2.5.1. Định nghĩa
Độ cao của chuỗi lũy thừa n (1)
n a z
∑ ,tại v z( )=t được xác định bởi hệ thức
{ } 0 ( , ) min ( )n n h t v a nt ≤ <∞ = + ∑
Chú ý rằng độ cao của chuỗi lũy thừa có thể hữu hạn khi nó hội tụ và có thể là
−∞ khi nó phân kỳ.
2.5.2. Mô tả hình học
Với mỗi n chúng ta vẽ đồ thị Γn của hàm ( n) ( ) .
n n
v a z =v a +nt Đồ thị này là một đường thẳng có độ dốc n. Do định nghĩa, h( , )∑ t là biên của giao tất cả các nửa mặt phẳng nằm phía dưới các đường thẳng Γn, h( , )∑ t có thể ≡ −∞ ∅, hoặc là một đường gấp khúc. Người ta gọi h( , )∑ t là đường đa giác ( hay đa giác Newton) của chuỗi lũy thừa. Điểm t v z= ( ) là đỉnh của đa giác được gọi là điểm tới hạn của chuỗi
lũy thừa. Định lý sau đây nêu lên mối liên hệ giữa tính hội tụ và độ cao của chuỗi lũy thừa.
2.5.3. Định lý
Chuỗi lũy thừa (1) hội tụ trong đĩa Dr khi và chỉ khi đường thẳng t0 = −logpr
là đường tiệm cận của đường đa giác h( , )∑ t .
Định lý được chứng minh bởi bổ đề sau.
2.5.4. Bổ đề
( )i Chuỗi lũy thừa (1)hội tụ tại t v z= ( ) khi và chỉ khi lim ( ){ n } .
n v a nt
→∞ + = ∞
( )ii Nếu chuỗi lũy thừa hội tụ tại z0 thì nó hội tụ tại mọi điểm thuộc miền
{z∈£p : ( )v z >v z( ) .0 }
Chứng minh
( )i Như đã biết trong các chương trước, chuỗi lũy thừa (1) hội tụ khi và chỉ khi
lim n 0 n p n a z →∞ = lim {v a(n) nt} 0 n p− + →∞ ⇔ = { } lim ( )n n v a nt →∞ ⇔ + = ∞.
( )ii Theo mệnh đề ( )i , chuỗi (1) hội tụ tại z0 nên
{ 0 } lim ( )n ( ) n v a nv z →∞ + = ∞ Khi đó: lim{[ ( )n ( )] [ ( )n ( )0 ]} n v a nv z v a nv z →∞ + − + lim{ [ ( ) ( )0 ]} n n v z v z →∞ = − = ∞.
Với mọi v z( )>v z( ),0 bởi vậy lim ( ){ n ( )} .
n v a nv z
→∞ + = ∞ Chứng tỏ chuỗi hội tụ tại
mọi điểm thuộc miền {z∈£p : ( )v z >v z( ) .0 }
2.5.5. Chứng minh định lý
Giả sử chuỗi lũy thừa (1) hội tụ trong đĩa Dr, theo bổ đề 2.5.4 ta nhận được
lim{ ( )n }
n v a nt
→∞ + = ∞
với mọi z D∈ r. Vì | |z p<r nên t v z= ( )> ∀ ∈t0, z Dr chứng tỏ t0 = −logpr là đường tiệm cận của đa giác Newton. Ngược lại, nếu t0 = −logpr là đường tiệm cận của đa giác
( , )
h ∑ t , khi đó với t→ +t0 0ta có
lim{ ( )n }
n v a nt
→∞ + = ∞
Sử dụng bổ đề chúng ta khẳng định rằng chuỗi (1) hội tụ trong đĩa Dr. Định lý được chứng minh.
2.5.6. Nhận xét
Bằng khái niệm độ cao chúng ta sẽ chỉ ra được miền hội tụ của chuỗi lũy thừa p – adic một cách nhanh chóng trong một số trường hợp:
(i) Xét chuỗi 2 0 n n n p z ∞ = ∑ (Ví dụ 2.2.2 (iii))
Chúng ta có v a( )n + =nt n2 + → ∞nt khi n→ ∞ với mọi t.
Vì v a( )n +nt triệt tiêu khi t0 = −n, do đó nếu n→ ∞ thì t0 → −∞, tức là r → ∞. Vậy chuỗi này hội tụ trên toàn mặt phẳng Cp.
(ii) Cho chuỗi lũy thừa 2 0 n n n p z ∞ − = ∑ (Ví dụ 2.2.2 (iv))
Chúng ta nhận được v a( )n + = − +nt n2 nt triệt tiêu khi t0 =n do đó khi n→ ∞, ta có t0 → ∞ nghĩa là r →0. Vậy chuỗi này phân kỳ tại mọi điểm thuộc
\ {0}
p
KẾT LUẬN Luận văn đã đạt được các kết quả sau
1. Trình bày lại một cách có hệ thống các khái niệm về giá trị tuyệt đối và trường định giá, xây dựng trường số hữu tỷ p- adic ¤ p và xây dựng trường số phức p- adic £p.
2. Trình bày và chứng minh các định lý về tính hội tụ của chuỗi lũy thừa.
3. So sánh tính hội tụ của chuỗi lũy thừa trong trường Acsimét và trường phi Acsimét 4. Tìm hiểu mối quan hệ giữ khái niệm độ cao của chuỗi lũy thừa và tính hội tụ của nó.
Các kết quả chính đã tìm hiểu và trình bày chi tiết là các định lý 1.1.5; 1.1.9 các mệnh đề : 2.2.4; 2.3.2; 2.3.3; định lý 2.5.3; ví dụ 2.2.2 và nhận xét 2.5.6.
TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng việt
[1] Nguyễn Thành Quang (1998), Sự suy biến của các đường cong chỉnh hình và tính hyperbolic Brody p-adic, luận án Tiến sĩ Toán học, Trường Đại học Vinh.
[2] Mai Văn Tư (1995), Lý thuyết Nevanlinna - Cartan P - adic và ứng dụng, luận án Tiến sĩ Toán học, Trường Đại học Vinh.
[3] Mai văn Tư (2012), bài giảng Lý thuyết p-adic, Trường Đại học Vinh.
Tiếng anh
[4] D.Chen end X. Yang (2004), Hausdor measures of a class of Sierpinski carpets, Anal. Theory Appl. 20, 167-174.
[5] HaHuyKhoai and MaiVanTu (1995), p-adic Nevanlinna Cartan theorem, Inter. J. Math. Vol, No.5.
[6] N.I. Koblitz (1979), P-adic numbers, p-adic analysis and Zeta-function, Springer - Verlag.
[7] S.Lang (1991), Number theory III, Encyclopedia of Mathematical Sciences - Verlag.
[8] Z. Zhou and J.Le (2006), Some Problems on Fractal Geometry and