Cấu trúc định tính của một hệđộng lực cĩ thể thay đổi khi thơng số của nĩ thay đổi. Với những giá trị đặc biệt của các thơng số - mà ta gọi là những
giá trị phân nhánh (hoặc cĩ thể gọi giá trịđặc biệt này là điểm phân nhánh) – các điểm cố định (kỳ dị) sẽ xuất hiện hoặc biến mất, hoặc tính ổn định của chúng thay đổi khi tăng các thơng số lên qua các giá trị rẽ nhánh này. Những thay đổi định tính đột ngột như vậy của hệđộng lực được gọi là sự rẽ nhánh. Chẳng hạn, hãy quan sát sự uốn cong của một thanh đàn hồi thẳng đứng chịu tải trọng đặt tại một đầu, cịn đầu kia găm chặt xuống nền. Với tải trọng nhỏ, thanh vẫn cân bằng ở vị trí thẳng đứng. Tăng dần tải trọng cho tới giá trị tới hạn (giá trị phân nhánh) thanh sẽ bị uốn cong và hiện tượng rẽ nhánh xảy ra.
(a) Chuyển động tuần hồn
Khi thay đổi một tham số cụ thể nào đĩ, trạng thái của một hệđộng lực cĩ thể dần chuyển sang hỗn độn. Ứng với sự thay đổi liên tục của tham số như vậy, người ta quan sát thấy các ứng xử tuần hồn khác nhau, chẳng hạn sự xuất hiện của các chuyển động á tuần hồn 2 chu kỳ, hiện tượng nhân đơi chu kỳ, ... , nếu ta biểu diễn tọa độ vị trí của các điểm của mặt cắt Poincaré ứng với giá trị tham số tương ứng. Với hiện tượng phân nhánh, thường cĩ ba dạng cổ điển để nhận biết một hệ trải qua quá trình chuyển tiếp đến hỗn độn : (a) Từ phân nhánh hình chĩa dẫn đến hỗn độn, (b) Từphân nhánh tiếp tuyến đảo dẫn đến hỗn độn, (c) Từ phân nhánh Hopf dẫn đến hỗn độn. Lý thuyết phân nhánh là một lý thuyết rất rộng và phức tạp, là một cơng cụ quan trọng để nghiên cứu các hệ động lực phi tuyến cũng như trạng thái kỳ dị của chúng (xem [1], [3], [11], [12], [13], [14]).
Đặc biệt, trong hiện tượng nhân đơi chu kỳ, một hệ cĩ thể bắt đầu với một chuyển động tuần hồn. Khi tham số λ thay đổi, chuyển động xuất hiện một sự phân nhánh : thay đổi chuyển động tuần hồn 1 chu kỳ sang chuyển động á tuần hồn 2 chu kỳ. Khi λ tiếp tục thay đổi hệ phân nhánh theo tính cách : chuyển động á tuần hồn cĩ số chu kỳ gấp đơi số chu kỳ của chuyển động ứng với tham số trước đĩ. Một tính chất quan trọng của hiện tượng nhân đơi chu kỳ trên là : các giá trị của λ mà tại đĩ xảy ra hiện tượng nhân đơi số chu kỳ tuân theo quy luật :
6692016 . 4 lim 1 1 = = − − + − ∞ → δ λ λ λ λ n n n n n
δ được gọi là số Feigenbaum, theo tên nhà vật lý phát hiện ra quy luật này. Quá trình nhân đơi số chu kỳ này sẽ tiếp diễn đến một giá trị tới hạn của tham số λ mà sau đĩ chuyển động trở thành hỗn độn.
CHƯƠNG II
DAO ĐỘNG HỖN ĐỘN
TRONG MỘT SỐ HỆ CƠ HỌC CĨ THAM SỐ THAY ĐỔI
Chương này trình bày dao động hỗn độn của một số hệ cơ học cĩ tham số thay đổi. Đây là các hệ quan trọng thường gặp trong thực tế kỹ thuật (cơng trình, dao động điện, dao động máy,…).
Cĩ một số phương pháp cĩ thể được dùng để nghiên cứu ứng xử của các hệ cơ học, đặc biệt với những chuyển động hỗn độn như: phương pháp phân tích phổ (phân tích Fourier), khảo sát khơng gian pha, lát cắt Poincaré, số mũ Lyapunov, thứ nguyên phân hình và biểu đồ phân nhánh hay lý thuyết Melnikov như một phương pháp phân tích lý thuyết. Trong đĩ, các biểu đồ
phân nhánh cho ta một sự tĩm tắt về bản chất động học, những thay đổi trước và sau hỗn độn trong hệ động lực ứng với sự biến thiên của các tham số và các mối liên hệ quan trọng trong việc phát hiện chếđộ hỗn độn của hệ. Trong chương này, bản đồ Poincaré được sử dụng để xây dựng các biểu đồ phân nhánh đối với các hệ cơ học liên tục mơ tả bởi các phương trình vi phân : phương trình phi tuyến Mathieu x hx+ +µx+βx3 =γxcos( )νt , phương trình phi tuyến Duffing x+2ξx+αx+βx3 =f t( ) và phương trình phi tuyến Duffing - Van Der Pol x+ω2x k= (1−γx x2)+βx3+esin( )νt , với sự biến thiên của các biên độ và tần số lực ngồi. Các biểu đồ phân nhánh, số mũ Lyapunov và độ đo bất biến đã được sử dụng để nghiên cứu và phát hiện các chuyển động hỗn
2.1. MỞĐẦU
Nhiều hệ cơ học và vật lý trong thực tế cĩ chứa các tham số trong các hệ phương trình xác định của chúng. Khi các tham số này biến đổi, nhiều sự
thay đổi quan trọng cĩ thể xảy ra trong cấu trúc định tính của nghiệm hay cấu trúc quỹđạo, ứng với các giá trị tham số nhất định. (cấu trúc quỹ đạo, tức là những sự khác nhau về tính tiệm cận của quỹđạo của hệđược xem xét, về các giá trị số và độ ổn định của hệ ứng với một tập các giá trị tham số cho trước. Các thành phần quỹ đạo gồm các điểm cố định, các quỹ đạo tuần hồn, các quỹđạo á tuần hồn, và các quỹđạo homoclinic và hetoroclinic) Những thay
đổi này được gọi là sự phân nhánh và các giá trị của tham số được gọi là các giá trị phân nhánh.
Sự phân nhánh được sử dụng để chỉ ra sự thay đổi định tính trong những nét đặc trưng của hệ động học, ví dụ như số nghiệm và loại nghiệm
ứng với sự biến thiên của một hay nhiều tham số phụ thuộc vào hệ xem xét. Các tham số này được gọi là các tham số điều khiển. Biểu đồ phân nhánh là
đồ thị của các giá trị trạng thái ứng với tham số ([1],[4],[5],[14]). Biểu đồ
phân nhánh đưa ra một tĩm tắt về bản chất động lực học và vì thế mà nĩ là một cơng cụ quan trọng để kiểm tra những sự thay đổi trước và sau hỗn độn trong hệđộng lực học ứng với sự biến thiên của các tham số. Bản đồ Poincaré cĩ thểđược sử dụng để xây dựng biểu đồ phân nhánh cho các phương trình vi phân liên tục. Khi lấy dữ liệu mẫu, sử dụng bản đồ Poincaré, ta dễ dàng quan sát chu kỳ nhân đơi và rẽ nhánh Hopf. Nĩ hữu dụng bởi đặc tính dự báo chuyển động hỗn độn là sự xuất hiện của những dao động tuần hồn siêu điều hịa. Đối với sự phân nhánh cục bộ, ta cĩ một sự thay đổi định tính xảy ra quanh một điểm cố định hay một nghiệm tuần hồn của hệ; đối với bất kỳ sự
Biểu đồ phân nhánh cung cấp một cái nhìn tổng quát về bản chất động học và quan hệ hữu dụng để phát hiện dạng chuyển động hỗn độn của hệ, nhưng ta cần cẩn thận để khơng nhầm một chuyển động á tuần hồn với một chuyển động hỗn độn. Những phương pháp khác nên được xem xét, như bản
đồ Poincaré, mặt phẳng pha, số mũ Lyapunov và phổ năng lượng để phân biệt giữa những chuyển động á tuần hồn và chuyển động hỗn độn.
Đơi khi, chuyển động hỗn độn xảy ra khi một vài tham số thay đổi nhưng cuối cùng cũng đưa về chuyển động tuần hồn hay á tuần hồn sau một khoảng thời gian khơng ngắn, chúng được gọi là hỗn độn chuyển tiếp. Như
vậy, khi ứng xử của hệ đã bộc lộ bản chất của một chuyển động hỗn độn thì thí nghiệm và mơ phỏng số cũng cần được thực hiện thêm một thời gian càng dài càng tốt, ngay cả khi bản đồ Poincaré dường như vẽ ra một cấu trúc phân hình, đặc trưng với những tập hút lạ.
Số mũ Lyapunov λ cĩ thểđược tính bởi định lý Egơđic của Oseledec:
( ) 1 lim ln (0) t x t t x λ →∞ ⎛ ⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠ (xem trong [6], … , [14]).
Trong chương này, trước khi khẳng định một trạng thái là hỗn độn, chúng tơi đã tính hơn 4.000.000 điểm Poincaré trong miền hút phân hình, sau khi bỏ đi 100.000 chu kỳ của quá trình chuyển tiếp và xét số mũ Lyapunov dương lớn nhất.