II. Tìm hiểu SGK
2. Giới thiệu bài toán thực nghiệm
3.2. Phân tích các bài toán thực nghiệm
- Bài 1: Hãy lập phương trình tổng quát của đường thẳng d , biết d đi qua điểm M(−5; 8) và có vectơ pháp tuyến n =( )1; 2
Đây là một bài toán mà kĩ thuật được SGK HH10 giới thiệu, đó là kĩ thuật ĐS. Mục đích của bài toán này nhằm khẳng định: kĩ thuật ĐS là kĩ thuật mà HS dùng trong bài toán có kĩ thuật được chỉ ra trong SGK, SBT. Nói một cách khác HS có thể áp dụng trực tiếp công thức đi tìm lời giải cho bài toán. Cơ sở của vấn đề là HS dùng định nghĩa phương trình tổng quát của đường thẳng hoặc cách thể hiện phương trình tổng quát của đường thẳng khi biết điểm đi qua và vectơ pháp tuyến đã được SGK giới thiệu. Do đó, kĩ thuật sử dụng hình vẽ có thể không được HS quan tâm sử dụng. Bài toán có các biến sau:
+ V1.1: cách đặt câu hỏi. Biến này có các giá trị sau: * V1.1.1: cho một điểm đi qua và vectơ chỉ phương * V1.1.2: cho một điểm đi qua và vectơ pháp tuyến
* V1.1.3: cho một điểm đi qua và biết hệ số góc * V1.1.4: cho hai điểm đi qua
Chúng tôi lựa chọn biến V1.1.2 “cho một điểm đi qua và vectơ pháp tuyến”
nhằm tạo thuận lợi tối đa nhất có thể cho HS sử dụng kĩ thuật ĐS. Vì đây là ví dụ điển hình nhất về việc đại số hóa hình học trong HHGT10. Mặc dù các biến V.1.1.1, V.1.1.2, V.1.1.3, V.1.1.4 HS đều có thể dùng suy luận đại số để đi tìm giải cho bài toán. Vì SGK có đề cập về việc biến đổi từ vectơ chỉ phương sang vectơ pháp tuyến, từ hệ số góc của đường thẳng ra vectơ chỉ phương, vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm.
+ V.1.2: loại phương trình đường thẳng được viết. Biến này có các giá trị: * V.1.2.1: phương trình tham số của đường thẳng
* V.1.2.2: phương trình tổng quát của đường thẳng * V.1.2.3: phương trình theo hệ số góc của đường thẳng
Chúng tôi chọn biến V.1.2.2 : “phương trình tổng quát của đường thẳng” vì đây là kiểu nhiệm vụ mà chương trình thường hay đề cập nhất, trong thể chế HHGT10 nó phổ biến hơn hai kiểu nhiệm vụ còn lại. Khi viết phương trình đường thẳng mà không nói gì thêm thì bài toán được hiểu là viết phương trình tổng quát của đường thẳng.
- Bài 2: Lập phương trình ba đường trung trực của một tam giác có trung điểm các cạnh lần lượt là M(−1;0 ,) ( ) ( )N 4,1 ,P 2, 4
Mục đích của chúng tôi trong bài toán này là mong muốn HS đưa ra một hình vẽ để đi tìm lời giải cho bài toán. Qua bài toán này chúng tôi muốn kiểm tra HS có dùng hình vẽ khi gặp khó khăn trong tìm lời giải của bài toán bằng công thức không. Với hình vẽ được đưa ra HS sẽ có hai hướng để chỉ ra lời giải của bài toán: thường dùng kĩ thuật ĐS hoặc phân tích các quan hệ song song, vuông góc trên hình vẽ để đưa ra lời giải cho bài toán. Bài toán có các biến như sau:
+ V2.1: cách cho tọa độ điểm * V2.1.1: cho tọa độ ba đỉnh
* V.2.1.2: cho tọa độ ba trung điểm của các cạnh của tam giác
Chúng tôi chọn V.2.1.2 “cho tọa độ ba trung điểm của các cạnh của tam giác”
nhằm mục đích đưa HS đi đến dùng vai trò của hình vẽ vào nghiên cứu bài toán này mà không dùng suy luận đại số. Đưa bài toán về một dạng “lạ” so với những gì HS thường thấy (cho biết tọa độ ba đỉnh của một tam giác). Do vậy dùng đến một hình vẽ để phân tích đi tìm lời giải cho bài toán là cần thiết trong suy luận của HS. Nếu chọn V2.1.1 thì khả năng chọn suy luận đại số mà không dùng hình vẽ của HS sẽ cao hơn do bài toán đơn giản hơn. Chỉ dùng định nghĩa đường trung trực của đoạn thẳng mà HS suy luận đại số để đưa ra lời giải bài toán.
+ V.2.2: cách chọn đường đồng quy * V.2.2.1: đường trung trực * V.2.2.2: đường trung tuyến * V.2.2.3: đường cao
* V.2.2.4: đường phân giác
Chúng tôi chọn V.2.2.1 : ” đường trung trực” vì lí do sau: đường trung trực vừa có đặc điểm đi qua trung điểm một cạnh, vừa có tính chất vuông góc vuông góc với một cạnh. Do vậy, nó mang tính “tổng hợp” của hai biến V.2.2.2, V.2.2.3. Và nếu chọn các biến còn lại thì ta cần hoặc phải đi tìm phương trình đường thẳng chứa các cạnh còn lại, hoặc phải đi tìm tọa độ các đỉnh của tam giác rồi mới viết được phương trình các đường đồng quy khác. Khi đó tính phức tạp của bài toán sẽ tăng lên.
- Bài 3: Xét vị trí tương đối của các đường sau: a/. d1: 4x−10y+ =1 0 và d2: x+ + =y 2 0
b/. d : x− − =y 4 0 và ( )C : 2 2
4 4 8 0
x +y − x− y− =
Đối với bài 3a, kĩ thuật đã được giới thiệu, đó là kĩ thuật ĐS. Kĩ thuật tìm vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn (elip) không được chỉ ra (SGK không giới thiệu kĩ thuật giải hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất hai ẩn (phương trình đường thẳng) và một phương trình bậc hai hai ẩn (phương trình đường tròn, elip)). Ở đây sẽ có hai hướng cho HS phải suy nghĩ, hoặc là dùng hình vẽ để phân tích đi tìm lời giải hoặc áp dụng kĩ thuật xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng (giải hệ phương trình không mẫu mục bằng phương pháp thế). Bên cạnh đó ta cũng thấy kĩ thuật xét vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn được giới thiệu trong HH9. Kĩ thuật đó là so sánh khoảng cách từ tâm đến đường thẳng với bán kính của đường tròn. Và ta có thể xem kĩ thuật này là kĩ thuật ĐS vì khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng đã được giới thiệu thông qua một công thức. Do vậy hướng đi tìm lời giải cho bài toán rất phong phú. Do bài toán chỉ yêu cầu xác định vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn chứ không yêu cầu chỉ ra tọa độ của các giao điểm thì việc dùng hình vẽ để chỉ ra vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn cũng có thể xãy ra trong lời giải của HS. Qua bài toán 3b này, ta cũng có thể kiểm tra được HS có thói quen sử dụng hình vẽ trong đi tìm lời giải của bài toán HHGT không. Bài toán có các biến sau:
-V.3.1: cách chọn phương trình đường. Biến này có các giá trị + V.3.1.1: hai đường bậc một (hai đường thẳng)
+ V.3.1.2: một đường bậc một và một đường bậc hai (một đường thẳng và một đường tròn hoặc một đường thẳng và một đường elip)
+ V.3.1.3: hai đường bậc hai (hai đường tròn hoặc hai đường elip)
Chúng tôi chọn V.3.1.1 “hai đường bậc một” cho câu 3a vì mong muốn HS giải quyết kiểu nhiệm vụ này bằng kĩ thuật ĐS. Do kĩ thuật xét vị trí tương đối của hai đường thẳng đã được SGK HH10 giới thiệu bằng cách đưa về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Mặc khác một hệ không mẫu mực (một phương trình bậc nhất và một
phương trình bậc hai tương ứng với phương trình đường bậc nhất và một đường bậc hai) HS có thể giải được bằng phương pháp thế, để đưa về phương trình bậc hai. Với V.3.1.3 “hai đường bậc hai” ta thực hiện giống V.3.1.2 nhưng bài toán phức tạp hơn. Do chọn mức độ đơn giản hơn mà không mất bản chất nên chúng tôi chọn V.3.1.2
“đường bậc một và đường bậc hai” cho câu 3b. -V.3.2: cách thể hiện phương trình đường
+ V.3.2.1: phương trình tham số và phương trình tham số của hai đường thẳng
+ V.3.2.2: phương trình tổng quát của hai đường thẳng
+ V.3.2.3: phương trình tham số của đường thẳng và phương trình của đường tròn
+ V.3.2.4: phương trình trình tổng quát của đường thẳng và phương trình của đường tròn
Chúng tôi chọn V.3.2.2 “phương trình tổng quát của hai đường thẳng” cho câu 3a nhằm tạo thuận lợi cho HS sử dụng kĩ thuật ĐS. Do kĩ thuật mà SGK HH10 giới thiệu là xét vị trí tương đối của hai đường thẳng (phương trình tổng quát của hai đường thẳng). V.3.2.3, V.3.2.4 có cùng bản chất khi ta dùng kĩ thuật ĐS vào giải quyết kiểu nhiệm vụ này. Đó là dùng phương pháp giải hệ phương trình. Tuy nhiên V.3.2.3 không quen thuộc với HS do các em vừa mới tiếp cận với tham số t. Do đó chúng tôi chọn thêm V.3.2.4 cho câu 3b.
-V.3.3: cách cho câu hỏi. Biến này có hai giá trị
+ V.3.3.1: xác định vị trí tương đối của hai đường + V.3.3.2: xác định giao điểm của hai đường
Chúng tôi chọn V.3.3.1 “xác định vị trí tương đối của hai đường” vì với yêu cầu này HS không cần phải chỉ ra tọa độ giao của hai đường (nếu có). Nhằm tạo ra cho HS có cơ hội thể hiện các lời giải phong phú hơn có thể là cả đại số và hình học.
Tuy nhiên với cách cho câu hỏi như thế này thì ĐS vẫn là kĩ thuật chúng tôi mong muốn HS thể hiện nhất. Vì “xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng” được SGK giới thiệu trong bài “phương trình đường thẳng” là kĩ thuật ĐS, “xác định vị trí
tương đối giữa đường thẳng và đường tròn” được giới thiệu trong HH9 bằng cách so sánh khoảng cách từ tâm đến đường thẳng và bán kính của đường tròn đó.
- Bài 4: Lập phương trình đường tròn ( )C tiếp xúc với các trục tọa độ và đi qua điểm M( )4; 2
Bằng cách dùng hình vẽ và suy luận ĐS ta sẽ chỉ ra được bài toán phải xét hai trường hợp. Đó là ( )C có tâm I a a( ; ), bán kính R=| |a và ( )C có tâm I a( ;−a), bán kính R=| |a . Nếu dùng một hình vẽ cùng với phân phân tích hình học hình vẽ đó thì bài toán sẽ chỉ có một trường hợp. Chỉ ra được tâm và bán kính (mặc dù ở dạng tổng quát). Cơ sở của vấn đề là hai tiếp tuyến cắt nhau tại điểm thì tâm nằm trên đường phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến đó đã được đề cập đến trong HH9. Chúng tôi đưa ra bài toán này với mong muốn HS có chú ý vào việc lựa chọn giữa kĩ thuật giải. Và muốn khẳng định rằng kĩ thuật hình vẽ vẫn có những ưu điểm riêng của nó (cho lời giải ngắn gọn hơn). Bài toán có các biến sau:
V.4.1: đã cho các yếu tố để viết phương trình đường tròn + V.4.1.1: cho biết cả tâm và bán kính
+ V.4.1.2: cho biết một trong hai yếu tố tâm và bán kính + V.4.1.3: không cho biết tâm và bán kính trong đề bài
Nếu chọn V.4.1.1 thì HS sẽ chọn kĩ thuật ĐS để đưa ra kết quả bài toán, vì kĩ thuật đã được SGK HH10 giới thiệu. Nếu chọn V.4.1.2 và V.4.1.3 thì có thể dùng hình vẽ để đi tìm lời giải cho bài toán. Chúng tôi chọn V.4.1.3 “không cho biết tâm và bán kính trong đề bài”. Mục đích của lựa chọn này là mong muốn cho HS dùng hình vẽ vào việc đi tìm lời giải cho bài toán. Và qua đó kiểm tra HS có sử dụng triệt để hình vẽ vào giải bài toán hay không? Hình vẽ sẽ chỉ ra cách đi tìm lời giải cho bài
toán. Mặc dù trong trường hợp này, dùng kĩ thuật ĐS vẫn tìm được kết quả của bài toán. Nhưng dùng hình vẽ sẽ cho ta lời giải “tốt” hơn.
-V.4.2: đối tượng thể hiện giả thiết bài toán
+ V.4.2.1: chọn thêm đối tượng là đường thẳng + V.4.2.2: chọn thêm đối tượng là điểm
+ V.4.2.3: chọn thêm đối tượng là đường thẳng và điểm
Mong muốn trong bài tập này là HS có sự xem xét chọn kĩ thuật giải (ĐS hay hình vẽ) trong việc đi tìm lời giải cho bài toán. Nếu chọn V.4.2.1 - “chọn thêm đối tượng là đường thẳng”, có thể gặp giả thiết như sau: viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng và có tâm nằm trên một đường thẳng khác. V.4.2.3 - “chọn thêm đối tượng là đường thẳng và điểm” ta có thể gặp giả thiết như sau: viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng và đi qua một điểm. Cả V.4.2.1 và V.4.2.3 đều có thể đưa ra lời giải bằng kĩ thuật ĐS và kĩ thuật hình vẽ. Về độ khó thì V.4.2.1 cao hơn. V.4.2.2: chọn thêm đối tượng là điểm thì có thể đưa ra giả thiết ở các dạng sau: đường tròn đi qua hai điểm (đường kính), đường tròn đi qua ba điểm, đi qua một điểm A và biết tọa độ tâm I (bán kính R=IA). Trong các trường hợp này thì ĐS là ưu tiên trong việc đi tìm lời giải cho bài toán vì kĩ thuật đã được SGK HH10 giới thiệu (điểm thuộc đường). Do vậy chọn V.4.2.3 là đáp ứng được yêu cầu trên là vừa tạo khả năng có thể giải bài toán bằng kĩ thuật ĐS vừa có khả năng chỉ ra tính tối ưu bằng hình vẽ
Các chiến lược và những điều có thể quan quan sát được
Bài toán Chiến lược Quan sát
1 S1: “ĐS” d có vectơ pháp tuyến n=( )1; 2 , nên d có dạng: 2 0 x+ y+ =c Do M(−5; 8)∈d, nên ta có ( 5)− +2.8+ = ⇔ = −c 0 c 11
Vậy ( ) :d x+2y−11=0
d đi qua M(−5; 8) và có vectơ pháp tuyến n=( )1; 2 ,
nên: ( ) :1.(d x+ +5) 2(y− =8) 0 ⇔ +x 2y− =11 0
2
S3
Giả sử M( 1; 0),− N( )4; 1 , (2; 4)P lần lượt là trung điểm các cạnh AB AC BC, , của tam giác ABC
Nên ta có: xA+xB = −2, xA+xC =8, xB+xC =4 , ,
A B C
x x x là nghiệm của hệ phương trình
2 1 8 3 7 4 A B A A C B C B C x x x x x x x x x + = − = + = ⇔ = − + = = Tương tự ta cũng có: 3 3 5 A B C y y y = − = = Vậy A(1; 3 , ( 3; 3), (7; 5)− ) B − C ( 4; 6 ,) (6; 8), (10; 2) AB= − AC= BC =
Ta có: ( )d là đường trung trực của AB có
( 1; 0) M − ∈d và có vectơ pháp tuyến (4; 6) n=AB= − ( ) : 4d x 6y 4 0 ⇒ − + =
Ta có: ( )d1 là đường trung trực của AC có P(2; 4)∈d1
và có vectơ pháp tuyến n =AC=(10; 2)
1
( ) : 10d x 2y 28 0
⇒ + − =
Ta có: (d2) là đường trung trực của BC có N(4; 1)∈d
và có vectơ pháp tuyến n =BC=(4;−6)
2
(d ) : 6x 8y 32 0
⇒ + − =
S4
qua M). Ta có NP song song với cạnh thứ nhất của tam giác do đó NP⊥d1 . Hay d1 nhận NP= −( 2; 3) làm vectơ pháp tuyến
1
d : −1(x+ +1) (3 y− = ⇔ −0) 0 x 3y+ =1 0
Gọi d2 là đường trung trực thứ hai của tam giác ( đi qua N). Ta có MP song song với cạnh thứ hai của tam giác do đó MP⊥d2 . Hay d2 nhận MP=( )3; 4 làm vectơ pháp tuyến
2
d : 3(x− +4) (4 y− = ⇔1) 0 3x+4y− =16 0
Gọi d3 là đường trung trực thứ ba của tam giác ( đi qua P). Ta có MN song song với cạnh thứ hai của tam giác do đó MN ⊥d3 . Hay d3 nhận MN=( )5; 1 làm vectơ pháp tuyến
3
d : 5(x− +2) (1 y− = ⇔4) 0 3x+ − =y 14 0
S4 Giả sử M( 1; 0),− N( )4; 1 , (2; 4)P lần lượt là trung điểm các cạnh AB AC BC, , của tam giác ABC
Suy ra MN MP NP, , là các đường trung bình của tam giác ∆ABC. Suy ra MN/ /BC MP, / /AC NP, / /AB
Gọi d d d1, 2, 3 lần lượt là đường trung trực của các cạnh , ,
AB AC BCcủa tam giác
Do đó ta có d1 đi qua M và vuông góc với NP do đó
1
d có vectơ pháp tuyến là NP= −( 2; 3)
1
d : −1(x+ +1) (3 y− = ⇔ −0) 0 x 3y+ =1 0
- Ta có d2 đi qua N và vuông góc với MP do đó d2
có vectơ pháp tuyến là MP=( )3; 4
2
- Ta có d2 đi qua N và vuông góc với MP do đó d2
có vectơ pháp tuyến là MP=( )3; 4
2
d : 3(x− +4) (4 y− = ⇔1) 0 3x+4y− =16 0
- Ta có d3 đi qua P và vuông góc với MN do đó d3có vectơ pháp tuyến là MN=( )5; 1 3 d : 5(x− +2) (1 y− = ⇔4) 0 3x+ − =y 14 0 3 S1 1 2 4 10 10 1 1 4 14, 21, 7