1 Kiến thức chuẩn bị
2.2 Định lý chính
Sau đây chúng ta sẽ đi vào kết quả chính của luận văn. Trong trường hợp phương trình vi phân có thể xem trong [6, trang 240-241, Định lí 7.6.12].
Định lý 2.1. Giả sử Q là tập hợp khác rỗng và ánh xạ A(. , q) ∈ Crd(T,L(X)), q∈ Q, B ∈ CrdR(T,L(X)), số thực C1, C2, K1, K2 ≥1. Các hàm a, b, c1, c2, d2 ∈ CrdR+(T,L(X)), a / b, b bị chặn trên và c1, c2 rời rạc bị chặn trên thỏa mãn với mọi q∈ Q thì
(i) Hệ tuyến tính
x4 =A(t, q)x (2.24)
có c+1 - tăng bị chặn với C là hằng số.
(ii) Hệ tuyến tính (2.24) có nhị phân mũ với a, b, K1, K2 và phép chiếu bất biến
Pq :T→ L(X).
(iii) Hệ tuyến tính
x4 =B(t)x (2.25)
có (c2, d2) tăng bị chặn với C là hằng số.
Hơn nữa, cho các hàm cố định tùy ý c, d∈ CrdR+(T,L(X)) với
acdbvà sup s∈T ξµ(s)(c(s))<inf s∈Tξµ(s)(d(s)). (2.26) Chọn 0< h0≤h đủ lớn để (iv) K1K2 < Eb−a(h0, h), K1 < Ec−a(h0, h) và K2 < Eb−d(h0, h).
(v) (T,≤, µ) là một (h0, h) - thang thời gian.
Do vậy, tồn tại 0, 1 > 0 phụ thuộc vào h0, h, a, b, c1, c2, d, d2, C1, C2, K1, K2
sao cho tồn tại ánh xạ q∗: T→ Q với
kA(t, q∗(τ))−B(t)k60, t, τ ∈T, 0≤µ(t, τ) ≤h. (2.27) kPq∗(t)(t)−Pq∗(τ)(τ)k61, t, τ ∈T, h0 ≤µ(t, τ) ≤h. (2.28)
Khi đó, phương trình tuyến tính (2.25) có nhị phân mũ với ec, de:T→R và phép chiếu bất biến Q:T→ L(X) thỏa mãn
kQ(t)−Pq∗(t)(t)k61+kQ(t)−Pq∗(τ)(τ)k, t, τ ∈T, h0 ≤µ(t, τ) ≤h. (2.29)
Chú ý 2.1. (i) Nói chung ta có bất đẳng thứccc, d dvà do vậy tính nhị phân mũ với các hàm c, d trong định lí (2.1) là yếu hơn tính nhị phân mũ với các hàm
c, d. Tuy vậy với các thang thời gian đặc biệt như T=R, T=Z, T=hZ, h >0
thì ta có c=c, d=d và c, d là các hàm hằng.
Nói riêng khi đó bất đẳng thức (2.26) tự động được thỏa mãn. Ngoài ra khi
T =hZ, h > 0 ta có thể thay giả thiết (v) bởi bất đẳng thức h ≤ h0, khi T= R
thì giả thiết (v) có thể bỏ qua.
(ii) Ngay cả trong trường hợp các phương trình vi phân thường (T=R) thì định lí (2.1) suy rộng kết quả trong [16, định lí 1] cụ thể như sau: định lí (2.1) đúng trong không gian Banach vô hạn chiều, chúng ta chỉ cần phương trình (2.24) có bậc tăng bị chặn trên nửa trục dương; hơn nữa chúng ta không giả thiết các điều kiện hypecbolic về các hàm c, d.
(ii) Khi không gian tham số Q chỉ có một phần tử thì bất đẳng thức (2.28) là không cần thiết. Lúc này định lí (2.1) trở thành định lí về tính vững của hệ nhị phân mũ với bậc tăng bị chặn. Tuy nhiên trên thang thời gian rời rạc định lí (1.6) tổng quát hơn định lí (2.1).
(iv) Nếu thang thời gian đang xét là thuần nhất (tức là hàm hạt graininess là hằng số) ta có thể thu được công thức cụ thể cho giá trị cực đại của 0, 1 theo các bậc tăng trưởng của phương trình (2.24), hằng số nhị phân mũ của phương trình (2.25)các giá trị h0, hxem chi tiết trong [13,trang 125-126] hoặc xem trong [14].
Chứng minh. Giả sử phương trình (2.24) cóΦA(.; q), q∈ Qlà toán tử phụ thuộc tham số. Ta cần chứng minh bốn điều sau:
(I) Giả thiết cho d ∈ CrdR+(T,L(X)), b bị chặn trên nên a, d là rời rạc bị chặn trên và 0 / b a, 0 / c a, 0 / b d. Theo bổ đề (1.1) ta có thể chọn h0>0 đủ lớn thỏa mãn giả thiết (iv) trong định lí. Do vậy ta chọn0< θ1<1< θ2 sao cho
(θ2/θ1)K1K2< Eb−a(h0, h).
(II) Giả sử s∈T cố định tùy ý. Do giả thiết (ii) nên phương trình tuyến tính
x4 =A(t, q∗(s))x (2.30)
có nhị phân mũ với phép chiếu bất biến Pq∗(s) :T→ L(X) và
ΦA(t, s;q∗(s))|N(Pq∗(s)):N(Pq∗(t))→ N(Pq∗(s)), s≤t, là song ánh.
Với bất kì ξ ∈ N(Pq∗(s)), tồn tại ξ0∈ N(Pq∗(t)) sao cho
ξ = ΦA(t, s;q∗(s))ξ0. Do đó
N(Pq∗(s)(t))⊆ R(ΦA(t, s;q∗(s)) s ≤t. (2.31) (III) Theo giả thiết (v) thì (T,≤, µ) là một (h0, h)- thang thời gian , vì thế với t0 ∈T bất kì ta có thang thời gian rời rạc
e
T={tk}k∈Z ∈Shh
0(T). Xét dãy toán tử sau
b A: Z→ L(X), Ab(k) := ΦA(tk+1, tk;q∗(tk)). b B : Z→ L(X), Bb(k) := ΦA(tk+1, tk). b P1 : Z→ L(X), Pb1:=Pq∗(tk)(tk). b P2 : Z→ L(X), Pb2:=Pq∗(tk−1)(tk). thỏa mãn bổ đề (2.2). b
P1, Pb2 ∈ L(X) là phép chiếu với mọi k ∈Z ngoài ra
b
P2(k+ 1)Ab(k) = Pq∗(tk)(tk+1)ΦA(tk+1, tk, q∗(tk)) = ΦA(tk+1, tk, q∗(tk))Pq∗(tk)(tk+1) =Ab(k)Pb1(k), k∈Z.
Và do (2.28) nên N(P2(k+ 1)) =N(Pq∗(tk)(tk+1))⊆ R(ΦA(tk+1, tk, q∗(tk))) =R(Ab(k)), k∈Z. Giả sử các hàm ea,eb :Te →R, xác định bởi ea(tk) := K1ea(tk+1, tk)−θ1 θ1µ(tk+1, tk) , eb(tk) := eb(tk+1, tk)−θ2K2 θ2K2µ(tk+1, tk) với k∈Z, thỏa mãn a,e eb ∈ CrdR+(Te,R), ea / eb.
Vì b bị chặn trên nêneb bị chặn trên. Khi đó từ giả thiết (ii) thì kAb(k)ηk=kAb(k)Pb1(k)ηk=kΦA(tk+1, tk;q∗(tk))Pq∗(tk)(tk)ηk ≤ ≤K1ea(tk+1, tk)kηk với η∈ R(Pb1(k)). kξk=k[IX −P1(k)]ξk =kΦA(tk+1, tk;q∗(tk))ΦA(tk+1, tk;q∗(tk))[IX −Pq∗(tk)(tk)]ξk = ΦA(tk+1, tk;q∗(tk))[IX −Pq∗(tk)(tk)]ΦA(tk+1, tk;q∗(tk))ξk ≤K2eb(tk, tk+1kAb(k)ξk với η∈ N(Pb1(k)), trong đó kAb(k)ηk ≤θ1(1 +µ(tk+1, tk)ea(tk)kηk vớiη∈ R(Pb1(k)), kAb(k)ξk ≥θ2+ (1 +µ(tk+1, tk))ea(tk)kξk vớiη∈ N(Pb1(k)). Từ giả thiết (ii) ta có với mọi q ∈ Q thì
kPq(s)k ≤K1, kIX −Pq(s)k ≤K2, vớis∈T. Mặt khác ta có
kPb1(k)k ≤K1, kIX −Pb2(k)k ≤K2, kPb2(k)k ≤K1, vớik ∈Z Cuối cùng theo (i) và bổ đề (1.3) ta có
kAb(k)k=kΦA(tk+1, tk;q∗(tk))k ≤ ≤C1ec1(tk+1, tk)
Từ giả thiết (iv) và bổ đề (2.1) ta có kAb(k)−Bb(k)k=kΦA(tk+1, tk;q∗(tk))−ΦB(tk+1, tk)k ≤ C 2 10 Γ(c1+0C1)hEc1+0C1(h0, h) vớik ∈Z, (2.32) kPb1(k)−Pb2(k)k=kPq∗(tk)(tk)−Pq∗(tk−1)(tk)k ≤1với k∈Z. Các hàmec, de:Te →R ( ec,de∈ CrdR+(Te,R)) xác định bởi ec(tk) := ec(tk+1, tk)−1 µ(tk+1, tk) , de(tk) := ed(tk+1, tk)−1 µ(tk+1, tk) , k∈Z, thỏa mãn ea / ec / d /e eb.
Do đó với mọi số thực 0, 1 > 0 đủ nhỏ, áp dụng bổ đề (2.2) khi đó hệ tuyến tính
x4 =Be(t)x, Be(tk) := 1
e
µ(tk)(Bb(k)− IX), k∈Z,
trênTecó nhị phân mũ vớiec, d, Le 1, L2 ≥1và phép chiếu bất biếnQft0 :Te → L(X). Chứng minh được hoàn thành.
Hệ quả 2.1. Giả sử bất đẳng thức kA(t, q∗(τ))−B(t)k 6 0, t, τ ∈ T, 0 ≤ µ(t, τ)≤h, có thể viết lại như sau
kΦA(t, τ;q∗(s))−ΦB(t, τ)k ≤0 vớit, τ ∈T, 0≤µ(t, τ) ≤h, (2.33) trong trường hợp c1 =c2 thì Z t τ kA(s;q∗(s))−B(s) 1 +µ(s)c1(s) 4s≤0 vớit, τ ∈T, 0≤µ(t, τ)≤h, (2.34)
điều đó không làm thay đổi kết luận của định lí 2.1.
Chú ý 2.2. Định lí (2.1) khá trừu tượng có nhiều chi tiết kĩ thuật chúng ta sẽ dùng nó để chứng minh rằng khái niệm nhị phân mũ là vững cho các hệ số biến thiên chậm. Cụ thể kết quả chính phát biểu rằng nếu một hệ có nhị phân mũ liên tục Holder theo một tham số cố định thì tham số này có thể được thay thế bởi một hàm có hằng số Holder toàn cục đủ nhỏ mà không làm thay đổi tính nhị phân mũ của phương trình ban đầu.
Chứng minh. Ta có kAb(k)−Bb(k)k=kΦA(tk+1, tk;q∗(tk))−ΦB(tk+1, tk)k ≤C1C2ec1(tk+1, tk) tk+1 Z tk kA(s;q∗(s))−B(s) 1 +µ(s)c1(s) ∆s ≤0C1C2Ec+1(h0, h).
Do đó đây chỉ là điều kiện xác định độ lớn của 0 > 0 chứ ko phải khẳng định của định lý.
Trong các tài liệu sau đây [8, định lí 3.1], [11, định lí 2] và [18, hệ quả 2] đã chứng mính định lí vững của nhị phân mũ của phương trình vi phân hữu hạn chiều dưới giả sử tương tự như (2.33). Trong trường hợp này, định lí 2.1 là đủ cho [8, định lí 3.1] và như trong [15].
Hệ quả 2.2. Giả sử (Q, d) là không gian metric, ánh xạ A : T× Q → L(X)
rd - liên tục, các số thực K1, K2 ≥ 1, C1C2 ≥ 0, α, β ∈ (0,1] và các hàm
a, b, c1, c2∈ CrdR+(Te,R), a / b, b bị chặn trên sao cho với mọi q ∈ Q giả sử (i) Ta có bất đẳng thức Holder
kA(t, q)−B(t, q)k ≤L(q, q)α, t∈T, q∈ Q. (2.35)
(ii) Hệ tuyến tính (2.24) có c+- tăng bị chặn với hằng số C1.
(iii) Hệ tuyến tính (2.24)có nhị phân mũ với a, b, K1, K2 và phép chiếu bất biến
Pq :T→ L(X).
Ngoài ra, lấy bất kì và cố định các hàm c, d∈ CrdR+(Te,R) như trong (2.26) thì ta có thể chọn các số thực 0< h0 ≤h, dµe ≤h đủ lớn.
(iv) K1K2 < Eb−a(h0, h), K1< Ec−a(h0, h)và K2< Eb−d(h0, h).
(v) (Te, ≤, eµ) là (h0, h) - thang thời gian rời rạc.
Khi đó, tồn tại các số thực 0, 1>0 phụ thuộc vào h0, h, a, b, c, d, c1, c2, d2, C1, C2, K1, K2 sao cho ánh xạ q∗: T→ Q thỏa mãn
(vi) Điều kiện Holder
d(q∗(t), q∗(τ))≤θ|µ(t, τ)|β t, τ ∈T, (2.36)
trong đó θ ≥0 thỏa mãn Lθαhαβ ≤0, Lθαhαβmax{K1, K2}Ca,b(c, d) ≤1.
(vi) Hệ phương trình tuyến tính
có (c2, d2) - tăng bị chặn với C2. Hệ phương trình tuyến tính cũng có nhị phân mũ với c, d : T → R được xác định như trong (2.22), L1, L2 ≥ 1 và phép chiếu bất biến Q :T→ L(X).
Chú ý 2.3. (i) Tính chất q∗ :T→ Q biến đổi chậm theo thời gian được sử dụng trong điều kiện Holder (2.36). Trong không gian Banach Q và ánh xạ khả vi q∗, người ta có thể sử dụng định lí giá trị trung bình trên thang thời gian cụ thể trong [7,trang 16-17 hệ quả 3.3(i)] để thấy rằng (2.36) thỏa mãn với β = 1, nếu đạo hàm q∗∆ : T → Q có giá trị đủ nhỏ. Điều này thường được dùng trong ứng dụng lý thuyết nhiễu của phương trình động lực trên thang thời gian.
(ii) Ta có thể sử dụng hệ quả (2.2) như là một tiêu chuẩn cho nhị phân mũ của hệ tuyến tính (1.9). Trong thực tế ta giả sử rằng
• h≤µ(t)≤H với mọi t∈T và các số thực h, H >0.
• Tồn tại số thực α < β, α ∈Rh thỏa mãn phổ của A(t0) ∈ L(X), t0 ∈T có thể được phân tích thành những tập đóng rời nhau σ1(t0), σ2(t0) với
sup
λ∈σ1(t0
RHλ < α < β < inf
λ∈σ2(t0)
RHλ, t0 ∈T,
và từ đó hệ bất biến thời gian x∆ =A(t0)x, t0 ∈T cố định, có nhị phân mũ. Ở đây
RHλ:= lim
t&h
|1 +tz| −1
t , z∈C, với 1 +hz 6= 0,
gọi là phần thực Hilger. Bây giờ trong hệ quả (2.2) với Q=T, các metric
d(t, τ) :=|µ(t, τ)|, q∗(t) :=t,
có nghĩa là (1.9) có nhị phân mũ với giả thiết kA(t)−A(τ)k ≤ L|µ(t, τ)|α với
t, τ ∈T và L≥0 đủ nhỏ. Chứng minh. Xem [19].
Kết luận
Trong luận văn này, chúng tôi đã chứng minh tính nhị phân mũ của hệ tuyến tính x∆ = B(t)x, t ∈ T với giả thiết phương trình đó đủ gần hệ nhị phân mũ x∆=A(t, q)x, t ∈T với tham biến biến thiên chậm.
Phương pháp chứng minh này khá cổ điển, nó dựa theo khái niệm nhị phân mũ trên thang thời gian. Tuy nhiên, do sự có mặt của tham biến mà các tính toán trở nên phức tạp hơn nhiều so với trường hợp hệ tuyến tính không phụ thuộc tham số.
Tài liệu tham khảo
[1] B. Aulbach, S. Hilger, Linear dynamic processes with inhomogeneous time scale, in Nonlinear Dynamics and Quantum Dynamical Systems, G.A. Leonov, et al., eds., Akademie-Verlag, Berlin, 1990, 9-20.
[2] M. Bohner, A. Peterson, Dynamic Equations on Time Scales - An Intro- duction with Applications, Birkhauser, Boston, 2001.
[3] W.A. Coppel , Dichotomies in Stability Theory, Lecture Notes in Mathe- matics, 629, Springer-Verlag, Berlin, 1978.
[4] C.V. Coffman , J.J. Schaeffer, Dichotomies for linear difference equations, Mathematische Annalen 172 (1967), 139–166.
[5] J.L. Daleckii,M.G. Kreiin, Stability of Solutions of Differential Equations in Banach Space, Translations of Mathematical Monographs, Vol. 43, Ameri- can Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1974.
[6] D. Henry, Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations, Lecture Notes in Mathematics, 840, Springer-Verlag, Berlin, 1980.
[7] S. Hilger, Analysis on measure chains – a unified approach to continuous and discrete calculus, Results in Mathematics 18 (1990), 18–56.
[8] R.A. Johnson, Remarks on linear differential systems with measurable coef- ficients, Proc. Am. Math. Soc. 100(3) (1987), 491–504.
[9] J. Kalkbrenner,Exponential Dichotomy and Chaotic Dynamic of Noninvert- ible Difference Equations (in german), Ph.D. Thesis, University of Augs- burg, 1994 (available from Wißner Verlag, Augsburg, ISBN 3-928898-57-4). [10] J.S. Muldowney,Dichotomies and asymptotic behaviour for linear differen-
[11] K.J. Palmer, A perturbation theorem for exponential dichotomies, Proc. R. Soc.Edinb., Sect. A 106 (1987), 25–37.
[12] C. Poetzsche, Exponential dichotomies for linear dynamic equations, Non- linear Analysis (TMA) 47(2) (2001), 873–884.
[13] ——, Slow Fiber Bundles of Dynamic Equations on Measure Chains (in german), Ph.D. Thesis, University of Augsburg, 2002 (available from Logos Verlag, Berlin, ISBN 3-8325-0016-2).
[14] —–,Slow and fast variables in nonautonomous difference equations, Journal of Difference Equations and Applications 9(5) (2003), 473–487.
[15] K. Sakamoto, A remark on perturbation theorems for exponential di- chotomies, private correspondence, March 2000.
[16] —–, Estimates on the strength of exponential dichotomies and application to integral manifolds, Journal of Differential Equations 107 (1994), 259–279. [17] R.J. Sacker, G.R. Sell,A spectral theory for linear differential systems, Jour-
nal of Differential Equations 27 (1978), 320–358.
[18] N. Van Minh, Spectral theory for linear non-autonomous differential equa- tions, J. Math. Anal. Appl. 187 (1994), 339–351.
[19] Christian Poetzsche, Exponential Dichotomies of Linear Dynamic Equa- tions on Measure Chains under Slowly Varying Coefficients, J. Math. Anal. Appl., 289 (2004), 317–335.