Điểm bất động trong không gian định chuẩn

Các kết quả trên có thể mở rộng vào không gian định chuẩn.

Định lý 2.3.4.1. (Ky Fan)

Cho một tập lồi compac C trong một không gian định chuẩn X, và một ánh xạ đa trị đóng f C: 2C từ C vào chính nó sao cho với mọi xC f x,   là tập lồi compac, không rỗng. Khi ấy tồn tại *

x C sao cho *  *

x f x . Chứng minh

Xét một hình cầu mở Wr tâm ở gốc ,và có bán kính bằng 1 /r. Họ các tập mở xWr phủ C, mà C compac nên có một số hữu hạn tập ấy vẫn phủ

C:xi W ir, 1,...,n. Gọi S là bao lồi của các x1,....,xn và F S: 2S là ánh xạ xác định bởi

     r

Với mỗi xS có ít nhất một yf x C và với y này lại có một xi sao cho yxi Wr, tức là xi y Wr(vì Wr  Wr), mà hiển nhiên xiS nên

 

i

x F x .

Vậy F x . Cũng rõ ràng F x  lồi vì là giao của hai tập lồi f x Wr và

S.

Ta kiểm tra lại F là ánh xạ đóng.

Giả sử xv x y, v  y y, vF x v . Ta có yv zv uv với zvf x v ,uvWr . Vì  zv C mà C compac nên có một dãy con zv z C

   , và do f là ánh xạ đóng nên z f x . Mặt khác, uv yv zv y z        , mà Wr đóng nên r y z W , do đó y z Wr  f x Wr , tức là yF x  vì hiển nhiên yS. Vậy F là ánh xạ đóng.

Theo định lý Kakutani phải có xr sao cho xrf x r Wr tức là có một

 

r r

y  f x sao cho yrxr Wr . Vì x rr, 1, 2,...C compac nên có một

dãy con * ( ) s r x x C s  . Khi ấy * s r y  x , và do f đóng ta phải có   * * x f x . Hệ quả 2.3.4.2. (Schauder)

Một ánh xạ liên tục f C: C từ một tập lồi compac C trong một không gian định chuẩn vào chính nó bao giờ cũng có một điểm bất động *  *

x  f x . Định lý Ky Fan ( cả định lý Schauder) vẫn còn đúng khi X là không gian lồi địa phương- một lớp không gian rộng hơn không gian định chuẩn .

KẾT LUẬN

Trên đây là toàn bộ nội dung của khoá luận “ Lý thuyết điểm bất động của ánh xạ đa trị ”. Nội dung cơ bản của khoá luận gồm 2 chương:

Chương 1:

Nhắc lại một số kiến thức của giải tích hàm về một số không gian, tập hợp và một số định nghĩa về ánh xạ dùng cho chương 2.

Chương 2:

Nội dung chủ yếu bao gồm: định lý Caristi về điểm bất động của ánh xạ đa trị; định lý Nadler về điểm bất động của ánh xạ đa trị có tính chất co; nguyên lý điểm bất động Brouwer và suy rộng của nó.

Để hoàn thành khoá luận này, mặc dù bản thân có nhiều cố gắng song do kiến thức còn hạn chế hơn nữa đây là một vấn đề khó của giải tích hàm nên khoá luận không tránh được những thiếu sót. Em rất mong nhận được ý kiến đóng góp của thầy cô và các bạn để khoá luận được hoàn thiện hơn.

Em xin chân thành cảm ơn.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Hoàng Tụy. Hàm thực và giải tích hàm. NXB Đại học quốc gia Hà Nội.

2. Nguyễn Xuân Liêm. Giải tích hàm. NXB Giáo dục.

3. Phan Đức Chính. Giải tích hàm. NXB Đại học Hà Nội.

4. Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải. Giải tích lồi. NXB KHKT- Hà Nội.

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của thầy Phùng Đức Thắng, khoá

luận tốt nghiệp đại học “Lý thuyết điểm bất động của ánh xạ đa trị” được hoàn thành theo nhận thức vấn đề của riêng tôi, không trùng với bất kỳ khoá luận nào khác.

Trong quá trình thực hiện và nghiên cứu khoá luận, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2012 Sinh viên