
msinA m+nsin B n +psin C p ≤(m+n+p)sin π m+n+p.
2.4.1 Áp dụng Bất đẳng thức Jensen chứng minh một sốbất đẳng thức trong tam giác bất đẳng thức trong tam giác
Ví dụ 2.4.1.
Chứng minh rằng trong tam giác nhọn ABC ta luôn có
cosA+cosB+cosC ≤cos3A+4B 7 +cos
3B+4C
7 +cos
3C +4A
7 . Lời giải.Hàm số f (x) =cosx là hàm lõm trên khoảng 0,π
2 . Áp dụng bất đẳng thức Jensen ta có 3 cosA+4 cosB 7 ≤cos 3A+4B 7 ; 3 cosB+4 cosC 7 ≤cos 3B+4C 7 ; 3 cosC +4 cosA 7 ≤cos 3C +4A 7 .
2.4.1 Áp dụng Bất đẳng thức Jensen chứng minh một sốbất đẳng thức trong tam giác bất đẳng thức trong tam giác
Ví dụ 2.4.1 (tiếp).
Cộng vế các bất đẳng thức trên ta được cosA+cosB+cosC ≤cos3A+4B
7 +cos
3B+4C
7 +cos
3C +4A
7 . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khiA=B =C hay tam giác ABC đều.
Nhận xét 2.4.3. Bằng phương pháp trên, ta có thể chứng minh bất đẳng thức dạng tổng quát: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Trong mọi tam giác nhọnABC, vớim,n là các số nguyên dương, ta có cosA+cosB+cosC ≤cosmA+nB
m+n +cos
mB+nC m+n +cos
mC +nA m+n .