NSN nhóm

L ỜI MỞ ĐẦU

2.4. NSN nhóm

2.4.1. Định nghĩa

Nhóm G được gọi là N SN -nhóm nếu tất cả nhóm con của G hoặc chuẩn tắc hoặc tự chuẩn hóa.

Dễ thấy rằng N SN -nhóm là *

H -nhóm và do đó theo Định lí 2.1.2 và 2.3.3 các

N SN -nhóm hữu hạn là T -nhóm siêu giải được. Ta cũng có nhóm Dedekind là

N SN -nhóm. Hơn nữa, tất cả nhóm con lũy linh của N SN -nhóm là nhóm Dedekind và nếu G là nhóm lũy linh thì G là N SN -nhóm khi và chỉ khi G là nhóm Dedekind.

Thật vậy, nếu H là nhóm con lũy linh của N SN -nhóm G và N ≤H thì

N H. Theo Định lí 2.2.7 (2) thì N  H .

2.4.2. Mệnh đề

Cho G là một N SN -nhóm hữu hạn không lũy linh và p là ước nguyên tố nhỏ nhất của G. Gọi P và M theo thứ tự là p-nhóm con Sylow và p′-nhóm con Hall của G. Khi đó ta có:

(1) M là nhóm con chuẩn tắc abel của G;

(2) P là nhóm con cyclic tự chuẩn hóa của G, và gọi P = x ; (3) p ( )

x =Z G ; (4) M =G′;

(5) Tồn tại một số nguyênnsao cho wx =wn với mọi w∈MZ G( );

Chứng minh

Theo chú ý ở 2.4.1 thì G là T -nhóm siêu giải được. Gọi H là nhóm con chuẩn tắc của G có chỉ số là số nguyên tố r.

Ta có G H: =r. Giả sử 1 2

1k . 2k ... km. k m

G = p p p r với k ki, >0 và p1,...,p pm, là các số nguyên tố phân biệt thì 1 2 1

1k. 2k ... km. k m

H = p p p r − .

Nếu s là ước nguyên tố của H và S là s-nhóm con Sylow của H thì theo Bổ đề Frattini ta có G =HNG( )S , suy ra NG( )S >S.

Thật vậy, giả sử NG( )S =S thì G =HS =H : mâu thuẫn. Do đó NG( )S >S. Mà G là N SN -nhóm nên S G. Suy ra SH.

Do mọi nhóm con Sylow của H đều chuẩn tắc trong Hnên với mỗi s,Hcó một s- nhóm con Sylow duy nhất, suy ra Hlà tích trực tiếp của các nhóm con Sylow của nó. Suy ra H là nhóm con lũy linh của G và do G là N SN -nhóm nênHlà nhóm con Dedekind của G.

Gọi ulà ước nguyên tố của G u, ≠r và U là u-nhóm con Sylow của G.

Khi đó U ≤H .

Thật vậy, giả sử U′ là u-nhóm con Sylow của H thì U′ cũng là u-nhóm con Sylow của G.

Do đó U và U′ liên hợp với nhau trong G.

Suy ra ∃ ∈g G U: = g U g−1 ′ ≤g Hg−1 =H . Vậy U ≤H . Suy ra U  H G.

Mà G là T -nhóm siêu giải được nên U G. Vậy U là u-nhóm con Sylow duy nhất của Gvà cũng là u-nhóm con Sylow duy nhất của H.

Do G không lũy linh, nếu R là r-nhóm con Sylow của G thì NG( )R =R.

Thật vậy, giả sử R≠ NG( )R thì RG. Vậy mọi nhóm con Sylow của G đều chuẩn tắc trong G, suy ra Glũy linh: mâu thuẫn. Vậy NG( )R = R.

RU G

⇒ ≤ là nhóm siêu giải được với NRU( )R =R.

r u

Thật vậy, giả sử u r< thì r là ước nguyên tố lớn nhất của RU , theo Định lí 1.5.2.5 (2) thì RRU, suy ra NRU ( )R =RU: mâu thuẫn. Vậy r u< .

r p

⇒ = là ước nguyên tố nhỏ nhất của G và ta có thể chọn P= R

( )

G

N P P

⇒ = .

Hơn nữa, ta có u-nhóm con Sylow của H,với u≠ =r p là nhóm lũy linh, Dedekind cấp lẻ nên là nhóm abel theo Định lí 2.3.1 (3) và vì M là p′-nhóm con Hall của G nên M là tích các u-nhóm con Sylow của G, suy ra M <H và là nhóm con abel chuẩn tắc của G, (1) được chứng minh.

Nếu D<P thì DG và vì NG( )P = P, P không được sinh bởi các nhóm con thực sự của nó.

Thật vậy, giả sử P= K K| <P thì KG

| K K P G ⇒ <  ⇒PG ( ) G N P G

⇒ = : mâu thuẫn.

Do đó P là nhóm cyclic, (2) được chứng minh. Ta có G là một A-nhóm với system normalizer P.

Thật vậy, các u-nhóm con Sylow của G là các nhóm abel và P là nhóm cyclic cũng là nhóm abel nên G là một A-nhóm.

Gọi Pi là các pi-nhóm con Sylow của G. Đặt 1 2... ; ...1 2 1 1... i p m p i i m Q =P P P Q =P P P P− + P P thì { 1, 2,..., , } m p p p p Q Q Q Q là một hệ Sylow của G.

Khi đó Qp G nên NG( )Qp =G. Hơn nữa NG( )Qpi =Qpi . Thật vậy, giả sử NG( )Qpi ≠Qpi thì

i

p

Q G.Mà Pj G,∀ ≠j i nênPG, suy ra

1 2 ... m

G= × × × ×P P P P lũy linh: mâu thuẫn. Vậy NG( )Qpi =Qpi. Ta có System normalizer của G là ( ) ( )

1 i m G p G p i N N Q N Q = = 

1 1 i i m m p p i i N Q G Q P = = =  = = .

Theo [8,Satz 14.4], P là phần bù của G′trong G.Suy ra G G/ ′ ≅P. Vì G M/ ≅P abel nên theo Định lí 1.7.5.2 (2) ta cóG′ ≤ M .

P là phần bù của M trong G nênG M/ ≅P.

Suy ra G G/ ′≅G M/ ⇒ M = G′. VậyM =G′, (4) được chứng minh. Đặt p

V = x . Do V abel nên 1 ( )

G

x Vx− = ⇒ ∈V x N V .

Mà x V∉ nên NG( )V ≠V suy ra V G. Hơn nữaG′V =1.

Khi đóG′ <C VG( ). Thật vậy: lấyg∈G v′, ∈V . Do G′G nên v gv G−1 ∈ ′

1 1

g v gv G− − ′

⇒ ∈ . Tương tự V G nên g v g V−1 −1 ∈ ⇒g v gv V−1 −1 ∈

1 1

1

g v gv G− − ′ V gv vg

⇒ ∈  = ⇒ = . Vậy G′ ≤C VG( ).

Hơn nữa x C V∈ G( ) và x∉G′⇒G′≠C VG( )⇒G′<C VG( ).

Mặt khácdo P abel nên P C V≤ G( ).Giả sử P=C VG( )⇒G′<P: mâu thuẫn. Vậy

( )

G

P C V< .

Do đóV ≤ Z G( ). Thật vậy với v∈V g, ∈G g, =ab với a∈P b, ∈G′. Khi đó vg =vab=avb=abv =gv⇒ ∈v Z G( ), suy ra V ≤ Z G( ).

Vì G làA-nhóm nên theo [8, Satz 14.3] ta có G′Z G( )=1và vì thế Z G( )≤ P. Thật vậy, giả sử Z G( ) không là p-nhóm. Lấy a∈Z G( ) có cấp là q≠ p thì

a∈M =G′ , suy ra G′Z G( )≠1: mâu thuẫn. Vậy Z G( ) là p-nhóm, do đó

( )

Z G ≤P′ với P′ là p-nhóm con Sylow của G, suy ra P′ liên hợp với P trong G.

( ) ( ) ( ) 1 1 1 : y G P′ y Py− Z G y Py− yZ G y− P Z G P ⇒ ∃ ∈ = ⇒ ≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤ . Suy ra p ( ) V = x =Z G , (3) được chứng minh. Ta cóH = MZ G( ). Thật vậy:

Do H M/ và MZ( )G /M ≅Z G( )/(Z G( )M)=Z G( )=V đều là nhóm con cấp k1

p − của G M/ ≅P nhóm cyclic cấp k

p nên H M/ =MZ G( )/M ⇒ H = MZ G( ). Vậy Habel và chuẩn tắc trong G, nên mỗi nhóm con của nó chuẩn tắc trong G.

Do đó xbiến mỗi phần tửhcủa H thành lũy thừa của h.

Thật vậy, ∀ ∈h H, ta có h G nên xhx−1∈ h hay 1 nx

xhx− =h với nx∈. Vì H là nhóm abel hữu hạn nên 1

: n,

n N xhx− h h H

∃ ∈ = ∀ ∈ .

Theo [2, Định lí 3.4.1] vì H abel nên tồn tại một số nguyên cố địnhnthỏa wx =wn

với mọi w∈H, (5) được chứng minh.■

2.4.3. Định lí

Cho G là một nhóm hữu hạn. Khi đó G là một N SN -nhóm khi và chỉ khi hoặc G là nhóm Dedekind hoặc G thỏa mãn các điều kiện sau:

(1) G chứa một nhóm con abel chuẩn tắc H có chỉ số là số nguyên tố p; (2) một p-nhóm con Sylow P của G là cyclic và tự chuẩn hóa trong G; (3) nếu x là phần tử sinh của P thì x n

w =w với mọi w∈H và số nguyên cố định n.

Chứng minh

Nếu G là N SN -nhóm hữu hạn thì từ Mệnh đề 2.4.2 và lưu ý về N SN -nhóm, hoặc G là nhóm Dedekind hoặc G thỏa các điều kiện (1)-(3).

Do đó ta chỉ cần chứng minh nếu G là nhóm không lũy linh thỏa các điều kiện (1)-(3) thì G là N SN -nhóm.

Gọi Q là nhóm con của G; ta cần chỉ ra hoặc QG hoặc NG( )Q =Q.

Nếu Q ≤H thì QG. Thật vậy, do H abel nên QH. Lấy q∈Q, với h∈H

thì h qh Q−1 ∈ ; với l a= x ∈P thì 1 ( )l 1 l ( )l 1 1 x l 1 a qa− = x − qx = x− − q x− . Do q∈H nên theo (3) thì qx =qn. ( ) 1 ( ) ( )1 ( ) ( )1 1 l 1 n l 1 l 2 n x l 2 l 2 n n l 2 a qa− x− − q x− x− − q x− x− − q x− ⇒ = = = .

Làm tương tự như trên, sau lbước ta có 1 nl

Giả sử Q < H , từ (1) và (2) có g

P ≤Q với g∈G và ta có thể giả sử không mất tính tổng quát rằng P≤Q.

Từ (2) có NG( )P =P kéo theo NG( )Q =Q.

Thật vậy, lấyx∈NG( )Q . Ta có x Px−1 ⊂ ⇒Q x Px−1 liên hợp với P trong Q.

1 1 : y Q x Px− y Py− ⇒ ∃ ∈ = ( ) 1 1 1 G yx Pxy− − P xy− N P P Q x Q ⇒ = ⇒ ∈ = ≤ ⇒ ∈ . Vậy NG( )Q =Q. ■

KẾT LUẬN

Sau khi hoàn thành luận văn, người viết đưa ra một số kết luận như sau:

Phần chính của luận văn đã trình bày một số kết quả về T-nhóm giải được hữu hạn, T-nhóm siêu giải đượchữu hạn và các tính chất của chúng; các khái niệm về N- nhóm, *

H -nhóm, P-nhóm, nghiên cứu về các N-nhóm, *

H -nhóm, P-nhóm hữu hạn.Đặc biệt luận văn đã đi sâu và đưa ra mối liên hệ giữa các nhóm con chuẩn tắc, á chuẩn tắc, H-nhóm con và sử dụng chúng để mô tả cácT-nhóm giải được hữu hạn, T- nhóm siêu giải đượchữu hạn.

Ngoài ra phần cuối của chương 2 đã trình bày về các nhóm hữu hạn mà các nhóm con của nó hoặc chuẩn tắc hoặc tự chuẩn hóa, gọi là N SN -nhóm.

Để tiếp cận được các kết quả chính đã kể trên, người viết đã tham khảo và tự chứng minh nhiều các kết quả nhỏ dùng vào việc chứng minh nội dung chính.

Tuy nhiên còn rất nhiều tính chất và ứng dụng quan trọng khác của T-nhóm giải được hữu hạn mà vì giới hạn về thời gian và tầm hiểu biết nên người viết chưa trình bày được.

Người viết chân thành hi vọng nhận được sự góp ý của thầy cô và những ai quan tâm đến vấn đề này.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

1. Bùi Xuân Hải, Trịnh Thanh Đèo (2013),Đại số hiện đại,Nxb Đại học Quốc Gia TP. Hồ Chí Minh.

Tiếng Anh

2. Cooper C.D.H. (1968), Power automorphisms of a group,Math. Z.107, pp.335-356. 3. Peng T.A. (1969), Finite groups with pro-normal subgroups,Proc. Amer. Math.

Soc.20, pp.232-234.

4. Robinson D.J.S. (1964), Groups in which normality is a transitive relation,Proc.

Cambridge. Philos. Soc.60, pp.21-38.

5. Robinson D.J.S. (1968), A note on finite groupsin which normality is transitive,Proc. Amer. Math. Soc.19, pp.933-937.

6. Robinson D.J.S. (1982),A course in the theory of groups, Springer-Verlag.

Tiếng Đức

7. Gaschutz W. (1957), Gruppen, in denen das Normalteilersein transitiv ist,J. Reine Angew. Math. 198, pp.87-92.