V· sü hëi tö cõa qu¡ tr¼nh x§p x¿

2.5.1. V· sü hëi tö

T½nh nh§t qu¡n ti»m cªn x§p x¿ MSP (Multistage Stochastic Programs) l  · t i cõa nhi·u cuëc nghi¶n cùu. Pennanen thi¸t lªp i·u ki»n r§t chung m  b£o £m r¬ng mët chuéi c¡c b i to¡n húu h¤n chi·u hëi tö. Nhi·u k¸t qu£ kh¡c ÷ñc nhi·u ng÷íi b¡o c¡o, (ch¯ng h¤n Heitsch, Frauen-dorfer v  Casey v  Sen cho cªn g¦n óng). Khæng ph£i c¡c ph÷ìng ph¡p ti¸p cªn mîi câ thº ¡p döng trüc ti¸p trong t¼nh h¼nh hi»n t¤i kº tø khi chóng ta xem x²t b i to¡n vîi nh÷ nhúng r ng buëc v  r ng buëc ký vång.

èi vîi méi J ∈ N÷a ra mët c°p qu¡ tr¼nh ng¨u nhi¶n ríi r¤c ζJu v  ζJl

vîi låc c£m sinh FuJ = {FJu,t}T

t=1 v  FlJ = {FJl,t}T

t=1 t÷ìng ùng. Nh÷ th÷íng l», quy ÷îc Fu

J := FJu,T v  Fl

J := FJl,T º ìn gi£n hâa c¡c kþ hi»u.

Gi£ sû r¬ng ζ v  ζJu thäa m¢n i·u ki»n (2.4) v  (2.8), ζ v  ζJl thäa m¢n i·u ki»n (2.9), (2.10) v  ζJu l  ëc lªp vîi ζJl ¢ cho ζ theo måi J ∈ N. Hìn núa, gi£ sû r¬ng

lim

J→∞kζJu −ζk∞ = 0 v  lim

J→∞kζJl −ζk∞ = 0. (2.16) Düa tr¶n c¡c lªp luªn trong möc 2.3 v  trong nhúng d¢y qu¡ tr¼nh ng¨u nhi¶n ríi r¤c tçn t¤i, câ h» thèng ÷ñc x¥y düng khi tçn t¤i qu¡ tr¼nh ζ

trong ành ngh¾a 2.3.1.1. L÷u þ nhúng gi£ thi¸t tr¶n ph£i tçn t¤i trong suèt luªn v«n n y.

N¸u chóng ta thay th¸ qu¡ tr¼nh dú li»u óng ζ b¬ng ζu v  låc F b¬ng FuJ trong c¡c möc tø möc 2.2, tø â, èi vîi méi J ∈ N, chóng ta ¤t ÷ñc mët hå tham sè cõa b i to¡n tèi ÷u hâa x§p x¿ kþ hi»u Pu

J(u), trong â u l  tham sè nhi¹u lo¤n bi¸n thi¶n tr¶n U0(FuJ). Hå tham sè kh¡c cõa

Pl

J(u), u ∈ U0(FlJ) ¤t ÷ñc b¬ng c¡ch thay th¸ ζJl cho ζ v  FlJ cho F. L÷u þ r¬ng vi»c thay th¸ låc trong (2.1) £nh h÷ðng ¸n t½nh ch§t o ÷ñc cõa x

công nh÷ ký vång câ i·u ki»n trong r ng buëc cö thº. èi vîi méi J ∈ N, chóng ta ÷a ra c¡c kþ hi»u ìn gi£n Pu

J v  Pl

J cho b i to¡n Pu

Pl

J(0) t÷ìng ùng.

Ngo i ra, chóng ta gåi Du

J l  b i to¡n èi ng¨u cüc ¤i ¸n Pu

J, trong khi Dl

J · cªp ¸n b i to¡n èi ng¨u cüc ¤i ¸n Pl J.

B¥y gií c¦n ch¿ ra giîi h¤n cõa ành lþ 2.3.1.2 (li¶n quan ¸n ríi r¤c hâa

ζJu v  ζJl, J ∈ N) hëi tö v· gi¡ trà tèi ÷u cõa b i to¡n gèc khi J d¦n ¸n væ còng. Vi»c chùng minh düa v o 5 bê · sì bë. Bê · thù nh§t thi¸t lªp quan h» giúa chi¸n l÷ñc l  cho cªn tr¶n v  cªn d÷îi t÷ìng ùng g¦n óng, trong khi bê · thù hai cung c§p k¸t qu£ têng qu¡t v· ký vång câ i·u ki»n. K¸t qu£ n y ÷ñc sû döng trong bê · thù ba º chùng minh r¬ng b i to¡n g¦n óng Pu

J v  Pl

J l  x§p x¿ vîi J õ lîn. B i to¡n gèc v  èi ng¨u câ c¡ch gi£i ÷ñc th nh lªp trong bê · thù t÷.

Cuèi còng, c¡ch gi£i b i to¡n èi ng¨u v  b i to¡n gèc ÷ñc sû döng º chùng minh nghi»m k²p cõa b i to¡n g¦n óng l  bà ch°n vîi J õ lîn. Cªn bà ch°n cõa b i to¡n g¦n óng l  th nh ph¦n quan trång º chùng minh sü hëi tö m  chóng tæi giîi thi»u trong ành lþ 2.5.1.6.

Bê · 2.5.1.1. Quan h» sau phò hñp b i to¡n ký vång câ i·u ki»n (i) E(x|Fu

J) ∈ X(FuJ) vîi måi x ∈ X(FlJ) (ii) E(y|Fl

J) ∈ X(FlJ) vîi måi y ∈ X(FuJ).

Chùng minh. ¦u ti¶n chóng tæi lüa chån mët ph¦n tû gèc x ∈ X(FlJ). Do i·u ki»n ëc lªp cõa ζJu v  ζJl ¢ cho ζ v  theo (2.14) ta câ

E(x|ζ, ζJu) = E(x|ζ) := x0 ∈ X(F).

i·u n y công cho c¡c k¸t qu£ cõa ký vång câ i·u ki»n. Luªt l°p ký vång câ i·u ki»n v  (2.14) cho th§y

E x|ζJu

= E E(x|ζ, ζJu)|ζJu

= E x0|ζJu) ∈ X(FuJ

cho c¡c k¸t qu£ phò hñp cõa ký vång câ i·u ki»n. i·u â suy ra kh¯ng ành (i). Chùng minh kh¯ng ành (ii) t÷ìng tü.

th¼

E ζ|ζ0−ζ0

p ≤ ζ −ζ0

p vîi måi 1≤ p ≤ ∞.

Chùng minh. ¦u ti¶n gi£ sû r¬ng p < ∞. B¬ng vi»c sû döng b§t ¯ng thùc Jensen câ i·u ki»n v  luªt cõa ký vång câ i·u ki»n l°p, chóng ta th§y

kE(ζ|ζ0)−ζ0kpp = kE(ζ −ζ0|ζ0)kpp

= E(|E(ζ −ζ0|ζ0)|p)

≤E(E(|ζ −ζ0|p|ζ0)) = kζ −ζ0kpp.

Do â y¶u c¦u ÷ñc thi¸t lªp cho p < ∞. èi vîi p= ∞, ta câ

lim

p→∞kζbkp = kζbk∞,

trong â ζbl  vectì ng¨u nhi¶n b§t ký trong L∞(Ω,F,P;Z).

Trong bê · ti¸p theo, chóng tæi sû döng k¸t qu£ cì b£n n y º chùng minh t½nh kh£ thi nghi¶m ng°t cõa b i to¡n g¦n óng. º kþ hi»u ìn gi£n, gi£ sû 1 := (11, ...,1T) l  ph¦n tû cõa XtT=1L∞(Ω,F,P;Rmt) câ t§t c£ th nh ph¦n l  1.

Bê · 2.5.1.3. Gi£ sû c¡c i·u ki»n (C1)−(C4) thäa m¢n v  gi£ sû xs

ph÷ìng ¡n cõa P. Khi â tçn t¤i ε > 0 sao cho E xs|Fu J thäa m¢n trong Pu J(−ε1), vîi méi J õ lîn v  E xs|Fl J l  thäa m¢n trong Pl J(−ε1) vîi måi J ∈ N.

Chùng minh. B¬ng t½nh thäa m¢n ¢ n¶u, th¼ tçn t¤i ε > 0 vîi

E(ft(xs, ξ)|Ft) ≤ −2ε1t h.c.c, (2.17) vîi måi t= 1,2, ...., T. B¥y gií chóng ta cè ành mët v i t v  ành ngh¾a

b

Yt(G) := yt ∈ Yt(G)E 1t.yt = 1 ,

trong â G câ thº l  låc cõa F ho°c FuJ vîi J ∈ N, v  Yt(G) l  ph²p chi¸u cõa Y(G) l¶n khæng gian èi ng¨u cõa quy¸t ành t. B§t ¯ng thùc (2.17)

n¥ng l¶n lôy thøa cõa ký vång câ i·u ki»n t÷ìng ÷ìng vîi hå cõa b§t ¯ng thùc n¥ng l¶n lôy thøa duy nh§t ký vång væ i·u ki»n, ngh¾a l 

E(yt.ft(xs, ξ)) ≤ −2ε ∀yt ∈ Ybt(F). (2.18) Tø quan h» (2.7) ng÷íi ta th§y r¬ng E(yt|F) l  mët ph¦n tû cõa Ybt(F) b§t cù khi n o yt l  mët ph¦n tû cõa Ybt(FuJ). Do â (2.18) câ ngh¾a l 

E E(yt|F).ft(xs, ξ) ≤ −2ε ∀yt ∈ Ybt(FuJ). (1.19) Theo ký vång câ i·u ki»n l°p v  F-o ÷ñc cõa xs v  ξ gióp chóng ta câ thº lo¤i bä c¡c ký vång câ i·u ki»n èi vîi F. H» b§t ¯ng thùc (2.19) t÷ìng ÷ìng vîi

E(yt.ft(xs, ξ)) ≤ −2ε ∀yt ∈ Ybt(FuJ).

L¤i theo b§t ¯ng thùc Jensen câ i·u ki»n, t½nh lçi cõa ft v  kh¯ng ành cõa yt câ thº ÷ñc sû döng º nhªn ÷ñc

E(yt.ft(E(xs|FJu), E(ξ|FJu)))≤ −2ε ∀yt ∈ Yb(F)uJ). (2.20) Chó þ r¬ng kE(ξ|FJu)−ξJuk∞ hëi tö v· 0 khi J → ∞. i·u n y suy ra tø bê · 2.5.1.2 v  sü hëi tö cõa kξu

J −ξk∞ →0. Do â, b¬ng t½nh li¶n töc ·u cõa ft tr¶n mi·n comp­c cõa nâ, câ mët sè J0 ∈ N vîi

ft(E(xs|FJu), E(ξ|FJu)) ≤ ft(E(xs|FJu), ξJu) +ε h.c.c vîi J ≥J0.

÷a ÷îc l÷ñng n y v o (2.20) d¨n ¸n k¸t qu£

E(ft(E(xs|FJu), ξJu)|FJu,t) ≤ −ε1t h.c.c vîi J ≥ J0.

Khi t tòy þ, chóng ta th§y r¬ng E(xs|Fu

J) l  thäa m¢n trong Pu

J(−ε1) vîi J ≥ J0. º chùng minh r¬ng E(xs|Fu

J) thäa m¢n trong Pl

J(−ε1), vîi måi J ∈ N, chóng ta sû döng mët t÷ìng tü èi sè. Tuy nhi¶n, chùng minh ¢ rót gån v¼ E(ξ|Fl

J) luæn b¬ng ξJl vîi måi J ∈ N, nâ d¦n ¸n ξJl vîi J

B i to¡n g¦n óng ríi r¤c khæng ch¿ cho ph²p gi£i m  cán gi£i ÷ñc vîi

J õ lîn. ¥y l  mët h» qu£ cõa khæng gian húu h¤n chi·u.

Bê · 2.5.1.4. N¸u c¡c i·u ki»n (C1)−(C4) thäa m¢n th¼ Pu J,Du

J,Pl J v  Dl

J l  gi£i ÷ñc, trong â minPu

J = maxDu

J v  minPl

J = maxDl J, vîi måi J õ lîn.

Chùng minh. T½nh gi£i ÷ñc cõa Pu

J, v  Du

J düa tr¶n thüc t¸ l  qu¡ tr¼nh x§p x¿ ζJu l  húu h¤n. Do â, måi FuJ gèc ho°c èi ng¨u l  húu h¤n. C¡c i·u ki»n (C1)-(C4) do â thº hi»n qua bê · 2.5.1.3 â, vîi J õ lîn, Pu J thüc ch§t l  b i to¡n lçi thäa m¢n ch°t ch³ (xen cõa [6, v½ dö 1]). Nâ câ quy¸t ành húu h¤n v  r ng buëc h m möc ti¶u li¶n töc v  tªp comp­c kh£ thi. T½nh gi£i ÷ñc ban ¦u suy ra tø ành lþ cüc ¤i Weiertrass, trong khi kh£ n«ng gi£i èi ng¨u suy ra tø ành lþ 17 v  v½ dö 1 trong [6]. Ngo i ra, [6, ành lþ 17] thº hi»n t½nh èi ng¨u m¤nh, â l  minPu

J = maxDu J. T½nh gi£i ÷ñc cõa Pl

J v  Dl

J v  mèi li¶n h» minPl

J = maxDl

J ÷ñc chùng

minh gièng nhau.

Chó þ r¬ng t½nh gi£i ÷ñc èi ng¨u câ thº khæng tçn t¤i trong mët khæng gian væ h¤n chi·u. i·u n y câ thº x£y ra n¸u b i to¡n ng¨u nhi¶n ti¸p theo khæng câ gi¡ trà ký vång.

Trong ph¦n cán l¤i cõa luªn v«n n y, chóng tæi cè ành nghi»m b§t ký cõa Pu

J v  Pl

J, s³ ÷ñc kþ hi»u bði xuJ v  xlJ t÷ìng ùng. Ngo i ra, chóng tæi cè ành nghi»m b§t ký cõa Du

J v  Dl

J, s³ ÷ñc kþ hi»u l  yJu v  yJl t÷ìng ùng. º kþ hi»u thuªn ti»n, chóng tæi công ÷a v o h m gi¡ trà tèi ÷u

ϕuJ(u) := infPu

J(u) ÷ñc x¡c ành tr¶n U0(FJu) v  ϕlJ(u) := infPl

J(l) ÷ñc x¡c ành tr¶n U0(FlJ). Chó þ r¬ng ϕ l  vi¸t t­t cõa h m gi¡ trà tèi ÷u li¶n quan ¸n b i to¡n gèc v  ÷ñc x¡c ành tr¶n U0(F).

Ph¦n tr¶n l  khai th¡c c¡c t½nh ch§t cö thº cõa h m gi¡ trà ban ¦u g¦n óng. B¥y gií chóng ta câ thº chùng minh t½nh bà ch°n cõa nghi»m èi ng¨u g¦n óng .

Bê · 2.5.1.5. N¸u c¡c i·u ki»n (C1)−(C4) thäa m¢n th¼ kyu Jk1 bà

ch°n vîi J õ lîn.

Chùng minh. Gi£ sû xs l  mët ph÷ìng ¡n cõa P. Do bê · 2.5.1.3 tçn t¤i ε > 0 v  J1 ∈ N sao cho E(xs|Fu

J) l  kh£ thi trong Pu

J(−ε1) vîi måi

J ≥ J1. Chó þ r¬ng E(ηJu|F)−ηk∞ hëi tö v· 0 khi J → ∞. i·u n y suy ra tø bê · 2.5.1.2 v  sü hëi tö cõa kηu

J −ηk∞ v· 0. Nh÷ vªy, do t½nh li¶n töc ·u cõa c tr¶n mi·n comp«c, câ mët sè J2 ∈ N m 

c(xs, E(η|FJu)) ≤ c(xs, η) + 1h.c.c vîi J ≥ J2. (2.21) C¡c nghi»m cõa b i to¡n Du

J tròng vîi −∂ϕu

J(0). Do â, chóng ta câ

ϕuJ(u)−ϕuJ(0) ≥ −hyJu, ui vîi måi u ∈ U0(FuJ).

L§y cªn tr¶n óng tr¶n to n bë u ∈ U0(FuJ) vîi kuk∞ = ε tr¶n c£ hai m°t v  khai th¡c t½nh ìn i»u cõa ϕuJ, chóng ta câ ÷ñc

ϕuJ(−ε1)−ϕJu(0) ≥ εkyuJk1.

Tø ÷îc l÷ñng n y, chóng ta suy ra r¬ng vîi måi J ≥max{J1, J2} th¼

εkyJuk1 ≤ϕJu(−ε1)−ϕuJ(0)

≤ϕuJ(−ε1)−ϕ(0)

≤E(c(E(xs|FJu), ηJu))−ϕ(0) (2.22)

≤E(c(xs, E(ηJu|F)))−ϕ(0)

≤E(c(xs, η))−ϕ(0) + 1.

B§t ¯ng thùc thù hai l  h» qu£ trüc ti¸p cõa ành lþ 2.3.1.2 v  b§t ¯ng thùc thù ba dòng t½nh kh£ thi cõa E(xs|Fu

J) trong b i to¡n Pu

J(−ε1), vîi J ≥ J1. Trong dáng thù t÷, chóng ta sû döng Fu

J-o ÷ñc cõa ηJu v  phi¶n b£n câ i·u ki»n cõa b§t ¯ng thùc Jensen º chuyºn ký vång câ i·u ki»n èi vîi Fu

J ra khäi h m chi ph½.

Ti¸p theo, b§t ¯ng thùc Jensen câ i·u ki»n ÷ñc ¡p döng mët l¦n núa. Lóc n y, F-o ÷ñc cõa xs b£o £m r¬ng ký vång câ i·u ki»n li¶n quan

¸n F câ thº ÷ñc ÷a v o trong h m chi ph½. B§t ¯ng thùc thù n«m trong (2.22) suy ra trüc ti¸p tø (2.21).

Dáng cuèi còng cõa (2.22) rã r ng ëc lªp vîi J. Ngo i ra, nâ l  húu h¤n. Chia hai v¸ b§t ¯ng thùc cho ε > 0, ta ÷ñc cªn tr¶n kyu

Jk1 vîi måi

J õ lîn.

Bê · 2.5.1.5 ÷ñc chùng minh.

Sau khi chùng minh Bê · 2.5.1.5, chóng ta thi¸t lªp k¸t qu£ ch½nh cõa möc n y.

ành lþ 2.5.1.6. N¸u c¡c i·u ki»n (C1) −(C4) ÷ñc thüc hi»n, cho

J → ∞ ta câ

infPJu →infP v  infPJl → infP.

Chùng minh. C¡c y¶u c¦u câ thº ÷ñc thi¸t lªp b¬ng c¡ch sû döng k¸t qu£ cõa chóng ta tr÷îc â. °c bi»t, t½nh bà ch°n ·u cõa nghi»m èi ng¨u vîi b i to¡n ríi r¤c l  quan trång. Chóng ta b­t ¦u b¬ng chuéi b§t ¯ng thùc 0 ≤inf PJu−infPJl = E L(xuJ, yJu;ηJu, ξJu)−L(xlJ, ylJ;ηJl, ξJl) ≤E L(E(xlJ|FJu), yJu;ηJu, ξJu)−L(xlJ, E(yJu|FJl);ηlJ, ξJl) (2.23) ≤E L(xlJ, yJu;ηJu, ξJu−L xlJ, yJu;ηlJ, ξJl) ≤c(xlJ, ηJu)−c(xlJ, ηJl ) ∞ + T X t=1 yuJk1ft(xlJ, ξJu)−ft(xlJ, ξJl)k∞.

B§t ¯ng thùc ¦u ti¶n l  h» qu£ trüc ti¸p cõa ành lþ 2.3.1.2, trong khi b§t ¯ng thùc trong dáng thù hai sû döng ành lþ 2.2.1.1 v  bê · 2.5.1.4. B§t ¯ng thùc thù hai (trong dáng thù ba) mët l¦n núa, tø ành lþ 2.2.1.1 v  thüc t¸ l  E xlJ|Fu

J

chùa trong X(FuJ); trong khi E yJu|Fl J

chùa trong

X(FlJ), xem bê · 2.5.1.1. B§t ¯ng thùc thù ba suy ra tø b§t ¯ng thùc Jensen câ i·u ki»n, ùng döng cõa h m Lagrange lçi trong b i to¡n gèc v  lãm trong b i to¡n èi ng¨u quy¸t ành, v  b§t ¯ng thùc cuèi còng trong

(2.23) düa v o b§t ¯ng thùc tam gi¡c v  Ho¨lder. V¼ c l  li¶n töc ·u tr¶n mi·n x¡c ành cõa nâ v  tø kηu

J −ηJlk∞ hëi tö v· 0 khi J → ∞, chóng ta câ thº suy ra r¬ng

lim

J→∞kc(xlJ, ηJl )−c(xlJ, ηJl)k∞ = 0.

Lªp luªn t÷ìng tü cho th§y lim

J→∞kft(xlJ, ξJu)−ft(xlJ, ξJl)k∞ = 0, vîi måi t= 1,2..., T.

Nhí (2.23) v  t½nh bà ch°n ·u cõa kyu

Jk1 vîi J õ lîn (xem bê · 2.5.1.5), chóng tæi câ

maxinf PJu−infP,infP −infPJl ≤ infPJu−inf PJl →0 vîi J → ∞.

ành lþ ¢ ÷ñc chùng minh.

2.5.2. V½ dö

Trong v½ dö n y, chóng tæi tr¼nh b y mët b i to¡n ng¨u nhi¶n ìn gi£n º x¡c ành chi ph½ tèi thiºu k¸ ho¤ch s£n xu§t cõa nh  m¡y thõy i»n theo hai giai o¤n. C¡c nh  m¡y bao gçm 1 hç chùa duy nh§t. B§t cù lóc n o n÷îc câ thº tho¡t ra mët tua bin º s£n xu§t i»n n«ng. º d¹ hiºu, chóng ta gi£ ành r¬ng dung l÷ñng bº chùa ÷ñc o b¬ng ìn và n«ng l÷ñng.

Dung l÷ñng ban ¦u ÷ñc thi¸t lªp l  1. Trong kho£ng thíi gian t, c¡c nh  m¡y s£n xu§t xt ìn và n«ng l÷ñng, ÷ñc b¡n vîi gi¡ ηt méi ìn và. çng thíi, dung l÷ñng bº chùa ξt ìn và do dáng n÷îc tü nhi¶n. C¡c dung l÷ñng bº do â chùa 1− x1 + ξ1 ìn và sau giai o¤n ¦u ti¶n v  1−x1 −x2 +ξ1 + ξ2 sau giai o¤n thù hai.

Ng÷íi ta y¶u c¦u hç chùa dung l÷ñng khæng bao gií v÷ñt qu¡ 2. Hìn núa, nâ ph£i khæng gi£m xuèng d÷îi O(0.8) v o cuèi giai o¤n thù nh§t (thù hai). xt quy¸t ành s£n xu§t câ thº ch¿ phö thuëc v o thæng tin v· ηt