Định lý Dàn các tơng đẳng trên ℑX là một dàn con của dàn tất cả các quan hệ hai ngôi trên ℑX Đặc biệt, nó là một dàn phân phối.

Một phần của tài liệu Nửa nhóm các phép biển đổi (Trang 28 - 29)

b) Giả sử ρ là một tơng đẳng trên ℑX, η(ρ) hữu hạn và α là một phần tử có hạng hữu hạn r ≥η(ρ) Nếu tồn tại β sao cho (α, β)∈ρ và α≠β thì r

2.9. Định lý Dàn các tơng đẳng trên ℑX là một dàn con của dàn tất cả các quan hệ hai ngôi trên ℑX Đặc biệt, nó là một dàn phân phối.

các quan hệ hai ngôi trên X. Đặc biệt, nó là một dàn phân phối.

Chứng minh. Giả sử ρ, τ là hai tơng đẳng trên ℑX. Ký hiệu V là phép hợp trong dàn các tơng đẳng trên ℑX , suy ra ρVτ là giao của tất cả các tơng đẳng trên ℑX chứa ρ và τ. Ta phải chứng minh ρVτ = ρ∪τ. Và ta có các trờng hợp

sau:

Trờng hợp 1: Nếu một trong các quan hệ ρ và τ là quan hệ bằng nhau hoặc tơng đẳng phổ dụng thì ta có ρVτ = ρ∪τ.

Trờng hợp 2: Nếu η(ρ) = n hữu hạn, theo định lý 2.7 suy ra ρ = σ+, và Iη*

(τ) ⊆τ vì thế ρ⊆τ, nên ta có ρVτ = ρ∪τ.

Trờng hợp 3: Nếu η(ρ) = n và η(τ) = m; m, n đều hữu hạn thì ρ = σ+ với

σ là một tơng đẳng trên

n n

I I +1

; τ = θ +, trong đó θ là một tơng đẳng trên

m m I I +1 . Nếu n < m ⇒ρ⊆τ ⇒ ρVτ = ρ∪τ = τ.

Nếu m = n theo định lý 2.7 một trong các quan hệ ρ, τ đợc chứa trong quan hệ kia vì các ớc chuẩn của nhóm đối xứng tạo thành một dây xích.

Trờng hợp 4: Nếu η(ρ) và η(τ) đều vô hạn thì theo nhận xét 2.8 và áp dụng luật phân phối ta có thể viết ρ ∪ τ = giao của các quan hệ dạng *

η

I . ∆ξ và

*

η

I ∪ ∆ξ, trong đó η và ξ vô hạn. Bây giờ ta cần chứng minh rằng *

η

I ∪ ∆ξ

luôn luôn tơng đẳng trên ℑX ⇒ρ∪ τ là một tơng đẳng trên ℑX . Ta cần chứng minh ρVτ = ρ∪τ.

Thật vậy, ta xét quan hệ *

η

I ∪∆ξ.

• Nếu η≤ξ thì hạng phân biệt của hai phần tử bất kỳ thuộc In bé hơn ξ và vì vậy *

η

I ⊆∆ξ. Vậy *

η

• Nếu ξ < η thì kết quả đó đợc suy từ nhận xét 2.9 với k = 1. Vậy suy ra ρVτ = ρ∪τ. Định lý đợc chứng minh. *** Chơng 3

Một phần của tài liệu Nửa nhóm các phép biển đổi (Trang 28 - 29)

Tải bản đầy đủ (DOC)

(33 trang)
w