6.1. Định nghĩa. Họ P các tập con của không gian tôpô X đợc gọi là một cs -
lới nếu với Z = {zn : n ∈ N} là dãy hội tụ đến x ∈ X và U là một tập mở bất kỳ sao cho Z ∪ {x} ⊂ U, tồn tại P ∈P sao cho x ∈ P ⊂ U và {zn : n ≥ m} ⊂ P ⊂ U, với m
∈ N nào đó.
6.2. Nhận xét. Họ P các tập con của không gian tôpô X đợc gọi là cs -
lới σ - hữu hạn địa phơng (σ - HCP) nếu P là một cs - lới của X và P =
∪{Pn : n ∈ N}, trong đó Pn là một họ hữu hạn địa phơng (họ HCP) với mỗi n ∈
N.
6.3. Định nghĩa. Không gian tôpô X đợc gọi là cs - σ - không gian nếu X có
một cs - lới σ - hữu hạn địa phơng.
6.4. Nhận xét. Một cs - σ - không gian có một cs - lới σ - HCP.
6.5.Bổ đề([5]). Cho X là không gian tôpô có một họ cs - lới σ - HCP và K là một tập compact trong X. Khi đó K là không gian con mêtric compact của X.
6.6. Mệnh đề. Nếu không gian tôpô X có một họ cs - lới σ - HCP thì X có một họ k - lới σ - HCP. họ k - lới σ - HCP.
Chứng minh. Nhờ nhận xét 4.6 ta giả sử P = ∪{Pn: n ∈ N} là cs - lới σ - HCP của không gian tôpô X, trong đó Pn là họ HCP sao cho mỗi phần tử của Pn là một tập đóng (theo nhận xét 4.8) và Pn⊂Pn + 1 với mỗi n = 1, 2, …
Giả sử K là tập compact và U là một tập mở trong X sao cho K ⊂ U. Với mỗi n ∈ N, ta đặt
- Pn' = {P ∈Pn: Z ⊂ P ⊂ U, với Z là dãy hội tụ nào đó}. - Fn = ∪Pn'.
Ta sẽ chứng minh K ⊂ Fn với một giá trị n ∈ N nào đó. Thật vậy, giả sử ngợc lại, khi đó với mỗi n ∈ N ta có K ⊄ Fn, do đó tồn tại xn ∈ K\ Fn với mỗi n
∈ N. Vì vậy {xn: n ∈ N} là một dãy trong K. Theo bổ đề 6.5, K là không gian con mêtric compact, nên tồn tại dãy con {xnk: k ∈ N} của {xn}sao cho {xnk} hội tụ về x ∈ K. Nh vậy, {x} ∪ {xnk : k ≥ m} ⊂ P ⊂ U với m nào đó và P ∈Pn, do đó P ⊂ Fn.
Bây giờ ta chọn k ∈ N sao cho nk≥ max {m, n}. Khi đó :xnk ∈ (K\ Fnk ) ∩ P. Mặt khác, do P ⊂ Fnk nên (K \ Fnk ) ∩ P = ∅. Từ đó dẫn đến mâu thuẫn, điều này chứng tỏ tồn tại n ∈ N sao cho K ⊂ Fn, nghĩa là Pn' là phủ đóng HCP của không gian mêtric compact K nên theo mệnh đề 4.15, tồn tại phủ con hữu hạn
Pn* của Pn' sao cho K ⊂∪Pn* ⊂ U.
Vậy P = ∪{Pn : n ∈ N} cũng là một k - lới σ - HCP của không tôpô X.
6.7. Nhận xét. Chiều ngợc lại mệnh đề 6.6 không đúng. Để làm ví dụ ta xét
không gian Sω1. Theo mệnh đề 3.14, không gian Sω1 là không gian Lasnev, do đó nó có một k - lới σ - HCP. Tuy nhiên ta có
6.8. Mệnh đề. Không gian Sω1 không có một cs - lới σ - HCP. Chứng minh. Gọi X = ∪{Xα : α < ω1}, trong đó, Xα = {0} ∪ { α Chứng minh. Gọi X = ∪{Xα : α < ω1}, trong đó, Xα = {0} ∪ { α
n
x : n ∈ N}, với mỗi phần tử α
n
x là một điểm cô lập trong X và U đợc gọi là một lân cận mở của điểm 0 trong X khi và chỉ khi với mỗi α < ω1, tồn tại m(α) ∈ N sao cho ∪{{0}
∪ { α
n
x : n ≥ m(α)}: α < ω1} ⊂ U.
Ta chứng minh X không có một cs - lới σ − HCP. Giả sử ngợc lại, X có một cs - lới σ − HCP. Gọi ∪{Pn: n ∈ N} là cs - lới σ - HCP của X, trong đó Pn là HCP với mỗi n ∈ N. Với mỗi α < ω1, n ∈ N, ta đặt: kα, 2n - 1 = 1
n