Bảng cần lập gồm 4 hàng và4 cột. Hàng đầu, từ cột thứ hai ghi lần lượt tên các bông hoa được làm viết tắt là các chữ cái đầu, còn trên cột tận cùng bên trái từ hàng hai ghi lần lượt tên các bạn tham gia làm hoa viết tắt là chữ cái đầu viết hoa.
2. Điền mã số quan hệ vào các vị trí của bảng
a) Căn cứ vào giả thiết: Mỗi bạn đều không làm hoa trùng với tên mình, mà điền mã "k" vào các ô nằm trên đường chéo chính.
Nguoi c d h hoa C D H k k k k Bảng 5.1
b) Căn cứ vào câu "Bạn làm hoa hồng nói với bạn Cúc" suy ra bạn Cúc không phải làm hoa hồng, mà ghi mã "k" vào ô nằm ở hàng Cúc, cột hồng.
3. Loại bỏ vị trí không thỏa mãn quan hệ để nhận được lời giải
Trong bảng trên cột cuối vị trí 1 và 3 bị gạch bỏ, nên vị trí duy nhất còn lại là vị trí thứ hai phải thỏa mãn quan hệ giữa người làm hoa và hoa được làm. Do đó bạn Đào làm hoa hồng.
Vì trên hàng 2 Đào đã có vị trí thỏa mãn quan hệ nên toàn bộ hàng này bị loại ra khỏi diện xét. Bởi vậy cột Cúc chỉ còn vị trí cuối cùng trong diện xét. Bởi vậy nó phải thỏa mãn quan hệ giữa người làm hoa và hoa được làm, nên bạn Hồng làm hoa cúc.
Từ đó suy ra người còn lại bạn Cúc phải làm hoa đào.
Vậy Bạn Cúc làm hoa đào, Bạn Đào làm hoa hồng, Bạn Hồng làm hoa cúc.
Ví dụ 5.2.2. Ba bạn Long, Hoan, Lan đều là học sinh giỏi toán. Cô giáo thưởng cho ba bạn thứ đồ chơi là: Búp bê, ô tô và con quay điện. Biết rằng bạn Long không thích chơi búp bê, bạn Hoan không nhận búp bê và cũng không thích ô tô.
Hỏi cô giáo đã thưởng cho ai đồ chơi gì?
Chương 5. Phương pháp bảng
• Nhóm thứ nhất gồm các bạn: Long, Hoan, Lan.
• Nhóm thứ hai là các đồ chơi mà cô giáo thưởng cho các bạn: Búp bê, ô tô, con quay.
Ta lập một bảng có hàng trên là tên các bạn, và cột bên trái là các đồ chơi.
Long Hoan Lan
Búp bê 0 0 ×
Ô tô × 0
Con quay ×
Bảng 5.2
Nhìn vào bảng, ta suy luận và có kết quả sau: Lan được thưởng con búp bê.
Long được thưởng ô tô. Hoan được thưởng con quay.
Ví dụ 5.2.3. Có sáu em học sinh: An, Bình, Nam, Long, Trang, Minh tham gia cuộc thi leo núi. Có hai em về được đích, đáp lại câu hỏi ai về tới đích, có năm câu trả lời:
1. An và Nam.
2. Long và Trang.
3. Minh và Long.
4. An và Minh.
5. An và Linh.
Thật ra trong năm câu trả lời trên có 4 câu mà mỗi câu chỉ đúng một nửa (đúng một tên), còn sai một nửa, còn một câu sai cả hai tên. Hỏi ai đã về tới đích của cuộc thi?
Chương 5. Phương pháp bảng (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
An Long Nam Linh Trang Minh
1 1 1 2 1 1 3 1 1 4 1 1 5 1 1 Bảng 5.3 Dựa vào Bảng 5.3 để suy luận ra đáp án:
Dùng số 1 để chỉ khẳng định: "Đối tượng về được đích". Bởi vậy trong Bảng 5.3tại vị trí giao của cột đối tượng về được đích và hàng tương ứng với câu trả lời có tên đối tượng này đều được ghi số 1.
Theo giả thiết, có 4 câu, mà mỗi câu có 1 ý đúng, nên bốn hàng tương ứng với 4câu này đều có đúng một số 1. Một câu trả lời sai cả hai ý, nên hàng tương ứng với câu này không có số 1.
Như vậy, đáp án là cặp đối tượng mà trên Bảng 5.3 sau ghi số1chỉ đối tượng về đích có bốn hàng ghi một số 1, một hàng không có số 1 nào.
Ta suy luận xuất phát từ các đối tượng theo thứ tự từ trái sang phải, đồng thời kết hợp thành cặp cũng lần lượt theo thứ tự từ trái sang phải.
1) Nếu An về được đích, thì tại cột 1 của các hàng 1,4,5được ghi số 1.
a) Nếu Long về tới đích cùng với An, thì thêm cột 2 của hàng 2 và hàng 3 được ghi số 1.
Như vậy, cả 5 hàng đều có số 1, nên Long không thể kết hợp với An để về tới đích, hay Long bị loại.
b) Nếu Nam về tới đích cùng với An, thì cột 3 của hàng 1 được ghi số 1. Như vậy hàng 1 có hai số 1, nên Nam bị loại.
c) Nếu Linh về tới đích cùng với An, thì tại cột 3 của hàng 5 được ghi số 1.
Như vậy, hàng 5 sẽ có hai số 1, nên Linh bị loại.
d) Nếu Trang về tới đích cùng với An, thi tại cột 5 hàng 2 được ghi số 1. Như vậy, bốn hàng 1,2,4,5 đều có một số1, còn hàng 3 không có số 1 nào, nên Trang được chấp nhận về tới đích cùng với An.
e) Nếu Minh về tới đích cùng với An, thì tại cột6của hàng 4, hàng5được ghi số 1.
Chương 5. Phương pháp bảng
Như vậy, hàng 4 có hai số 1, nên Minh bị loại.
2) Nếu Long về tới đích, thì tại cột 2 hàng 2 và hàng 3 được ghi số 1.
a) Nếu Nam về tới đích cùng với Long, thì thêm cột 3 hàng 1 được ghi số 1. Như vậy, tại hàng 1 có hai số 1, nên Nam bị loại.
b) Nếu Linh về tới đích cùng với Long, thì thêm cột 4 hàng 5 được ghi số 1. Như vậy, tại hàng 5 có hai số 1, nên Linh bị loại.
c) Nếu Trang về tới đích cùng với Long, thì thêm cột 6 hàng 2 được ghi số 1. Như vậy, tại hàng 2 có hai số 1, nên Trang bị loại.
d) Nếu Minh về tới đích cùng với Long, thì thêm cột 7 hàng 3 và hàng 4 được ghi số 1. Như vậy, hàng 1 và hàng 5 không có số 1, nên Minh bị loại.
Như vậy, nếu Long về tới đích, thì chỉ có một người về tới đích, nên Long bị loại.
3) Nếu Nam về tới đích, thì tại cột 3 hàng 1 ghi số 1.
a) Nếu Linh về tới đích cùng với Nam, thì thêm cột 4 hàng 5 được ghi số 1. Như vậy, ba hàng 2,3,4 không có số 1 nên Linh bị loại.
b) Nếu Trang về tới đích cùng với Nam, thì thêm cột 5 hàng 2 được ghi số 1. Như vậy, ba hàng 3,4,5 không có số 1, nên Trang bị loại.
c) Nếu Minh về tới đích cùng với Nam, thì thêm cột 6 hàng 3,4 được ghi số 1. Như vậy, hàng2,5 không có số 1, nên Minh bị loại.
Như vậy, nếu Nam về tới đích, thì chỉ về một mình, nên Nam bị loại.
4) Nếu Linh về tới đích, thì cột 4 hàng 5 được ghi số 1.
a) Nếu Trang về tới đích cùng với Linh, thì thêm cột5 hàng 2được ghi số 1. Như vậy, ba hàng 1,4,5 không có số 1, nên Trang bị loại.
b) Nếu Minh về tới đích cùn với Linh, thì thêm cột 6 hàng 3,4 được ghi số 1. Như vậy, hai hàng 1 và hàng 5 không có số 1, nên Minh bị loại. Nếu Linh về tới đích, thì chỉ về một mình, nên Linh bị loại. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
5) Nếu Trang về tới đích, thì tại cột 5 hàng 2 được ghi số 1.
Nếu Minh về tới đích cùng với Trang, thì thêm cột 6 hàng 3,4 được ghi số 1. Như vậy, hai hàng 1,5 không có số 1, nên Minh bị loại.
Chương 5. Phương pháp bảng
6) Nếu Minh về tới đích, thì chỉ về một mình, nên Minh bị loại.
Từ quá trình lý luận ở trên, suy ra cặp đối tượng duy nhất về tới đích. Đó là em An và em Trang.
Ví dụ 5.2.4. Bốn bạn Thu, Hoa, Hoan, Trang nhận được điểm của bài kiểm tra cuối học kỳ. Bạn Lan cùng lớp muốn biết điểm của từng người. Khi Lan hỏi thì được các bạn úp mở trả lời như sau:
Thu nói: "Bạn Trang được 7, Hoa được 8, Hoan được 9" Hoa nói: "Bạn Trang được 10, Hoan được 8, Thu được 9" Hoan nói: "Cả ba bạn đều được 7"
Trang nói: "Cả ba bạn đều được 8"
Biết rằng không có bạn nào được ba bạn nói cùng đúng với số điểm của mình và mỗi câu trả lời ở trên chỉ nói đúng số điểm của một người mà thôi. Hãy tìm điểm của mỗi người?
Lời giải: Ta ghi điểm của từng người trong các câu trả lời vào trong bảng sau. Mỗi hàng là câu trả lời của bạn. Mỗi cột là điểm của một bạn mà các bạn trả lời.
Thu Hoa Hoan Trang
Thu 8 9 7
Hoa 9 8 10
Hoan 7 7 7
Trang 8 8 8
Bảng 5.4
Dựa vào bảng 5.4 đồng thời căn cứ vào điều kiện: Không có bạn nào được hai bạn nói đúng điểm của mình ta suy ra:
Hoa không được điểm 8. Hoan không được điểm 8. Trang không được điểm 7
Căn cứ vào điều kiện: Mỗi câu trả lời chỉ đúng với số điểm của một người ta suy ra: Thu được 8, Hoa được 7, Hoan được 9 và Trang được 10.
Ví dụ 5.2.5. Lớp em có 35 học sinh, trong đó có 20 bạn trai. Chủ nhật vừa qua có 8 bạn gái đi xem phim và có 11 bạn trai không đi xem. Hỏi đã có bao nhiêu bạn không đi xem phim?
Chương 5. Phương pháp bảng
Lời giải:
Trong bài toán này ta xây dựng hai nhóm đối tượng là:
• Nhóm 1: Nam, Nữ, Tất cả.
• Nhóm 2: Có xem phim, Không xem phim, Tất cả.
Ta lập một bảng có hàng trên cùng là nhóm1 và cột bên trái là nhóm 2 như sau:
Nam Nữ Tất cả
Có xem phim 9 8 17
Không xem phim 11 7 18
Tất cả 20 15 35 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Bảng 5.5 Dựa vào bảng trên, ta có:
Số bạn nam có đi xem là:
20−11 = 9(bạn) Suy ra: Điền 9 vào ô (Có - Nam).
Số bạn đi xem phim là:
9 + 8 = 17(bạn) Suy ra: Điền 17 vào ô (Có - Tất cả)
Số bạn không đi xem là:
35−17 = 18(bạn) Suy ra: Điền 18 vào ô (Không - Tất cả) Vậy có 18 bạn không đi xem phim.
Ví dụ 5.2.6. Trong một buồng trên toa tàu có 6 hành khách A, B, V, G, D, E từ
6 thành phố M, L, K, T, X, O. Dọc đường họ phát hiện ra:
1) A và một người từ M là bác sĩ, D và một người từ L là giáo viên, V và một người từ T là kĩ sư.
2) B, E và một người từ K là cựu chiến binh, còn người từ T chưa nhập ngũ bao giờ.
Chương 5. Phương pháp bảng
3) Người từ X già hơn A, người từ O già hơn V, còn E là người trẻ nhất hội. 4) B và người từ M đi K, còn V và người từ X đi O.
Hãy xác định xem ai là người thành phố nào và nghề nghiệp của từng người?
Lời giải:
Trước tiên ta phải xác định xem ai là người thành phố nào bằng cách lập bảng hai chiều: chiều thẳng đứng ghi tên người, chiều ngang ghi tên thành phố. Bảng này chứa tất cả các khả năng có thể để kết hợp tên người với tên thành phố. Tức là một tích đế các của hai tập: H = {A, B, V, G, D, E}; P =
{M, L, K, T, X, O}.
Quy ước rằng ô bị gạch bỏ theo điều kiện i sẽ ghi số i trên đó (1≤i≤4). Trong đề bài có nói A và người từ M là bác sĩ ⇒A không là người từ M ⇒
ô (A, M) trong bảng phải bị gạch bỏ (ta sẽ ghi số 1 vào ô này.)
Tiếp tục điều kiện1 người từL là giáo viên, từ T là kĩ sư suy ra A không thể là người từ L, T (vì A: bác sĩ) ⇒ gạch nốt (A, L),(A, T).
Hoàn toàn tương tự với D ta thấy anh ta không phải từ L, từ M, từ
T và V không từ T, L, M nên trong bảng các ô (D, M),(D, L),(D, T) và (V, M),(V, L),(V, T) phải đánh số 1 (Bảng 5.6). M L K T X O A B V G D E 1 1 1 1 1 1 1 1 1 M L K T X O A B V G D E 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 Bảng 5.6 Bảng 5.7
Từ điều kiện số 2 suy ra B và E không phải từ T, nên các ô (B, T),(E, T) phải ghi số 2. Ngoài ra B vàE cũng không từ K nên(B, K)và(E, K) cũng phải ghi số 2 (Bảng 5.7).
Chương 5. Phương pháp bảng
Trên Bảng 5.7 ta nhận thấy cột T chỉ còn một ô trống (G, T) tức là G là người từ T. Bởi vậy tại ô (G, T) đặt dấu∗ và gạch bỏ những ô còn lại của hàng
G (Bảng 5.8). M L K T X O A B V G D E 1 1 1 1 1 1 1 1 1 M L K T X O A B V G D E 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 ∗ 2 2 2 2 ∗ 3 3 4 4 3 3 4 Bảng 5.8 Bảng 5.9
Từ điều kiện 3suy ra A và E không từ X, nên đánh số 3 vào các ô (E, X)và (A, X), tương tự các ô (V, O) và (E, O) cũng được ghi số 3 (Bảng 5.9).
Từ điều kiện 4 suy ra B không từ M và X, còn V cũng không từ X. Bởi vậy cần gạch bỏ (B, X),(B, M),(V, X) (ghi số 4 vào các ô này) (Bảng 5.9).
Trong hàng V cũng như trong các cột M, X đều còn duy nhất một ô, nên V
là người từ K, E là người từ M, D là người từ X. Bởi vậy ta đặt dấu ∗ vào các ô (V, K),(E, M) và (O, X) đồng thời gạch những ô còn lại, trên cột qua (V, K), trên các hàng qua (D, X) và(E, M) (Bảng 5.10). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Trong Bảng 5.10 hàng A chỉ còn duy nhất ô (A, O) là trống, nên A là người từ O. Bởi vậy tại ô (A, O) đặt ∗ và gạch ô trống còn lại trên cột O là (B, O). Khi đó trên hàng B còn duy nhất một ô trống là (B, L), nên B là người từ L và ô (B, L) được ghi ∗ (Bảng5.11).
Chương 5. Phương pháp bảng M L K T X O A B V G D E 1 1 1 1 1 1 1 1 1 M L K T X O A B V G D E 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 ∗ 2 2 2 2 ∗ 3 3 4 4 3 3 4 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 4 4 4 3 3 3 3 Bảng 5.10 Bảng 5.11
Căn cứ vào điều kiện đã cho từ Bảng 5.11 suy ra nghề nghiệp của từng người như sau: A và E là bác sĩ, D và B là giáo viên, V và G là kĩ sư. Và kết luận được: Bác sĩ A người ở O, giáo viên B người ở L, giáo viên D người ở X, bác sĩ
E người ở M, kĩ sư G người ở T và kĩ sư V người ở K.
Ví dụ 5.2.7. Có ba em bé từ Quy Nhơn, Ninh Bình và Huế tới dự trại hè. Chúng khác tuổi nhau và cùng thích thể thao. Chỉ có Long và em bé từ Quy Nhơn chơi tennis, Loan và em bé từ Ninh Bình chơi bóng, Dung chơi cờ tướng và lớn hơn em bé từ Ninh Bình. Các em bé chơi tennis không chơi cờ. Em bé chơi cờ lớn nhất.
Hỏi em bé nào đến từ thành phố nào và thích môn thể thao nào? Ai lớn hơn ai?
Lời giải: Trước tiên ta xác định xem ai là người thành phố nào? Thích môn thể thao nào?
Ta lập bảng hai chiều: Chiều thẳng đứng ghi tên môn thể thao và thành phố, chiều ngang ghi tên các em bé và thành phố. Bảng này chứa tất cả các khả năng có thể để kết hợp tên người và tên môn thể thao ưa thích, tên người với tên thành phố, tức là những tích đề các của hai tập hợp: A×X vàA×Y với
A={Long,Loan,Dung}
X ={T, B, C}
Y ={Q, N, H}
Chương 5. Phương pháp bảng
Do Long và em đến từ Q chơi tennis, suy ra Long không ở Q, vì vậy ô (Q, Long) ghi 0.
Do Loan và em đến từ N chơi bóng đá, suy ra Loan không ở N, vì vậy ô (N, Loan) ghi 0
Suy ra Dung không ở Q vì em bé từ Q chơi Tennis (mà chơi tennis thì không chơi cờ), do đó Dung ở H, vì vậy ô (H, Dung) đánh dấu ×.
Suy ra các ô còn lại ở dòng H gạch bỏ và các ô (Q, Dung),(N, Dung) cũng gạch bỏ.
Dòng Q còn lại duy nhất ô (Q, Loan) trống, nên ô này đánh dấu ×. Dòng N còn lại duy nhất ô (N, Long) trống, nên ô này ghi dấu ×.