/ e *(x y) f
2.3.1.Hệ phương trình elliptic tuyến tính
— Cho U T ( X ) là các hàm của X , T = 1 , 2 , . . . N và X = ( X I , , . . . X N ) . L Ị Ị là tập hợp các toán tử tuyến tính với I , T =
1, . . . N với các hệ số là hàm giải tích của X. Gọi R R I Ị là cấp cao nhất
của đạo hàm xuất hiện trong L Ị Ị [Uị\. Do đó một số toán tử Lịị có cấp là
M
t, một vài toán tử Lịị còn lại có hệ số của số hạng cấp cao nhất có thể triệt tiêu.
— Ta có L Ị Ị được xác định như sau
— 2L™1 ^ akii
— Li t{ x , D ) ut = J2J2 a i t h . . . ik{ x )d x d x •
(2-54)
— í= 1 fc = 0 i l"' i k
— = 1 ,...,71
— Dưới đây nếu trong biểu thức có chỉ số lặp thì ta quy định rằng sẽ lấy
tổng theo chỉ số lặp đó.
— Tương ứng với mỗiL I T này và với £ = (£1,^2, £
Mn ta đặt
— Qit{xi 0 = 'y V aitii...im t{x)£i1£i2--£'imt- ( 2.55)
— Ị-)*rat
— = 1. ,n
— Khi đó ta có
— Định nghĩa 2.3. Ta gọi Q Ị Ị (X , £) là các biểu trưng chính của toán tử
L Ị T , nó có bậc là Ĩ Ĩ I Ị theo ^ và một vài Q I T ( X , £ ) có thể triệt tiêu.
— Q ( X , 0 = det[(Qji (X , € )) N X N] là định thức của ma
— Đ ị n h n g h ĩ a 2 . 4 . Xét hệ phương trình có dạng — — Lit [ut\ = Bị (X ), ( i = 1 , i V ) . — Khi đó nếu — — Q (X , Ị ) 0 với V£ / 0
— và với mọi X thuộc miền được xét thì hệ phương
trình trong (2.56) được coi là hệ phương trình elliptic tuyến tính.
— N h ậ n x é t 2 . 9 . Với việc (2.56) là hệ phương trình elliptic tuyến tính thì ta có Ỵ 2 T M T là số chẵn
khi N > 1.
— N h ậ n x é t 2 . 1 0 . Để xây dựng ma trận nghiệm cơ bản của hệ phương trình elliptic tuyến tính (2.56) là ta đi xây dựng ma trận [ K R
T
(:r, Y )] sao cho các phương trình sau đây được thỏa mãn
— Li t [ Kr (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
t ( x , y ) ] = ỗrị ỗ ( X - y )
— ở đây Ỗ TỊ là các ký hiệu Kronecker, Ổ ( X — Y ) là hàm Dirac. 2.3.2. Ma trận nghiệm cơ bản 6 (2.5 (2.5 (2.5
— Việc xây dựng ma trận nghiệm cơ bản cũng được tiến hành như trong Mục 2.1.3 trong trường hợp một phương trình. Định lý sau đây chỉ ra rằng ma trận nghiệm cơ bản sẽ được mô tả qua nghiệm của bài toán Cauchy với dữ kiện trên các siêu phẳng X . £ = P . 6
— Đ ị n h l ý 2 . 6 . N ế u m ỗ i Uị (x) và t ấ t c ả
đ ạ o h a m cấ p < mt triệt tiêu trên một siêu phẳng x.£
= p, thì phần tử Kị (x, y) của ma trận nghiệm cơ bản của phương trình (2.56) có dạng
— K ) { x , y ) = ( Aí)<“+‘) / 2 w j {x , y )
— trong đó w j (x, y) lầ các hầm giải tích được xẫy dựng tương tự như trước đẫy trong (2.10), k = 1 nếu n lẻ vầ k = 2 nếu n chẵn.
— C h ứ n g m i n h . Vì mỗi UT (X) và tất cả đạo hàm cấp < M T triệt tiêu trên một siêu phẳng X . £ = P
, nên trên siêu phẳng X . £ = P phương trình (2.56) đưa được về dạng
— (2.60)
— Từ (2.57) và từ (2.60) ta xác định được các đại
lượng sau
— (2.61)
— ta có thể gọi chúng là đạo hàm theo hướng pháp
tuyến của Uj cấp rrij. Trong biểu thức trên chỉ số J
được gạch dưới có nghĩa rằng ta không lấy tổng theo J .
6
— Gọi Qu ( X , £ ) là các phần tử ma trận nghịch đảo của ma trận của Qit, thì với siêu phẳng X . £ = P
ta có
6
(2.6
U j (X ) = Qj i ( x , g ) Bị (X).
ở đây định lí Cauchy-Kowalewski được áp dụng khi B Ị (a;) là các hàm giải tích
trong lân cận của một điểm X của siêu phẳng x . £ = p . Khi đó ta có thể tìm
được một hệ nghiệm Uj (X ) của (2.56), với Uj cùng với các đạo hàm cấp <
— Trong trường hợp đặc biệt ta có thể xét hệ phương trình
— Li t v ị ( x , t, p ) = ỏJị
— với VJ và tất cả các đạo hàm của chúng theo X , cấp < rrij triệt tiêu trên siêu phẳng X . £ = P . Hàm
VJ (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
( X , £ , P ) là thuần nhất bậc 1 theo £ và P . Nếu các hệ số của LI K là giải tích trong lân cận của điểm gốc,
VJ
sẽ là giải tích theo J , X , £ , P trên tập hợp cho bởi (1.36) với một số dương £ nào đó. Hơn nữa, ta có thể viết
— v ị ( x , £, p ) = { x 4 - p )m ịw ị (z,£,p)
— ở đây W Ị là giải tích theo X , £ , P
trên tập hợp cho bởi (1.36). Khi đó từ phương trình (2.63) cho ta — m Ạ Q i t ( x, 0 v ị ( x, Ệ, X . Ệ ) = s ị — hay — w ị ( x , x . £ ) = ( x , 0 . — 777/ị. — (2.67)
— ở đây G (s) là hàm được xác định bởi (2.9). Khi
đó ta có 6 (2.6 (2.6 (2.6 (2.6
— L ị t vtj ( x , p ) = ỗ ịg (x.£ - p ) .
— Ta ký hiệu
— (2.69)
6
— Bây giờ ta xét ma trận
— Cũng như trước ta có
— wị (x, y) = rmi-+ k ( A ) (x, y , r , Ç ) + B [ { x , y , r , ( ) logr)
— với X — y — r(. ở đây Aị và Bj là hàm giải
tích đối với các biến của chúng, và B Ị = 0 với N
lẻ. Tương ứng Щ có dạng
— K ) ( x, y ) = rmĩ ~n (A'Í (X, y, r, C ) + B ị (X,
y, r, C ) logr) .
— Ta có щ (ж, y) là dạng nghiệm giải tích của
—
— với X Ỷ у và \x — y\ đủ nhỏ. Đặc biệt hơn
với hệ hàm số fj (у) thuộc lớp ƠI ta có —
—
— Từ đó suy ra K U X , Y ) = ( A Y Ý N+K ^ 2 W J ( X , Y ) là nghiệm cơ bản của
— (2.61). 6 (2.70 = 0 H K ị = f i (2.71 i Ị f j (у ) Kỉ (x, У ) d y L □
— KET LUẠN
— Luận văn đã trình bày các vấn đề sau
• Khái niệm hàm sóng phẳng và công thức biểu diễn hàm số bất kỳ qua các hàm sóng phẳng. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
• Bài toán Cauchy cho phương trình elliptic với các dữ kiện Cauchy được cho trên siêu phẳng.
• Cách xác định nghiệm cơ bản của phương trình elliptic tuyến tính thông qua việc giải bài toán Cauchy và đưa ra công thức nghiệm cơ bản của phương trình elliptic tuyến tính với hệ số là các hàm giải tích.
• Mô tả cấu trúc nghiệm cơ bản của phương trình elliptic tuyến tính với hệ số là các hàm giải tích.
• Ma trận nghiệm cơ bản của hệ phương trình elliptic tuyến tính với hệ số là các hàm giải tích.
— Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song do thời gian và năng lực có hạn,
nên chắc chắn luận văn không tránh khỏi được những hạn chế, thiếu sót. Vì vậy tác giả rất mong muốn được sự đóng góp ý kiến và nhận xét để luận văn được trình bày một cách đầy đủ và hoàn thiện hơn, đồng thời tác giả cũng có thêm kinh nghiệm để tiếp tục nghiên cứu sau này.