V v ch chi ađ
Ch ng V Hình hc Fractal
I. S c n thi t c a hình h c Fractal
Hình h c là ngôn ng đ c bi t đ mô ph ng t nhiên, và hình h c Euclide đã ng tr m t th i gian dài trong l nh v c mô t , x lý các hình d ng c a t nhiên. Tuy nhiên trong th gi i th c có m t l p hình d ng không d dàng đ c mô t b i hình h c Euclide nh : núi, mây, tr i, bi n ... c tính c a nh ng đ i t ng này là khi phóng to m t ph n chi ti t nào đó thì s có đ c d ng l p l i c a toàn hình, đ c tính đó đ c g i là t t ng t (self- similarity). Hình h c Fractal (vi t t t c a Fractional – phân đo n) ra đ i đ thích nghi v i vi c mô ph ng l p hình d ng đó: l p hình có đ c tính “Fractal” – t t ng t . (Xem và ch y th file fractal.exe)
ng cong Fractal không th đ c mô t nh đ ng hai chi u thông th ng, m t Fractal không th mô t nh m t 3 chi u mà đ i t ng Fractal có thêm chi u h u t . M c dù các đ i t ng Fractal trong t ng tr ng h p c th ch ch a m t s h u h n chi ti t, nh ng nó ch a đ ng b n ch t cho phép mô t vô h n chi ti t, t c là t i m t th i đi m xác đnh thì là h u h n, nh ng xét v t ng th là vô h n vì b n ch t Fractal cho phép phóng đ i lên m t m c đ b t k m t chi ti t tùy ý.
Hi n nay hình h c Fractal và các khái ni m c a nó đã tr thành công c trung tâm trong các l nh v c c a khoa h c t nhiên nh : v t lý, hóa h c, sinh h c, đ a ch t h c, khí t ng h c, khoa h c v t li u ...
hi u th nào là hình h c Fractal, ta hãy so sánh v i hình h c Euclide c đi n
Hình h c Euclide Hình h c Fractal
1) Xu t hi n t r t lâu, trên 2000 n m tr c 1) Xu t hi n n m 1975 (n m nhà toán h c Benoit Mandelbrot công b công trình v t p Mandelbrot) 2) V t th hình h c Euclide có kích th c đ c tr ng 2) Không có kích th c xác đnh 3) Thích h p v i vi c mô t nh ng th c th đ c t o ra b i con ng i. 3) Thích h p đ mô t nh ng v t th trong t nhiên 4) c mô t b i công th c (ph ng trình tham s , ph ng trình b m t, qu đ o ...)
4) c mô t b i thu t toán l p
Hình h c Euclide cho s mô t g n gàng, chính xác nh ng v t th đ c t o b i con ng i (kh i l p ph ng, m t tr , m t c u ... ) nh ng không thích h p khi dùng đ mô t nh ng hình d ng t nhiên vì đòi h i m t kh i l ng tính toán (s và b c c a ph ng trình, l ng bi n ... ) r t c ng k nh mà v n không chính xác. Còn s mô t c a hình h c Fractal (các thu t l p) l i đ c bi t thích h p v i vi c t o sinh b ng máy tính. Th c th Fractal là k t qu c a m t quá trình l p theo m t thu t toán xác đnh, đ c t o sinh lý t ng b ng máy tính và r t khó đ c t o m t cách th công.
II M t s khái ni m c b n
Các th c th Fractal có 3 đ c tính quan tr ng:
• T t ng t (self-similarity)
• T t ng t đa ph n (statistical self-similarity)
• T Affine
Chúng ta ch kh o sát đ c tính đ u tiên và quan tr ng nh t: đ c tính t t ng t (self- similarity)
M t th c th có đ c tính t t ng t n u nó là h p c a N t p con không giao nhau, m i t p con đ c t o sinh t t p g c qua các phép bi n đ i nh : co dãn, d ch chuy n, quay. Phát bi u m t cách hình th c h n, xét t p S g m nh ng đi m:
x = (x1, x2, ... xE) trong không gian E chi u
D i phép đ ng d ng v i h s co 0 < T < 1, t p S bi n thành t p TS v i nh ng đi m: Tx = (Tx1, Tx2, ... TxE)
T p S là t t ng t n u S là h p c a N t p con không giao nhau, m i t p con t ng đ ng v i TA (có th sai khác m t phép t nh ti n, quay ho c v t ). Khi đó s chi u c a S đ c đ nh ngh a b i T N D 1 log log =
T p S c ng đ c g i là t t ng t n u các t p con đ c t o sinh t t p g c theo các h s co Ti khác nhau. Trong tr ng h p này s chi u D đ c tính t công th c sau
1 1 = ∑ = N i D i T III Ví d minh h a
Ta hãy xét m t ví d minh h a tính t t ng t c a m t th c th Fractal kinh đi n: đ ng Von-Koch. ng Von- Koch (còn g i là “Bông hoa tuy t Von-Koch” nh trong
Wikipedia) là m t trong nh ng đ ng Fractal đ c công b s m nh t, vào n m 1904 b i nhà toán h c Th y i n Helge Von Koch. Thu t toán l p cho đ ng Von-Koch g m nh ng b c sau:
a) M t đo n th ng cho tr c đ c chia làm 3 ph n b ng nhau b) o n gi a đ c thay b i 2 đo n có chi u dài t ng đ ng
c) M i đo n trong s 4 đo n này l i đ c thay b i 4 đo n m i có chi u dài b ng 1/3 đo n tr c
a)
b)
c)