Đáp án tuyển sinh
2.1 Đáp án tuyển sinh lớp 10 năm 1989 (cho mọi thí sinh)
(cho mọi thí sinh)
Bài 1. Gọi tập hợp các số chính phương là .P(x) =ax2+bx+c Ta có
P(0) =c∈ →c=c21, c1 ∈Z P(1) =a+b+c∈ P(−1) =a−b+c∈→ ( a+b∈Z a−b∈Z → ( 2a =a1 ∈Z 2a =b1 ∈Z P(4) = 16a+ 4b+c21 =k2, k ∈Z→8a1+ 2b1 =k2−c21 Do 8a1+ 2b1 chẵn nên k2−c2 1 chẵn hay k và c1 cùng tính chẵn, lẻ nên k2−c21...4→b 1...2→b= b1 2 ∈Z Do a−b∈Z nên từ đây ta cóa ∈Z P(2) = 4a+ 2b+c2 1 =t2, t∈Z→4a+ 2b=t2−c2 1 →t2−c2 1 là chẵn suy ra t vàc1 cùng tính chẵn, lẻ nên ta có t2−c21...4→b là chẵn Vậya, b, c∈Z và b chẵn. Bài 2. Đặt P =a2+ab+b2 −3a−3b+ 1989 →4P =a2−2ab+b2 + 3(a2+b2+ 4 + 2ab−4a−4b) + 4.1989−12 = (a−b)2+ 3(a+b−2)2+ 4.1986 ≥4.1986
Suy ra P ≥1986, dấu "=" đạt được khi và chỉ khi (
a−b= 0
a+b−2 = 0 →a=b= 1
34
2.1. Đáp án tuyển sinh lớp 10 năm 1989 (cho mọi thí sinh) 35 VậyP đạt giá trị bé nhất bằng 1986, đạt được khi a=b= 1
Bài 3.Gọi 52 số nguyên dương bất kỳ đã cho làa1, a2, . . . , a52. Mỗi số ai
đều có dạngai= 100bi+ci, trong đóbi, ci ∈Nvà0≤ci ≤99, (i= 1,52). Nếu trong sốc1, c2, . . . , c52có hai số bằng nhau, giả sửci =ck →ai−ak = 100(bi −bk)...100.
Nếu tất cả c1, c2, . . . , c52 đôi một khác nhau thì có ít nhất 51 số khác 50, giả sử đó làc1, c2, . . . , c51. Khi đó ta đặt di = 100−ci thì d1, d2, . . . , d51 là các số nguyên khác nhau và 1≤di ≤ 100. Như vậy 102 số c1, c2, . . . , c52,
d1, d2, . . . , d51 chỉ nhận không quá 101 giá trị (từ 0 đến 100) và do đó có 2 số trong chúng bằng nhau. Do các sốc1, c2, . . . , c51 khác nhau và d1, d2, . . . , d51 khác nhau nên hai số bằng nhau làci và dk nào đó suy ra ci =dk = 100−
ck →ci+ck = 100, ở đâyi6=kvìci= 506 →ai+ak = 100(bi+bk) + 100...100.
Bài 4 Kéo dài BE, CF các đoạn EI = BE và F K = CF. Khi đó 4ABI,4ACK cân ở A và BAK\ =CAK\ = 30◦.
1. Nếu BAC[ = 150◦ thì B, A, K thẳng hàng, C, A, K thẳng hàng và
BK =BA=AK =IA+AC =IC.
Do E, M, F là các trung điểm của IB, BC, CK nên EM = 1 2IC =
1
2BK =M F ⇒ 4M EF cân ở M
2. Gọi giao điểm của IC vàBK làO thì trong mọi trường hợp ta đều có
A, B, O, I cùng nằm trên một đường tròn và góc giữa hai tia BK, CI
bằng 150◦. Từ đó ta cóM EF\ =M F E\ = 15◦.
Bài 5.Giả sử theo thứ tự 9 bạn học sinh làa1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9. Ta chứng minh bài toán bằng phản chứng.
Giả sử ngược lại: Không có bạn nào đứng cách đều hai bạn cùng lớp (1). Không mất tổng quát giả sửa5 là học sinh lớpA, khi đóa4 và a6 không thể cùng thuộc lớp A. Vì vậy có hai khả năng sau:
1. a4 và a6 cùng thuộc lớp B. Khi đó do a4 cách đều a2 và a6, còn a6 cách đều a4 và a8 nên a2 và a8 thuộc lớp A suy ra a5 đứng cách đều hai bạn cùng lớp là a2 và a8, trái với giả thiết (1).
2. a4 vàa6thuộc hai lớp khác nhau, không mất tổng quát giả sửa4 thuộc lớp A còn a6 thuộc lớp B. Do a4 cách đều a3 và a5, nên a3 thuộc lớp
B. Do a6 cách đềua3 và a9 nên a9 thuộc lớpA. Do a5 cách đềua1 và
a9 nên a1 thuộc lớp B. Do a2 cách đều a1, a3 nên a2 thuộc lớp A. Do
a5 cách đều a2, a8 nên a8 thuộc lớp B. Do a6, a8 thuộc lớp B nên a7 thuộc lớp A. Như vậy a7 đứng cách đều hai bạn cùng lớp A là a5 và
a9, trái với giả thiết (1).
Vậy cả hai khả năng a) và b) đều dẫn đến vô lý nên điều giả sử (1) là sai.