Trong mục này ta sẽ nghiên cứu những toán tử tuyến tính của một không gian Euclid bảo toàn chuẩn của các véc tơ, nghĩa là nghiên cứu những toán tử f thỏa mãn tính chất||f(x)||=||x||.
Định nghĩa 7.7.1. ChoV là một không gian Euclid vàf ∈EndR(V). Ta nói f là mộttoán tử trực giao nếu
hf(x), f(y)i=hx, yi,∀x, y∈V.
Mệnh đề 7.7.2. Đối với toán tử tuyến tính f ∈ EndR(V) những điều kiện dưới đây tương đương:
(i) hf(x), f(y)i=hx, yi,∀x, y∈V. (ii) ||f(x)||=||x||,∀x∈V.
(iii) Nếu B = (e1, . . . , en) là một cơ sở trực chuẩn và A = [f]B
thì A>A = In = AA>. Nói riêng, A là ma trận khả nghịch và detA=±1.
Chứng minh. (i) =⇒ (ii). Chỉ việc cho x=y. (ii) =⇒ (i). Ta có hf(x), f(y)i= 1 2(||f(x) +f(y)|| 2− ||f(x)||2− ||f(y)||2) = 1 2(||f(x+y)|| 2 − ||f(x)||2− ||f(y)||2) = 1 2(||x+y|| 2 − ||x||2− ||y||2) =hx, yi.
(i) ⇐⇒(iii). Trong cơ sở trực chuẩn Bta có
hf(x), f(y)i=hx, yi,∀x, y∈V
⇐⇒(AX)>(AY) =X>Y,∀X, Y ∈Mn×1(R)
⇐⇒X>(A>A)Y =X>Y,∀X, Y ∈Mn×1(R)
⇐⇒A>A=In.
Phần khẳng định còn lại của (iii) là hiển nhiên.
Hệ quả 7.7.3. Nếu f là một toán tử trực giao thì detf = ±1. Nói riêng, f là một tự đẳng cấu.
Mệnh đề 7.7.4. f ∈ EndR(V) là một toán tử trực giao khi và chỉ khi nó biến một cơ sở trực chuẩn thành một cơ sở trực chuẩn. Để f thỏa tính chất nói trên thì điều kiện đủ là tồn tại một cơ sở trực
chuẩn sao cho f biến nó thành một cơ sở trực chuẩn.
Chứng minh. Giả sử f là một toán tử trực giao. Theo Hệ quả 7.7.3, f là một tự đẳng cấu, do đó f biến cơ sở thành cơ sở. Nếu
B= (e1, . . . , en) là cơ sở trực chuẩn thì
Vậy(f(e1), . . . , f(en)) cũng là cơ sở trực chuẩn.
Ngược lại, giả sử tồn tại cơ sở trực chuẩnB= (e1, . . . , en)sao cho (f(e1), . . . , f(en))cũng là cơ sở trực chuẩn. Xét các véc tơx, y∈V:
x= n X i=1 xiei và y= n X j=1 yjej.
Do(e1, . . . , en)và(f(e1), . . . , f(en))là các cơ sở trực chuẩn nên ta có hf(x), f(y)i=h n X i=1 xiei, n X j=1 yjeji = n X i,j=1 xiyjhf(ei), f(ej)i = n X i,j=1 xiyjδij = n X i=1 xiyi =hx, yi.
Vậyf là phép biến đổi trực giao.
Định nghĩa 7.7.5. (a) Tập hợp
O(n,R) :={A∈Mn(R)|A>A=In}
là một nhóm đối với phép nhân và được gọi là nhóm trực giao. (b) Tập hợp
là nhóm con của O(n,R)và được gọi là nhóm trực giao đặc biệthay
nhóm các phép quay.
Mỗi ma trậnA∈O(n,R)được gọi là mộtma trận trực giao. Mỗi ma trận trực giao đều biểu diễn một toán tử trực giao trong một cơ sở trực chuẩn của một không gian Euclid.
Ví dụ 7.7.6 Ma trận A= 1 3 2 −1 2 2 2 −1 −1 2 2
là ma trận trực giao. Ta có thể kiểm tra điều này bằng cách thực hiện phép nhân ma trận
A>A=I3.
Nhưng ta cũng có thể kiểm tra bằng cách khác như sau:
Xét không gian Euclid R3 với tích vô hướng chính tắc. Đặt u1= 1 3(2,2,−1), u2= 1 3(−1,2,2), u3= 1 3(2,−1,2). Toán tử f :R3 −→R3
thỏa f(ei) =ui, i∈ {1,2,3}biến cơ sở trực chuẩn thành cơ sở trực chuẩn nên theo Mệnh đề 7.7.4, f là toán tử trực giao. Mà A là ma trận biểu diễn f trong cơ sở trực chuẩn nênA là ma trận trực giao.
Mệnh đề 7.7.7. Ma trận chuyển cơ sở từ một cơ sở trực chuẩn sang một cơ sở trực chuẩn là một ma trận trực giao.
Chứng minh. Giả sửB= (e1, . . . , en) vàB0= (e01, . . . , e0n) là hai cơ sở trực chuẩn. Toán tử f :Rn −→ Rn thỏa f(ei) = e0i,∀i∈ 1, n là toán tử trực giao (theo Mệnh đề 7.7.4) có ma trận biểu diễn trong cơ sở B là ma trận chuyển cơ sở từ BsangB0.
Bài tập
Bài 1. Với giá trị nào của λ∈R các ánh xạ dưới đây xác định tích vô hướng trong không gian R3:
(a) hx, yi=x1y1+ 10x2y2+ 6x1y2+λx3y3−x2y3−x3y2.
(b)hx, yi= 2x1y1 + 7x1y2+ 7x2y1+ 8x2y2−3x3y3+λx2y3+
λx3y2.
Bài 2. Xét không gian EuclidRn với tích vô hướng chính tắc. Chứng minh rằng với mọi x= (x1, . . . , xn)∈Rn, ta có
Xn i=1 xi2 ≤nXn i=1 x2i .
Bài 3. Cho không gian vectơ Mn(R) gồm các ma trận vuông cấpn
trên trường số thực R.
(a) VớiA= (aij)∈Mn(R), hãy tính vếtT r(AA>)theoaij. Qua đó hãy chứng minh rằng |T r(A)| ≤p
nT r(AA>) .
(b) Chứng minh rằng ánh xạ (A, B) 7→T r(AB>) xác định một tích vô hướng trong không gian Mn(R).
Bài 4. Xét không gian Euclid R3 với tích vô hướng chính tắc. (a) ChoP là mặt phẳng trong R3được xác định bởi phương trình
x1−2x2+x3= 0vàπ là phép chiếu trực giao từR3 xuống P. Hãy viết ma trận biểu diễn π trong cơ sở chính tắc.
(b) Cho các vectơ u1 = (1,0,1), u2 = (2,1,0)và u3 = (1,1,1). Chứng minh rằng B= (u1, u2, u3) là một cơ sở của R3. Xét xem B
có phải là cơ sở trực chuẩn không. Nếu B không phải là cơ sở trực chuẩn thì hãy sử dụng quá trình trực chuẩn hóa Gram-Schmidt để xây dựng từB một cơ sở trực chuẩn B0= (e1, e2, e3).
(c) Cho các vectơ v1 = (1,0,1), v2 = (2,1,2)và v3 = (1,1,1). Hãy tìm số chiều và một cơ sở trực chuẩn cho không gian con sinh bởi các vectơ v1, v2, v3.
Bài 5. Với n≥0, xét tích phân suy rộng
In= √1 2π Z ∞ −∞ xne− x2 2 dx.
(a) Chứng minh rằng tích phân này luôn hội tụ vàI2k+1= 0,∀k≥
0.
(b) Chứng minh công thức truy hồi
In= (n−1)In−2,∀n≥2. Áp dụng để tínhI2k. (c) Định nghĩa ánh xạ h,i:R[x]×R[x]−→R như sau: ∀P, Q∈R[x],hP, Qi= √1 2π Z ∞ −∞ e− x2 2 P(x)Q(x)dx.
Chứng minh rằng ánh xạ nói trên là một tích vô hướng.
(d) Xét không gian con R2[x]củaR[x]. Hãy tính khoảng cách từ
x3 đến R2[x].
hx, yi=x1y1+ 2x2y2+ 4x3y3+ 18x4y4+x1y3+x3y1+ 2x2y4
+2x4y2+ 6x3y4+ 6x4y3.
(a) Chứng minh rằng ánh xạ này là một tích vô hướng trong R4. (b) Viết ma trận biểu diễn tích vô hướng này trong cơ sở chính tắc.
(c) Cho W là không gian con của R4 xác định bởi hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
x1−x2+x3−x4 = 0;
x2−2x4 = 0.
Hãy tìm một cơ sở của W⊥.
Bài 4. Trong không gian Euclide với tích vô hướng chính tắc cho các vectơ u1 = (2,1,−2,4), u2= (−2,1,−1,−6), u3= (−2,3,−4,−8). Gọi W =hu1, u2, u3i là không gian con củaR4 sinh ra bởi các vectơ
u1, u2, u3 vàW⊥ là không gian con củaR4 trực giao vớiW. (a) Tìm một cơ sở cho mỗi không gian con W vàW⊥.
(b) Chou= (5,5,−3,1)∈R4. Tìm hình chiếu trực giaoprW(u) của u xuống W và khoảng cách d(u, W)từu đếnW.
Bài 6. ChoA∈O(n,R). Chứng minh rằng, nếu detA = 1thì mỗi phần tử aij củaA đều bằng phần bù đại số của nó.
Bài 7. Chof là một phép biến đổi trực giao trong không gian Euclid
V.
(a) Chứng minh rằng Ker(f−I dV) =I m(f−I dV)⊥.
(b) Chứng minh rằng, nếu(f−I dV)2 = 0thìf =I dV.
toán tử f :R3 −→R3 có ma trận biểu diễn trong cơ sở chính tắc là A= 5 −1 2 −1 5 2 2 2 2 .
Bài 9. Toán tửf :R3−→R3 có ma trận trong cơ sở chính tắc là
A= 1 3 1 −2 −2 −2 1 −2 −2 −2 1 .
Hãy chứng minh rằng f là toán tử trực giao trong không gian Euclid R3 với tích vô hướng chính tắc.