Nửa vành chính quy cộng tính

2.3.1. Định nghĩa. (i) Phần tử a∈R được gọi là phần tử chính quy cộng tính

nếu tồn tại b∈R, a+b+a=a và b+a+b = b.

ii) Tập hợp tất cả các phần tử chính quy cộng tính của R được kí hiệu bởi reg(R).

ii) Nửa vành R được gọi là nửa vành chính quy cộng tính nếu R=reg(R).

2.3.2. Chú ý. 1. Nếu a là một phần tử lũy đẳng của R thì a là phần tử chính quy cộng tính ( lấy b=a).

2. Nếu ρ là một quan hệ tương đẳng trên R và a là một phần tử chính quy

cộng tính thì aρ là phần tử chính quy cộng tính của nửa vành thương R

ρ. Do

đó nếu R là nửa vành lũy đẳng cộng tính thì Rρ cũng là nửa vành lũy đẳng

cộng tính.

3. Nếu a là phần tử chính quy cộng tính thì “phần tử ngược” của a là duy nhất. Thật vậy, nếu b,c∈R sao cho a+b+a=a, b+a+b=b, a+c+a=a và

c+a+c=c thì b=b+a+b=b+a+c+a+b=b+a+b+a+c=b+a+c=b+c+a+c+a

=c+b+a+a+c=c+a+c=c.

4. Nhận xét rằng 0∈reg(R). Hơn nữa, nếu a∈reg(R) và a+b+a=a, b+a+b=b

thì b∈reg(R). Kí hiệu b bởi a*(duy nhất theo 3) thì a**=a. Hơn nữa, I+(R)⊆

reg(R)∩ Ζ(R). Ta chứng minh reg(R) là iđêan của R. Thậy vậy, nếu a,b∈

Reg(R) thì (a*+b*)+(a+b)+(a+b)=(a+b) và (a*+b*)+(a*+b*)+(a+b) =a*+b*

nên a+b∈reg(R). Nếu a∈reg(R) và r∈R thì ra*+ra+ra =r(a*+a+a)=ra và

ra*+ra*+ra=r(a*+a*+a)=r(a*), do đó ra∈reg(R). Tương tự ar là phần tử chính quy cộng tính với (ar)* = a*r, do đó reg(R) là iđêan của R.

5. Chú ý rằng nếu a,b∈reg(R) thì a*b*=(a*b)*=(ab)**=ab. Như vậy, nếu a∈

( )

X

I R thì a=aa=(a*)2.

6. Nếu a là một phần tử chính quy cộng tính của nửa vành R thì ta đặt

a0=a+a*. Khi đó a0 là một lũy đẳng cộng tính của R. Đảo lại, nếu a là một phần tử lũy đẳng của R thì a=a+a=a+a*=a0. Chúng ta chú ý rằng nếu a,b∈R

thì a0b=(a+a*)b= ab+a*b= ab+(ab)*=(ab)0. Tương tự, ab0 = (ab)0.

2.3.3. Ví dụ. 1. Một điều kiện đủ để R chính quy cộng tính là R=V(R)+I R+( ).

Thật vậy, nếu điều kiện đó đúng và a∈R thì a=b+e với b∈V(R) và e∈I R+( ).

Đặt a*=-b+e thì a+a+a*=b+e+b+e+(-b)+e=b+e=a và a*+a*+a=(-b)+e+ (- b)+e+b+e=(-b)+e=a* nên a là phần tử chính quy cộng tính (Tirasupa, 1979). 2. Nếu R là nửa vành lũy đẳng cộng tính thì R chính quy cộng tính với a*= a,

∀a∈R.

3. Giả sử R là một vành và S là một nửa vành con của nửa vành ideal(R) tất cả các iđêan của R. Đặt R’={(a,I)| a∈I∈S} và định nghĩa các phép toán ⊕ và e (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

trên R’ bằng cách đặt (a,I)⊕(b,H)=(a+b,I+H) và (a,I)e (b,H)=(ab,IH). Khi đó R’ là nửa vành chính quy cộng tính, trong đó (a,I)*=(-a,I). Hơn nữa, I+ (R’)={(0,I)| I ∈ S}.

2.3.4. Mệnh đề. Nếu R là một nửa vành chính quy cộng tính nhưng R không phải là một vành thì không tồn tại một nửa đẳng cấu từ R đến một nửa vành giản ước được.

Chứng minh. Thậy vậy, giả thiết rằng tồn tại một nửa vành giản ước được S và một nửa đẳng cấu γ :R →S. Vì R không phải là một vành nên tồn tại r∈

R\V(R).Thế thì r0∈I+(R) và do đó γ (r0)∈I+(S). Nhưng S giản ước được nên γ

(r0) = 0 và từ đó r0∈ker(γ ). Vì γ là một nửa đẳng cấu ( nghĩa là γ là toàn ánh

và ker(γ )={0}) nên r0=0 và do đó r∈V(R), mâu thuẫn với giả thiết r∈R\V(R).

€

2.3.5. Chú ý. Nếu R là nửa vành chính quy cộng tính thì ta có một quan hệ tương đẳng ρ trên R cho bởi (a,b)∈ρ nếu và chỉ nếu a0=b0. Vì (a,0)∈ ρ nếu

và chỉ nếu a+a*=0 nên ta kết luận được rằng quan hệ ρ không thực sự nếu và chỉ nếu R là một vành.

2.3.6. Mệnh đề. Nếu R là một nửa vành chính quy cộng tính thì là một nhóm đối với mỗi r∈R.

Chứng minh. Giả sử G=rρ. Nếu a,b∈G thì (a+b)0=a0+b0= r0+ r0= r0 và như vậy a+b∈G. Nói riêng, r0=r+r*∈G. Nếu a∈G thì a+r0=a+a0=a. Hơn nữa, a*

∈G vì (a*)0= a0=r0 và a+a*= a0=r0. Như vậy, (G,+) là một nhóm cộng tính với đơn vị là r0.€

Do đó nói riêng, nếu R là nửa vành chính quy cộng tính thì (R,+) là hợp của các nhóm.

2.3.7. Định lý. Giả sử R là nửa vành chính quy cộng tính nhưng không phải là một vành và S=Rρ. Thế thì

(i) S= I S×( ) nếu và chỉ nếu 0 0 ,

a =aa ∀ ∈a R;

(ii) S giao hoán nếu và chỉ nếu 0 0 , ,

ab =b a a b R∀ ∈ ; (iii) S là một dàn nếu và chỉ nếu S= X( )

I S , S giao hoán và

0 , ,

a a b a a b R+ = ∀ ∈ .

Chứng minh. (i) Giả thiết rằng S=IX( )S . Nếu a∈R thì (a,a2)∈ ρ và do đó

a0=(a2)0=aa0. Đảo lại, giả thiết rằng a0=aa0. Khi đó (a2)0=aa0=a0 và do đó

(a2,a)∈ ρ,∀a∈R. Điều này chứng tỏ rằng S=IX( )S .

(ii) Giả thiết rằng S giao hoán. Khi đó đối với a,b∈R có ab0=(ab)0=(ba)0=b0a. Đảo lại, giả thiết rằng ab0=b0a. khi đó (ab)0=(ba)o và do đó (ab,ba)∈ ρ,∀

a,b∈R, điều này chứng minh S giao hoán.

(iii) Giả thiết rằng S là nửa vành giao hoán, S= X( )

I S và a+a0b=a,∀a,b∈R.

Nếu a∈R thì (a+a)o=ao+ao và do đó (a,a+a)∈ ρ. Như vậy S=I R+( ). Nếu a,b

∈R thì a0=a*+a=a*+a+a0b=a0+a0b=a0+(ab)0=(a+ab)0 nên (a,a+ab)∈ ρ mà (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

S là một dàn thì S giao hoán, S=IX( )R . và a0=a0+a0b và a=a+a0 =a+a0b,∀

a,b∈R. €

2.3.8. Định nghĩa. Giả sử R là nửa vành lũy đẳng cộng tính. Trên R xác định quan hệ ~ cho bởi a ~ b nếu và chỉ nếu a + b0= a0 + b.

Trước hết, ta nhận xét rằng: nếu a,b∈ I R+( ) thì a=a0 và b=b0 nên a+b0= a0+b nên a~b. Hơn nữa, a~b nếu và chỉ nếu a+b*∈ I R+( ). Thật vậy, nếu a~b thì (a+b*)+(a+b*)=a+b*+b*+b+a+b*=a+b0+(a+b*)+b* =a0+b+a +b*+b*=a+a*+b+a+b*+b*=a+b* và do đó a+b∈ I R+( ). Đảo lại, nếu a+b*∈

( )

I R+ thì a+b*=(a+b*)* =a*+b nên a+b0=a+b*+b=(a+b*)+(a+b*)+b =a+b*+a*+b+b=a+a*+b=a0+b,chứng tỏ rằng a~b.

Nói riêng, a~0 nếu và chỉ nếu a∈I+(R).

2.3.9 Mệnh đề. Các điều kiện sau đây đối với một nửa vành chính quy cộng tính là tương đương:

(i) ~ là một quan hệ tương đẳng trên R; (ii) Z(R)=I+(R).

Chứng minh. (i)⇒(ii). Rõ ràng I+(R)⊆Z(R). Đảo lại, giả thiết rằng b∈R. Thế thì tồn tại a∈R sao cho a+b=a. Từ đó b+a0= a0. Theo (i), a0=(a+b)0=a0+b0

nên a0~b và a0~b0 khi b~b0 do (i). Điều này kéo theo b=b+b0=b0+b0=b0 nên b

∈I+(R).

(ii)⇒(i). Nếu a,b∈R thì a~a và a~b nếu và chỉ nếu b~a. Giả thiết rằng a~b,

b~c. khi đó theo nhận xét sau Định nghĩa 2.3.8, (a+c*)+(a+c*+b0)=(a+c*+b0) +(a+c*+b0)+(a+b*)+(b+c*)+(a+b*)+(b+c*)=(a+b*)+(b+c*)=a+c*+b0. Do (ii), điều này kéo theo a+c*∈I+(R). Do đó a+c*=(a+c*)o và do đó (a+c*)+ (a+c*) =(a+c*)+( a+c*)*+( a+c*)= a+c*nên a~c. Như vậy ~ là một quan hệ tương đương trên R.

Nếu a: c và b: d thì a+b+(c+d)0=a+b+c0+d0=a0+b0+c+d =(a+b)0+c+d nên a+b: c+d. Tương tự, ab+(cb)0=ab+c0b=(a+c0)b=(a0+c)b

=a0b+cb=(ab)0+cb nên ac: cb. Tương tự, có cb: cd nên ab: cd. Như vậy : là một tương đẳng trên R. €

2.3.10. Định nghĩa. Một nửa vành thỏa mãn điều kiện Z(R)=I+(R) được gọi là

nửa vành Bandelt.

2.3.11. Hệ quả. Nếu R là một nửa vành Bandelt không lũy đẳng cộng tính thì

R

: là một vành.

Chứng minh. Theo Mệnh đề 2.3.9, ~ là một quan hệ tương đẳng trên R. Nếu a

∈R thì a+a*∈I+(R) và do đó, a+a*~0. Như vậy a +a* =(a a+ *) =0

: : : : ,

chứng tỏ rằng a: có phần tử nghịch đảo cộng tính là a*: trong R: . Như vậy

R

: là một vành. €

KẾT LUẬN

Luận văn đã thực hiện được các vấn đề sau:

1. Trình bày khái niệm và các tính chất của nửa vành thương (Định lý 1.1.7, Mệnh đề 1.1.9), cấu xạ nửa vành (Mệnh đề 1.2.4, Mệnh đề 1.2.6, Mệnh đề 1.2.10, Mệnh đề 1.3.9) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

2. Trình bày cách xây dựng và các tính chất của nửa vành các thương (Mệnh đề 2.1.10, Mệnh đề 2.1.11, Mệnh đề 2.1.12).

3. Trình bày khái niệm và các tính chất của nửa vành Euclid (Mệnh đề 2.2.16, Định lý 2.2.22), nửa vành chính quy cộng tính (Mệnh đề 2.3.6, Định lý 2.3.7).

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng việt

[1] Lê Quốc Hán (2009), Bài giảng đại số hiện đại, Trường Đại Học Vinh.

[2] S. Lang (1974), Đại số (tập 1, 2, 3), Bản dịch của Trần Văn Hạo và Hoàng Kỳ, Nxb Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội.

[3] Nguyễn Tiến Quang, Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lý thuyết môđun và lý thuyết vành, Nxb Giáo dục.

Tiếng Anh

[4] Jonathan S. Golan (1992), The theory of semirings with applications in mathematics and theoretical computer science, Longman scientific Technical, compublished in the United States with John & Sons Ins. New York.

[5] C. Zhigiang (1984), Comparison between two kinds of semilate – semigroups, Acta Math. Scientica4, 311 – 317.

[6] E. G. Manes, M. A. Arbib (1985), The inverse semigroup of sum – ordered semirings, Semigroup Forum31, 129 – 152.

[7] O. Sokratova (2002), On semimodules over commutative, additively idempotent semirings, Semigroup Forum64, 1 – 11.

[8] Takayuki Tamura (1981), Note on semirings whose multiplicative semigroups are group, in Namakura (ed): Proceeding of the 5th Symyposium on semigroups, Josai University, Sakado.