Vành tựa Frobenius giao hoán

Bây giờ ta xét trường hợp giao hoán. Vành QF giao hoán không biểu lộ sự tinh tế của vành QF thông thường, vành QF giao hoán có thuận lợi và dễ dàng nghiên cứu hơn. Chúng ta có định lý đặc trưng cho các vành này.

Định lý:

Với bất kì vành giao hoán R, các mệnh đề sau tương đương: (1) R là QF.

(2) R là vành artinian và soc R bao gồm không hơn một bản sao của mỗi R- 

module đơn).

(3) RR1x...xRs với Ri là vành artinian địa phương với một nền đơn.

Chứng minh:

 1  2 .

Giả sử soc R  chứa AB với A, B là các R-module đơn đẳng cấu. Đặt :AB

là R-đẳng cấu. Vì RR nội xạ nên  là phép nhân bởi một phần tử rR. Nhưng khi đó BrA A (mâu thuẫn).

 2  3 .

Giả sử 1e1...es là một hợp thành của 1 trong tổng các lũy đẳng nguyên thủy trực giao. Đặt Ri e Ri . Theo định lý 1.2.4.5, mỗi Ri là một vành artinian địa phương và R đẳng cấu với tích trực tiếp của các vành R1x...x .Rs Vì Ri chỉ có một module đơn nên (2) kéo theo Ri có một nền đơn.

 3  1 . Cho 1 n i i R R 

 với Ri là vành. Ta có: R là QF nếu và chỉ nếu Ri là QF với mọi i. Từ đó ta cần chứng minh mỗi Ri là QF.

Ta có thể giả sử R địa phương với V soc R  đơn. Vì R là artinian nên mỗi ideal khác không chứa một ideal tối tiểu, đó phải là V. Do đó R là mở rộng cốt yếu của V và R được chứa trong bao nội xạ E ER V .

Bây giờ V là R-module đơn duy nhất, vì thế lengthR E lengthR R . Vậy phải có .

RE Điều này chỉ ra rằng R tự nội xạ nên là QF.

2.1.5. Ví dụ (1) Gọi R là vành các ma trận có dạng