2.3.1. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm chính quy hoàn toàn. a) Quan hệ ξ trên S bởi a ξ b nếu a=a0ba0, b=b0ab0 (a,b ∈ S) b) Quan hệ ν trên S đợc cho bởi
aνb nếu aDb và a=a0ba0=(ab)0b(ba)0 (a, b∈S)
Đối với quan hệ Y và ξ trên một nửa nhóm orthodox, kết quả sau đây đã đợc biết.
2.3.2. Bổ đề. ([7], Bổ đề II 5.5, Mệnh đề II, 5.6). Giả sử δ là một nửa nhóm orthodox và a,b ∈δ. Thế thì các điều kiện sau đây là tơng đơng:
(ii) Tồn tại e ,f ,g ,h ∈ E(S) sao cho a= ebf , b=gah
(iii) a ξ b
Hơn nữa, Y =ν trên δ
Bây giờ, chúng tôi trình bày chi tiết một số đặc trng của quan hệ ξ trên một nửa nhóm hoàn toàn chính quy S.
2.3.3. Mệnh đề. Đối với a= (i, g, λ ), b =(i, h, à ) thuộc Sαvới α ∈ Y , a ξ b nếu và chỉ nếu a η b và nếu và chỉ nếu g = p-1
λipλjhpàip-1
λi= p-1
à ipàjh pà p-1
λj
Chứng minh. Nếu a ξ b, nghĩa là a = a0ba0, b = b0ab0. Thế thì a D b và a0 b a0 = (i,p-1 λ i,λ )(j,h,à )(i,p-1 λi,λ ) = (i,p-1 λipλj hpài p-1 λi,λ ) =(i,g,λ ) = a Do đó g = p-1 λipλj hpài p-1 λi và h = p-1 λjpλigpλip-1 ài Tơng tự, do b = b0ab0, ta nhận đợc h = p-1 àj pàigpλjp-1 àj và g = p-1 àipàjhpàjp-1 λjvà từ đó a ξ b tơng đơng với g = p-1
ài pλj hpài p-1
λi =p-1
àipàj hpàj p-1
λj (3.1) hay tơng đơng
h = p-1
λjpλigpλjp-1
àip-1
àjpài gpλj p-1
àj (3.2)
Thực tế (3.1) tơng đơng với: a =a0ba0=(ab)0b(ab)0 vì (ab)0 =(i,p-1
ài, à ) và (ba)0 = (j,p-1 λj, λ ). Do đó ξ = η. Từ (3.1) và (3.2) nhận đợc hpàjp-1 λjpλip-1 àih-1 = p-1 àjpàip-1 λipλj và gpλip-1 àipàjp-1 λjg-1 = p-1 λipλjp-1 ài Do đó có
2.3.4. Hệ quả. Đối với a = (i,g,λ ), b = (j,h,à ) thuộc Sα, α∈Y, nếu aξb thế thì gqλà ijh-1 = ràλij và hqλà jih-1 = ràλji
2.3.5. Mệnh đề. Giả sử S là nửa nhóm chính quy hoàn toàn khi đó ξ * là tơng đẳng Clifford nhỏ nhất trên S.
Chứng minh. Giả sử a ξ b; a,b ∈ Sα . Thế thì a = a0ba0, b = b0ab0 và do đó a δα b. Theo Định lý Jones, nhận đợc a ν b và ξ ⊆ ν. Vì ν là một tơng đẳng và ξ * là tơng đẳng nhỏ nhất chứa ξ, nên ξ*⊆ν.
Chứng minh bao hàm thức ngợc lại. Theo Định lý Jones, chúng ta chỉ cần chứng minh δα⊆ξ* đối với mỗi α. Vì δα là tơng đẳng nhỏ nhất đồng nhất tất cả các luỹ
đẳng trong Sα, nên chỉ cần chứng tỏ rằng e ξ * f đối với e, f ∈ E(Sα ). Nhng e ξ
(ef)0 và (ef)0ξ f.
Do bổ đề 2.3.2, nếu S là nữa nhóm orthodox, thế thì ξ là tơng đẳng trên S. Thực tế đó là điều kiện cần thiết.
2.3.6. Mệnh đề. Giả sử S là một nữa nhóm chính quy hoàn toàn. Các điều sau đây là tơng đơng
(i) ξ là một tơng đẳng trên S
(ii) ξ bắc cầu trên S
(iii) S là một nửa nhóm orthogroup.Hơn nữa, trong trờng hợp này ξ là tơng đẳng Clifford nhỏ nhất trên S
Chứng minh. (i) ⇒ (ii) là rõ rằng
(iii) ⇒ (ii) là do Bổ đề 2.3.2. Chúng ta chỉ cần chứng minh (ii) ⇒(iii).Đối với e,f ∈ E(Sα ), e ξ (ef)0 và (ef)0ξ f, do đó nếu ξ là bắc cầu thì e ξ f. Nhng điều đó đa đến e = efe và do đó ef ∈ E(S)