C àu hỏi ôn tập chươiig I
3.1. Mô la hè thõìi”
Hệ (3.10) luôn luôn tương thích vì nó có im hiệm đ ư ơ n s nhiên là: X, = x, = ... = x „ = 0
Đ ịn h lý 3.2: Nếu r(A) = n thì he Ihịịii! Iiluií r:hi có n g h iệ m tầm thường, IICII r(A) <n ỉhì hệ thuần nhất có vô số ngliicnì. (io dií n s o à i ngh iệm tầm thường
òn Iiahiệm k h ô n " tầm thường.
3.5. Không gian Euclid
Đ ịn h ng h ĩa 3 .ỉ : Một vectơ n chicLi là mót lìc ớ ư o t sắp eồm n số thực. X = (X|, ... x„). - c;ic ihaiih phián của veclơ.
Xét y = {Yị >'2... 3',,). ơ. số ihực.
X = y <í:> X, = y, ( đ ị n h n g h ĩ a ) . Vi = 1. n X + y o (X| + V|. X, + y , ...X,, + y,,) p h é p c ộ n g . a x = ( a X | ... cx.x,,) n h à n s o ihụv vó'i ' . ' c c t ơ . Tính chủì: Ị 1) X + V = V + X e i a o h oá n 2) X + y + z = (x + V) + z, kC'i h()'p 3 ) X + 0 = X. X X = 0 X + ( - y ) = X - y IỊ l ) x = x 2) a ( P x ) = ( a P ) x IIỊ 1) a ( x + y) = a x + a y 2) ( a + P)x = a x + px
Đ ịn h n g h ĩa 3.2: Tập hợp lấl cá các veció n vii iồu tronsĩ đó xác định phép cộn g các vectơ, nhân một sô' thực với vcctó ilicia Iiìỹn các lính chất trên, gọi là khỏiiii gian tuyến lính n chiều, ký hiệu là R".
Các veclơ n chiều còn aọi là các đicni cua kíiỏntỉ siun.
X, y, z, e R" đ ư ợ c gọi là đ ộ c làp tiivèn !ínli nếu ;
a x + Py + yz + ... + 0\' = {) o u [5 = y = ... = 0 Nếu X = Ầx + Ị.IZ + ... + pv thì lừ dịnh Iighĩií suv ra X là tổ hợp tuyến tính của y, z ...V.
X, V, z ...V độc [ập tuyến tính thì không v ectơ nào là tổ hợp tuyến tính
của các vectơ còn lạị
Trong R" có n vectơ độc lập tuyến tính lập th ành cơ sở của nó.
Giả sử e e " là m ộ t cơ sở của R" thì bất kỳ mộ t vectơ X € R" đều là tổ hợp tuyến tính của các vectơ e ' , . . e".
Xét E e R'\
E được gọi là kh ô n g gian con c ủa e R" nếu: X, y e E , a e R = > x + y e E , a x e E
Số vectơ độ c lập tu yế n tính tối đa k của k h ô n g gian con E gọi là thứ nguyên của E (k < n).
k = n <tí> E = R"
Xét c e R". T ập hợp tất cả các vectơ là tổ hợp tu yến tính của những vectơ e c tạo thành m ộ t kh ông gian con của R" gọi là k h ô n g gian con sinh bởi c hay gọi là bao tuyến tính của c .
Xét các tập khác c , D e R", a e R. C + D = {x + y | x e C , y e D } tổng trực tiếp. a C = {a x I X e c } n h â n m ộ t số thực với một tập. Tính chất: Ị C + D = D + C c + (D + E) = (C + D) + E c + 10} = c c - c = ÍOỊ IỊ a ( C + D) = a C + a D ( a + P)C = a C + p c ăỊ3C) = ( a p ) C l . c = c
'ĩ ích vó hướng của hai vectơ X và y ký hiẹii bới <x ,y> là số thực <x,y> =
l ì 1 n
^ X y => đ ộ d ài v e c t ơ X là
1”! V 1'-I
K h ô n g gian tuyến tính có đưa vào lích vó hướriiỊ và do đó đưa vào độ dài của vectơ eọi là kh ô n g gian Euciid R".
Chương II
QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
Mỏ ĐẦU
Quv hoạch luyến tính là một Irona nhữnc lớp bài toán tối ưu được nchién cứu trọn vẹn cá \ ’ổ phtrơne diện lý thuyết lần thực hành.
Quy hoach tuyèn lính bál n e u ồ n từ nhữna n s h i ê n cứu của nhà toán học N e a nổi tiếng, viện sĩ Kantoro vich L . v được nêu tr o n s một loạt côno trình về bài loán k ế hoạch hoá sán xuất, công bố nãm 1938. N ă m 1947, nhà toán học Mỹ Dantzig đã níĩhiên cứu và đề xuất phươ n" ph áp đơn hình (Simplex mclhod) để eiái bài toán Q HT T. N ă m 1952, phương pháp đơn hình đã được chạy trcn máy tính điện lử ở Mỹ.
Quv hoạch tuyến tính có một vị trí quan Irọna Irons tối ưu hoá vì hai lẽ: thứ nhâì !à m ô hình tuyến lính đơn ẹiủn đc áp dụng, thứ hai là nhiều bài toán quy hoạch n s u y ê n và quy hoạch phi tuyến có ihổ xáp xí với dộ chính xác cao bởi một dãy các bài toán quy hoạch tuyến tính.
§1. BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 1.1. Bài toán tổng quát
Để nhất qu án lập luận ta xét bài toán tìm cực đại, sau đó ta xét cách chuyển bài toán tìm cực tiểu sang lìm cực đạị
Bài toán tổno quát c ủa Q H T T có dạim:
i ì
I - - I
I I
=. > ) b 1 1 1
D
X, > 0. j = 1. n
Nèu uập bài toán ( mi n) tức là:
(1.3)( 1. 2)( 1. 2)( 1. 2) ( 1. 2) 1^ l'íx) = £ c , x , miii ; . I X e D
thì giữ imuyên rùiiíi buọc la đua nó \é dang Ixií toán (max) f ( x) = ^ ỷ c v: X in ax
(1.4)
(1.5)
(1.6 )
X e D (1.7)
Nếu bài toán (m ax ) có phươiiii án tỏi ưu là x ’ thì bài toán (min) cũng có
p h u x m g á n l ố i ưu là X* v à i;„„ = - 1'
Thật vậy, vì X* là phương án tối ưu cua bài toaii (max)
i ! II
fm.x = V x e L)
1-1 ' .1-!
. i - l . 1 - 1
Ch ứn u tó là phưoìi<j án tối ưu cua bìu líKỉỉì ụ n in ) và:
I I
* n , ! T i ^ ( 1 . 8 )
Í--1
1.2. Dạng chuẩn và dạng chính tắc
Người ta Ihường xét Q H T T dưới 2 dang sau da\'
Dạiì;j, cIìiícÍiì:
n
i - ỉ
( 1. 9)
y a„x, < b .i = u I ' 1.1 l-l I I _ m (1.10) x > 0 , j = l . n (1. 11) Dạng chính tắc: ^ C ị X | ^ m a x (1.12) = L m (1.13) ti __ V a M .1 X - = b . i ' = Ị 1-1 X > 0 , J - K n ( 1 .1 4 )
1,3. Đưa Q H TT vế dạng chuẩn hoặc dạng chính tắc
Bất kỳ Q H 1 T nà o c ũ n s có thê đưa vé mội tr o n ” hai d'ảnz chuẩn hoặc chính tắc nhờ các phép biến đổi tuyến tính sau:
n II
”■ Mòt r à n p buổc V a X > b c ó t h ể đưa v ổ r à n a b u ô c ạ X < “ b
^ • / - J l Ị i I 1_ . / ^ 1,1 J 1
|-:-l . 1 - !
băng cách nhân 2 vế với ( ~ 1 ), và vict lại y á ^ * Ạ—V MI X < b'.^
J 1 M - M ỏ l r à n e b u ỏ c đ á n e t l ì ứ c c. 7 a , , x - b c ó i h é í h a y b a r m 2 ràn<i b ư ó c' b;ìỉM I i '■ ^ ^ • i ! đ ắ i m i l iứ c: "V a X . < b : a X < ” b l i ,i I 1] 1 I 1- 1 J i
■ Mòl biến X, khóim bi rànu huộc dấu c6 thc tlìav bới hiệu của 2 b i c ' ! i kh ô n g âm b ằ n s cách đật;
X = x ' — X v ứ i X ' > 0 \'à X > 0
- Một ràn g buộ c bất đ á n a thức A , ■; h, c ó (hế đưa về ràng buộc đẳng ihức b à n s cách đưa vào biến phụ V, > 0
V a + y = b
1 - ^ 1J ' I i
.1-1
Về ng uvên tắc. áp dụ n a nhiều lần c á c p ì i é p biên đối 1, 2 và 3 ta có thể đưa một Q H T T bất kỳ vể dạng chuẩn, sau dó a p dung nhiều lần phép biến đổi thứ tư ta sẽ đưa nó về dạng chính tắc.
1.4. Giải bài toán QHTT hai biến b ằ n g pihương pháp hình học
Xét bài loán Q H T Ĩ ’ dưới d ạ n ” chuaii \ óì 2 bié:!i số:
C,X| + CịX, m a x ' a , | X | + a,-,x, < b,. i = l . i n o D 'V Hmh 1.1
Từ V n s h ì a hìiih h ọ c la biêì rầiis mỏi biiỊ phuwie trình tuyên tính
a,|X, + a „ x , < b , xác định một nửa mạt pháng.
Như vậy tập D (miền r à n s buộc) được xác định nh ư là giao của m nứa mặt phẳne v à s ẽ l à một đa aiác l ồ i trên mặt phẳng. Đ ể ý đến điều kiện X| > 0 ,
X, > 0 la có D là 1 đa giác lồi ờ aóc vu ỗna 1. Phương trình C|X| + c,x, = a xác định một đ ư ờ n s mức. Khi a thay đổi irong lập R sẽ xác định trên mạt phảng vỏ số các đ ư ờ n s mức so na song với nhau vì cùng I h ẳ n s góc với một vectơ pháp tuyên n = (C| + c,). Mỗi điểm X = ( x, . x. ) e D sõ n ằ m trên một đường mức với
a = C|X, + c , x , .
Bài toán đặt ra có thế phát biểu theo nơôn riíỉữ hình học như sau: trong số các đ ườ ns mức cắt tập D, hãy tìm đười mức với aiá trị mức lớn nhất.
Nếu dịch c h u y ể n s o n e s o n s các đ ư ờ n s m ứ c th e o hướ n g v ectơ ph áp c ủa
c h ú n g n = (C|. Ct) t h ì g i á trị m ứ c s ẽ t à n g , n ế u d ị c h c h u y ể n t h e o h ư ớ n g n g ư ợ c
lại thì giá trị m ứ c sẽ ưiảm. Vì vậy, để iiiái bài toá n đặt ra ta có thể tiên hàn h như sau:
Bắt đầu từ một đường mức cắt D. ta dịch c h u y ể n song song các dường
m ứ c t h e o h ư ớ n g v e c l ơ p h á p n ( X | , c , ) c h o đ ế n k h i n à o v i ệ c d ị c h c h u y ể n l i ế p
iheo làm cho đường inức khôiiiỉ còn cắt D nũa thì dừng, đinh cúa D (có thể nhiều đỉnh) n ằm trên đường mức cuối cùno này sẽ là lời giải tối ưu cần tìm, còn giá trị của h àm m ục tiêu tại đó chính là giá Irị lối ưu của bài toán.
Ví dụ: ta xét tiếp ví dụ của chưcìne I -- bài toán lập k ế hoạch sản xuất lối uu: f(x) = 4x, + Sx. niax 2X| + Xn < 8 X| + 2 X . < 7 x , < 3 X, > 0 . X, > 0 Xốt đườ na mức; 4 X | + Sxt = 1 0 XI = 0 —^ x-> = 2 X, = 0 - > X, = 2 , 5 X’ = ( 3 . 2 ) = 2 2
Ta nhận Ihây x ’ = (3.2) là mốt đíiilì c ua [),
Qua phưoìm phá p hình hoc ta raiií’.:
Nếu Q i m ’ c ó p l i L r ư n c án tối ÚU Ilii có ÍI nliấi một đỉnh là lối UIỊ Sở dĩ
n ó i ít Iihàì \'ì c ó t r ư ờ n g hựị-) d ư ò ì i g nnrc ớ \'Ị In' giói han t r ù n g v ớ i m ộ t c ạ n h c ủ a
D ihì tất c á c á c đ i ể m Ircn c ạ n h n à y là p hư on n án lối ưu, ironsỊ đ ó c ó hai đinh.
' Nếu mién ràng buộc D aiới nội \';i kliac rỏĩi» thì chắc chắn có phương án tối ưụ
- Nếu mién ràng buộc k h ô n c giói nói nhưn,i: hàin mục tiêu bị chặn trên ỏ’ trên miền ràng buộc Ihì c ũ n e chác chăn có phương án tối ưụ
§2. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CHUNG
Đ ịn h lý 2.1: Tập hc^p tất cả các phươns án cùa một bài toán Q H T T là tập lồị
ClìứiìiỊ nĩiìilì'. Ta aiả sử rằng bài toán có ít nhất hai p h ư ơ n a án là x' và x \ do đ(S:
Ax' = b với x' > 0 (2.1)
A x ' = b với x ' > 0 (2.2)
Ta sẽ chứng minh bất cứ tổ họp lồi nào cúa x' và x ’ lức là các điểm có dạns:
X = a x ' + (1 - a ) x \ 0 < a < 1 ( 2 . 3 )
đều là phương án.
Nhân hai vế của (2.3) với ma trận A ta được:
Ax = A { a x' + (1 - a ) X"}= a A x ' + (1 - ơ.)Ax‘ = a b + (1 -- a ) b = b.
Ngoài ra từ (2.1). (2.2) và (2.3) dễ thấy X > 0. Định lý đã được chímg minh. Tập lồi D các p h ư ơ n a án c ủa bài toán Q H 'rr xác định bởi toàn bộ các ràng buộc (1.11) và (1.12) ở phần 1. Tập D có thể là rỗng, ho ặc là mộ t đa diện lồi hoặc là một tập lồi đ a diện k h ô n g siới nộị
Nếu D là mộl đa diệ n lồi thì bài toán có phương án, hơn nữa giá trị tối ưu của h àm mục liêu trên đa diện lồi đó là hũ’ii hạn và việc tìm phươriíỉ án tối ưu đưa đến việc chọn các đỉ n h của đa diện D có sò đinh (đ iểm cực biên hay phương án cực biên) hữu hạn.
Đ ịn h lý 2.2: H à m m ụ c t i è u c ủa bài Icián Q H Tr sẽ đạl niax lại niộl diếiii cực biên của tập D. Ncu h à m rnục tiêu k h ò n<4 chi nhận m a x tại một đ iếm cực biên của tập lồi D m à lại nhiều đ iểm thì nó sẽ đạt siá li ị cực đại tại n h ũ n g điếm
là t ổ h ợ p t u y ế n t í n h lồi c ủ a c á c đ i ể m đ ó .
Chứinị niiiìh: Ký hiệu các điểin cực biên của đa diện D là x'. x'’, còn phươtm án tối ưu là x". ta có;
f(x‘') > f(x) Vx € D (2.4)
N ếu x" đã là đ iế m cực biê n rổi thì ý ihứ nhài c ủ a đị n h lý đã được c h ứ n s minh.
Giá Ihiết x" k h ô n e phái là điéin cưc hicn, Ìlìco kêì qu á của giải tích lổi thì x" c:ó thể biểu diễn dúới d ạ n s lổ họp lõi ciKi cac (iicrn cực biên của D và tổ hợp dương của các hướ na các cạnh V'ỏ han.
I - ' 1 i
X, > 0 . ỷ ( x =1
(2.5)
Do f(x) là h àm luyến lính nôn la có:
í'(x") = ^ t t , f ( x ' ) + ^ p J ( Í ) (2.6)
l ’u lại dễ thấy răne r(r') < 0. Vị \'ì ncLi klii)ih_! theo h ư ớ n s r' vỏ hạn Ihì í(x")
+ x , m ã u t h u ầ n v ớ i íiia t h i ế t là p h i r o ì i y á n toi LIỤ
Gia sử đinh X*' có tính chất là:
f(x^) = m ax f(x') (2.7)
1 < i < p Khi đó từ (2.6) và (2.7) la có:
(2.8)
T ừ (2.4) và (2.8) ta phai có l'(x"ì = ỉ(xS- nghĩa là điổm cực biên x'' là ph ươ ns án lối ưụ
Bây iiiờ eia sứ t'(x) nhận giá IrỊ in;i\ i;ii \ \ ... ,x‘':
= f(x-) n.x'*) =: VỊ Nếu X là mộl l ổ h ự p lổi n à o c u a \ '. x .. . (/ : I Ihì x = ị ( x , r ( x ' ) . a , > A ) .Ỳ 1--0 I ; f ( X) = ^ a, f ( X') =: a ,.VI = M 1 - 1 !■ I 39
V ậ \ ' X c ũ n g là p h ư ơ n g á n lố i ưụ Đ ị n h lý đ ă d ư ơ c c h ứ n g m i n h .
Ký hiệu Aj (j = l . n ) là các vectơ cột của ma Irận A, khi ày hệ ràng buộc Ax = b có the viết:
X,A| + X.Ạ X„A„ = b (2.9)
Đ ịn h lý 2.3: Nếu biết rằng hệ Ihòna các \'eciư A|. A , ... Aị. là độc lập
luyến tính và sao clio:
X|A| + x,Aj = b
ir o n g đ ó X, > 0. Vj = l , k thì đ i ểm X = (X|. X,... \ , . 0 ...0) là đ i ể m cực biên cùa tập lồi đa diện D.
ClìứiìíỊ nìinlr. Bàng phán chứng, giá sứ X khỏii” |-)hai là ph ươ n s án cực
b i ê n . K h i đ ó n ó c ó t h ế b i ế u d i ẽ n d ư ớ i d ạ n g t ổ hóp lồi c u a hai đ i ể m x ' , X" n à o đ ó
cúa D:
X = a x' + (1 - a ) x \ 0 < a < 1 (2.10) Vì các thành phần cua x' và X" đcu khỏim âm và 0 < 0. <1 nên từ (2.10) ta phái có n - k thành phần cuối của x' \'à x" c ũ n2 bãim 0. Vì x' và X" cCina là phươrm án ncn ta có:
xỊA, + x|,A, +... + x[A,^ = b
X Ị" A I + X , A T + . . . + X ^ A , — b
N hưng các veció A|, là độ c lập tuyẽn tính nên vectơ b biểu diễn qu a c h ú n ỵ bằ na mộ t cách cluv nhấl.
Vì vậy xỊ = X -. Vj = 1. k nghĩa ià x' = x l
N h ư thê X khô n g thc biổu diễn dưổi d ạ n s tổ hưp lồi cua 2 điếm của D, clo
đ ó X là đ i ế m c ự c b i ê n .
Đ ịn h lý 2.4: Nêu X = (X|. X;... x„) là diểm cực biên cua lập lồi đa diện D
t h ì c á c v e c t ơ t r o n g b i ể u d i ễ n ( 2 . 9 ) ứ n g v ớ i I h à n h p h ầ n X| > 0 lập, t h à n h h ệ đ ộ c
lập tuyên tính. Vì m a trặii A có m d ò n s nên lừ đây suv ra rằníi điểm cực biên
k h ô n g c ó q u á m t h à n h [)hần d ư o ì m .
Ẻ x A , = b (2.11)
1 - - Ỉ
B.ãng phán chứng, gi;i sứ các vccio A,. Ị = ịk phụ thuộc tuyến tính. Khi
â v t ồ n t ại t ố h ợ p tu>' cn l í n h c ú a c á c v e c l i í n;ì\ \V.'C1Ơ k h ô n « :
d | A | + d i A i + . . . + d|_Aị -- 0 ( 2 . 1 2 )
t r o n g đ(;3 c ó ít n h â ì m ộ l h ệ s ò d | 0.
N hân hai \'ế cua (2.12) với mộl số L| > 0. Ui t'ó:
qdị Aị + qd,Ai + . . . + qci: A;. = 0 (2.13)
T à' (2.1 I ) và (2.! 3) suv ra; ỷ ; x A , + q ^ L Ụ \ ^ =: b ! 1 ì ! [ I !-! V a y hè p h ư o ì i e t r ì n h ( 2 . 1 1 ) c ó hai Ịìghiệin; x ' (X, + q d ị . X. + q c i , . . . ,, X, + q d, , 0...0 ) \ “ “ ( x, - q d , . X. q d ... ... qcl,- 0 ...0 )
Vỉ rằns X| > 0. Vị - 1.k . nêĩì có ílió chon 1| (ỉu de k Ihàiih phan đa u của x'
v à J Ũ n e là c á c p l ì u c i m á n nhuìi ia rỏ l à n g là:
V .
X - - - X -Ị-- - - X
2 2
i N e h ì a là X là í ổ h ợ p lổi c u a h ai d i c n i \ \ X' e D-
Đ i c u Iiày iníiu í h u ẫ n \ ớ \ đ i c u k i c n ,\ la ịìhươni* lín c ự c b i ê n . V ậ y d i é u
pháii chứng rằỉie các \'CCÍƠ Aj. j - l.k là (lỏc lap íiiven tính là saị Đ ịn h lý đã
đ ư ơ c 'Cliứní^í m i n h .•
Các định lý 2.3 và 2,4 có thế <zộp lại iliàiìh moi định lý cần và đủ như sau:
Đ ịn h lý 2.5: Đc ,x = ( \ | . X,... X 1 là pliưono án cực biên của Q H T T dưới d ạ n ẹ chính lác (11) thì cần \’à đu l;ì các \ ccló cui A, -Lia m a trận A ứng vói các
t h à n h p h ầ n X > 0 là đ ộ c l áp t u v ẽ n líniị
§3. PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH GIẢI QHTT
Cơ sớ của phưcTne pháp này dươc Dantzis c ò n u bỏ' năm 1947 có tên gọi là p h ư ơ n s pháp đơn hìnlị Sớ dì tên íiọi nh ư \'ậv \ ’ì nliũìig bài toán đầu tiên đưọ'c íiiái bằniỉ phươnsi pháp đó có các ràniỉ huộc dạns:
^ x . = l.x >( ) . j = l . n (3.1)
mà tập các điếir. X e R" thoa niãn các ràiiH buộc Irẽn là một đơn hình Irong k h ô n a gian n chicụ
3.1. Đường lối chung và cơ sở của thu ật toán
Đ ư ờ n g lôi c h u n g
Phưưna pháp đơn hình dựa trên hai nhận xét sau:
- Nêu bài tdán Q H I T có phú0'níi án l ố i ưu thì có Í1 nhất mộl đinh của D