1. Tập hợp lồ
1.2. Bao đúng và miền trong của tập lồ
Chỳng ta đó được học về khỏi niệm bao đúng và miền trong của một tập hợp S. Bao đúng của S được ký hiệu là cl S, cũn miền trong của S là int S.
Định lý 3. Xột tập lồi S ⊂ Rn với int S khỏc rỗng. Cho x1∈ cl S và x2∈int S. Lỳc đú, ∀λ ∈(0, 1) ta luụn cú x = λ +x1 (1− λ)x2∈int S.
Việc chứng minh định lý này khụng quỏ khú, dành cho bạn đọc tự chứng minh hoặc xem thờm trong tài liệu tham khảo.
Chỳng ta cú thể minh họa ý tưởng chứng minh trờn hỡnh VI.1.
Hệ quả 3a. Nếu S là tập lồi thỡ int S cũng là tập lồi. Hệ quả được dễ dàng chứng minh trực tiếp từ định lý 3.
Hệ quả 3b. Nếu S là tập lồi và int S khỏc rỗng thỡ cl S cũng lồi.
Chứng minh
Cho x1 và x2∈ cl S, lấy z ∈ int S thỡ λx2+(1− λ ∈)z int S,∀λ ∈(0,1) và
1 2
x (1 ) x⎡ (1 )z⎤ int S
μ + − μ λ⎣ + − λ ⎦∈ , ∀μ∈(0,1). Cố định μ và cho λ→1 ta cú μx1 + (1–μ)x2∈ cl S (đpcm).
Hệ quả 3c. Nếu S là tập lồi và int S khỏc rỗng thỡ bao đúng của miền trong của S trựng với bao đúng của S, tức là cl (int S) ≡ cl S. Ngoài ra ta cũng cú: int (cl S) ≡ int S .
x
x1
x2
S
Chứng minh
Chỳng ta chứng minh phần đầu. Rừ ràng rằng cl (int S) ⊂ cl S. Chỳng ta cũn cần chứng minh cl S ⊂ cl (int S). Thật vậy, giả sử x ∈ cl S và y ∈ int S thỡ λx + (1 – λ)y ∈ int S. Cho λ→ 1, ta cú x ∈ cl (int S) là đpcm.
Phần thứ hai của hệ quả được chứng minh như sau: Trước hết, dễ thấy rằng int S ⊂ int (cl S). Giả sử x1∈ int (cl S), ta cần chứng minh x1∈ int (S). Thật vậy, lấy x2∈ int S sao cho x2≠ x1 và xột y = (1 + Δ)x1 – Δx2, với Δ = 1 2 2 x x ε − , ε > 0 nhỏ tựy ý. Do 1 y x− = ε/ 2 nờn y ∈ cl S. Hơn nữa, x1 = λy + (1 – λ)x2, với λ = 1/(1+Δ) ∈(0, 1), nờn theo định lý 3 thỡ x1∈ int S (đpcm).