5. CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN
4.4.1. Sự tồn tại nghiệm tối ưu
Chúng ta có kết quả tổng quát sau về sự tồn tại nghiệm tối ưu của bài toán (4.55).
Định lí 4.3. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn:
1. Tập Uad ⊂ L2(ω×(0, T))×L2(ω×(0, T)) là khác rỗng, lồi và đóng. 2. J là nửa liên tục dưới yếu, tức là nếu (hm, ρm, zm) là nghiệm của (4.54), hm ⇀ htrong L2(ω×(0, T))×L2(ω×(0, T)), ρm ⇀∗ ρ trong L∞(Q)vàzm ⇀ z trong L2(0, T;V) thì
lim inf
m→∞ J(h
m, ρm, zm)≥J(h, ρ, z).
3. Uad bị chặn hoặc J là cưỡng đối với h, tức là J(hm, ρm, zm)→ +∞ khi hm ∈ Uad,∥hm∥L2(ω×(0,T))×L2(ω×(0,T)) → ∞.
Khi đó bài toán tối ưu (4.55) có ít nhất một nghiệm.
Chứng minh. Tập các điều khiển chấp nhận được là tập khác rỗng và bị chặn trong L2(ω ×(0, T))×L2(ω ×(0, T)). Với mỗi cặp điều khiển trong L2(ω ×
(0, T))×L2(ω×(0, T)), bởi Định lí 4.1, tồn tại một nghiệm của hệ (4.54). Hơn nữa, hàm J bị chặn dưới nênJ(h, ρ, z)≥0. Do đó, tồn tại infimum của J trên tập các điều khiển chấp nhận được và các trạng thái, hay
0≤ J = inf
(h,ρ,z)
J(h, ρ, z)≤ ∞.
Xét dãy bộ ba {(hm, ρm, zm)} sao cho J(hm, ρm, zm)→J khi m→ ∞. Từ giả thiết (3) ta suy ra rằng {hm} bị chặn trong L2(ω ×(0, T))×L2(ω×(0, T)). Khi đó, ta giả sửhm ⇀ h∗ trong L2(ω×(0, T))×L2(ω×(0, T)). Theo giả thiết (1), tập các điều khiển là lồi và đóng trong L2(ω×(0, T))×L2(ω×(0, T)), do đó đóng yếu trong L2(ω×(0, T))×L2(ω×(0, T)), dẫn đến h∗ ∈ Uad.
Theo Định lí 4.1, ta có dãy {(ρm, zm)} bị chặn trong L∞(Q)×L2(0, T;V) và ta giả sử rằng ρm ⇀∗ ρ∗ trong L∞(Q) và zm ⇀ z∗ trong L2(0, T;V). Bằng
những lập luận tương tự như Bước 3 và 4 trong Định lí 4.1, ta suy ra bộ ba
(h∗, ρ∗, z∗) là nghiệm của hệ (4.54).
Cuối cùng, ta cần chỉ ra J =J(h∗, ρ∗, z∗). Thật vật, từ giả thiết (2), ta có
J = lim
m→∞J(h
m, ρm, zm)≥ J(h∗, ρ∗, z∗).
Vì (h∗, ρ∗, z∗) là chấp nhận được, và J là infimum trên tập các điều khiển và
trạng thái chấp nhận được, từ đây ta suy ra J = J(h∗, ρ∗, z∗), ta được điều
phải chứng minh.