Định nghĩa 2.9. Cho C là một tập con của không gian Banach X Điểm
x∈C được gọi là điểm cực biên củaC nếu xkhông là điểm giữa của bất kì đoạn thẳng không suy biến trongCTập tất cả các điểm cực biên củaCđược kí hiệu bởiExt(C).
Tập H ⊂X được gọi là không gian con afin của X nếu tồn tại y∈ X
và không gian con tuyến tính củaX sao cho H =y+Y.Nhận xét rằng siêu phẳng afin đóng (các không gian con afin được sinh bởi các siêu phẳng đóng) là các tập mà có thể thu được bằng f−1(α) với f ∈X∗ vàα ∈K.
Xét tập lồi K ⊂X. Không gian con afin H của X được gọi là giá củaK
trong X nếu H∩K 6=∅ và bất cứ khi nào đoạn nối [x,y]⊂K có một điểm trong ở trongH, khi đó[x,y]⊂H.
Chú ý rằng nếu f ∈X∗ và nếu tồn tạik∈X∗ sao chosup
K
(f) = f(k) =α khi đó H = f−1(α) là giá đóng của K. Thật vậy, giả sử rằng [x,y]⊂ K và vớiλ ∈(0,1) ta có f(λx+ (1−λ)y) =α.Nếu f(x)<α,thì
f(λx+ (1−λ)y) =λ f(x) + (1−λ)f(y)<λ α+ (1−λ)α =α,
điều trên là mâu thuẫn.
Bởi vậy, f(x) = f(y) = α, chứng tỏ rằng với mỗi λ ∈ [0,1] ta có f(λx+ (1−λ)y) =α; tức là[x,y]⊂H.
Nếu K là compact yếu, khi đó cho trước f ∈ X∗ ta lúc nào cũng có thể tìm được k như ở trên, tức là, tồn tại giá đóng của Ktrong X. Theo Định lí Hahn-Banach, với mỗi x∈ BX tồn tại hàm giá f của BX tại x, và do đó
f−1(1) là một giá của BX.
Tính chất 2.2. Cho K là tập con lồi của không gian Banach X. Nếu H là một giá củaK trong X sao choH∩K ={x}vớix∈X,khi đó x∈Ext(K).
Chứng minh. Rõ ràng,x∈K.Nếux= 12(x1+x2) vớix16=x2,thì phần trong của đoạn[x1,x2]⊂K có một điểm trongH (là x), và do đó[x1,x2]⊂H∩K,
mâu thuẫn.
Định lý 2.11. (Krein, Milman)
ChoX là không gian Banach.
(i) NếuK ⊂X là compact yếu và lồi, thì K =conv(Ext(K)).
(ii) NếuK ⊂X∗ là compact yếu* và lồi, thì K =convw∗(Ext(K)).
Chú ý rằng ta có conv(Ext(K)) = convw(Ext(K)) theo tính lồi của conv(Ext(K)).Ta chỉ chứng minh i), việc chứng minh ii) là tương tự. Trong chứng minh, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằngX là không gian thực. Ta sẽ sử dụng bổ đề sau đây.
Bổ đề 2.3. Cho K là một tập con lồi compact yếu của không gian Banach thựcX. NếuH là một giá đóng củaK thì H chứa một điểm cực biên củaK.
Chứng minh. Lấy M là họ của tất cả các giá đóng của K chứa trong H và được sắp thứ tự bộ phận theo quan hệ bao hàm thức. Chú ý rằngM 6=∅ vì H∈M.
Nếu {Mα} là một dãy trong M, thì ∩Mα là một không gian con afin đóng và(∩Mα)∩K =∩(Mα ∩K)6=∅, vìMα∩K là compact yếu với mọi α. Nếu đoạn [x,y]⊂K có một điểm trong ở trong ∩Mα,thì [x,y]⊂Mα với mọiα. từ đóMα là giá củaK.Do đó [x,y]⊂ ∩Mα. Điều này nói rằng∩Mα là một giá đóng củaK.
Theo bổ đề Zorn, tồn tại phần tử cực tiểu M0 trong M. Ta sẽ chỉ ra rằng M0∩K là duy nhất, mà phải là điểm cực biên. Giả sử rằng, tồn tại x 6= y ∈ M0 ∩ K. Khi đó tồn tại f ∈ X∗ sao cho
f(x) 6= f(y). Vì M0∩K là compact yếu, theo nhận xét ở trên tồn tại k∈ K ∩M0 sao cho f(k) = α = sup
M0∩K
(f). Khi đó f−1(α) là một giá của M0∩K.M0 =M0∩ f−1(α) là không gian con afin (khác rỗng vìk∈M0),và ta nhận xét rằng nó là một giá củaK. Vì f(x) 6= f(y), ít nhất một trong hai không thuộc M0; tức là, M0 là tập con thực sự của M0, điều này mâu thuẫn với việcM0 là phần tử cực tiểu.
Chứng minh định lí 2.11 Lấy B = convw(Ext(K)). Nếu B 6= K, áp dụng Định lí 1.6 chọn c∈ K\B và tìm f ∈X∗ sao cho f(c) >sup
B
(f). Vì
α =sup
K
(f), xét H = f−1(α). Đây là siêu phẳng giá đóng của K, như vậy theo Bổ đề 2.3, H chứa điểm cực biên của K. Nhưng x 6= B vì
f(x) =α >sup
B
(f), mâu thuẫn.
Định nghĩa 2.10. Cho C là một tập con của không gian Banach X. Một miếng củaC là giao khác rỗng củaC với mỗi nửa không gian mở của X.
Ta nhận xét rằng các giao hữu hạn của các phần chia tạo thành một cơ sở của tôpô yếu.
mọix∈Ext(C), các miếng củaC chứaxtạo thành một cơ sở lân cận của x
trong tôpô yếu cảm sinh củaC.
Chú ý rằng kết quả tương tự đưa ra cho tôpô yếu* của X∗.
Chứng minh. Lấy V là một lân cận của x trong tôpô yếu cảm sinh của C có dạng V =Ve1∩...∩Vek, ở đó Vel là các miếng của C (Vel =Vi∩C và Vi là các nửa không gian mở trong X). Khi đó x ∈/ Sk
i=1 ((X\Vi)∩C). Do đó x∈/ conv k S i=1
((X\Vi)∩C bởi vì x là điểm cực biên của C. Vì bao lồi của số hữu hạn các tập lồi compact yếu là compact yếu, ta cóx∈/conv
k
S
i=1
((X\Vi)∩C).
Theo Định lí 1.6, tồn tại f ∈ X∗ vàα ∈ Rsao cho f(x)>α >sup{f(x):x∈
k
[
i=1
(X\Vi)∩C}.
Khi đó miếngC∩ {x∈X : f(x)>α}chứaxvà chứa trongV.
Định lý 2.12. ( Milman )
Cho C là một tập lồi compact yếu trong không gian Banach X. Nếu
B⊂C sao choconv(B) =C, thì Ext(C)⊂Bw.
Tương tự, nếu C là một tập con lồi compact yếu của X∗ và
convw∗(B) =C, thì Ext(C)⊂Bw
∗
.
Chứng minh. Giả sử rằng với x∈Ext(C) ta có x∈/ Bw. Khi đó tồn tại một miếngScủaC chứax∈C vàS∩B=∅.Vì vậy, tồn tại f ∈X∗ vàα ∈Rsao cho f(x) > α ≥ sup
B
(f). Theo tính chất tuyến tính của f, sup B (f) = sup conv(B) (f), do vậy f(x) > α ≥ sup conv(B)
(f). Điều này mâu thuẫn với việcC=conv(B).
Định lý 2.13. ( Banach- Stone )
Cho K, L là các không gian Banach. C(K) là đẳng cự tuyến tính với
C(L)khi và chỉ khi K vàLlà đồng phôi.
Chứng minh. Lấy ϕ là một đồng phôi từ K lên L. Định nghĩa ánh xạ T :
C(K)→C(L) vớiT(f) = f ◦ϕ−1. Đây là tiêu chuẩn để kiểm tra T là phép đẳng cự từC(K)lênC(L).
Giả sử rằngT là phép đẳng cự từC(K)lênC(L). Khi đóT∗ là phép đẳng cự . Vì vậyT(BC(K)∗) =BC(L)∗, vớil∈Lta cóT∗(δl) =ε(l)δkl, ở đókl ∈K vàε(l) =±1. Ánh xạ ς :l 7→ε(l)kl là liên tục vì T* là liên tục yếu* yếu*.
Bây giờ ta chỉ ra rằng hàm ε(l) là liên tục. Thật vậy, với x≡1 ta có thể viếtε(l) =ε(l)δkl(x) =T∗(δl)(x) =T(x)(l),như vậy δ =T(x) là liên tục. Khi đó ánh xạ ρ : L→K được định nghĩa bởi ρ(l) =kl,ρ = ς
ε, là ánh xạ 1-1 liên tục từL lênK.
Định nghĩa 2.11. Cho (X,k.k) là một không gian Banach. Cho C là một tập con bị chặn của X∗. Tập B ⊂C được gọi là biên James củaC nếu mọi
x∈X tồn tại g∈ B sao cho g(x) =sup{f(x) : f ∈C}. Tập B⊂ BX∗ được gọi là biên James củaX nếu nó là biên James của BX∗.
Tính chất 2.3. ChoX là không gian Banach. Khi đó Ext(BX∗)là biên James củaX.
Chứng minh. Cho trước x ∈ SX, xét H = {f ∈ X∗ : f(x) = 1}. Khi đó H là giá đóng yếu* của BX∗, tập mà chứa điểm cực biên của BX∗ theo Bổ đề 2.3.
Cho X là không gian Banach vàC là một tập con lồi đóng bị chặn của
X∗.Nếu Blà biên James tách được củaC, thìC=conv(B).
Đặc biệt, nếu tập con tách được B của BX∗ là sao cho conv(B)6= BX∗,
khi đó tồn tạix∈SX sao chox(f)<1với mọi f ∈B.
Định lí 2.14 nói chung không đúng nếu giả thiết tính chất tách của B
bị mất đi. Ví dụ, xét X =C[0,1] và B = { ±δt :t ∈ [0,1] ⊂ BX∗. Khi đó
conv(B)6=BX∗ và với mọi f ∈SX,tồn tại F ∈Bsao cho F(f) =1.
Lấy B là tập khác rỗng. Xét không gian `∞(B) với cận trên đúng-chuẩn chính tắc của nó. Nếu x=xb ∈`∞(B), ta kí hiệusup
B
(x) =sup{xb;b∈B}.
Nếu tồn tại b0 ∈ B sao cho xb0 = sup
B
(x), ta nói rằng x đạt được cận trên đúng của nó trên B. Trong chứng minh của Định lí 2.14, ta sẽ sử dụng các
kết quả dưới đây.
Bổ đề 2.5. ( Bất đẳng thức Simons [9])
Cho B là tập khác rỗng. Lấy {xn} là một dãy bị chặn trong `∞(B). Giả sử rằng với tất cả Λn ≥ 0, n∈ N, thỏa mãn ∞ ∑ n=1 Λn =1vectơ ∞ ∑ n=1 Λnxn đạt được cận trên đúng của nó trênB. Khi đó
sup
B
(lim
n sup(xn))≥inf{sup
B (x):x∈conv{xn}}. Chứng minh. ĐặtCk = ∞ ∑ n=k Λnxn :Λn≥0, ∑∞ n=k Λn =1 vớik∈N.Ta phải chứng tỏ rằng inf x∈C1sup B (x)≤sup B (lim n sup(xn)) (**) Lấyε >0. Chọn quy nạpzk ∈Ck sao cho vớik=0,1, ....
sup B (2kvk+zk+1)≤ inf z∈Ck+1sup B (2kvk+z) + ε 2k+1, Ở đó v0 =0 vàvk = k ∑ n=1 zn 2n vớik∈N. Đặtv= ∑∞ n=1 zn 2n
Vìzk+1 =2k+1vk+1−2k+1vk,ta có được2k+1vk+1−2kvk =2kvk+zk+1,
như thế áp dụng 2kv−2kvk = 2k ∑∞
n=k+1
zn
2n ∈Ck+1 ta có được với mọi k=0,1, ... sup B (2k+1vk+1−2kvk) ≤sup B (2kvk+ (2kv−2kvk) + ε 2k+1 =sup B (2kv) + ε 2k+1 =2ksup B (B) + ε 2k+1.
Vìv∈C1,ta có thể chọnt∈Bsao chov(t) =sup
B (v).Vìm −1 ∑ k=0 2k =2m−1, từ bất đẳng thức cuối ta có vớim∈N: 2mvm(t) =∑(2k+1vk+1−2kvk)(t) ≤(2m−1)sup B (v) +ε =2mv(t) +ε−sup B (v). Vì vậysup B (v) ≤2mv(t)−2mvm(t) +ε, và do đó inf x∈C1sup B (x)≤sup B (v)≤lim m sup(2mv−2mvm)(t) +ε ≤lim m sup(xm(t)) +ε
Áp dụng2mv−2mvm ∈Cm+1. Bất đẳng thức (**) xảy ra bởi vì ε >0 là tùy ý.
Nếu X là không gian Banach và B ∈ X∗, ta có thể xét X một tập con của `∞(B) với x = (f(x))f∈B. Chú ý rằng nếu B là biên James của X, thì
sup
B
(x) =kxkvà cận trên đúng là đạt được. Do đó ta có định lí sau.
Định lý 2.15. (Simons [9])
ChoBlà biên James của không gian BanachX.Nếu {xn}là dãy bị chặn trongX,thì
Chứng minh. Giả sửsup
B
(lim sup(xn))<α <sup
BX∗
(lim sup(xn)).Lấyf ∈BX∗
sao cholim sup(f(xn))>α.Không mất tính tổng quát giả sử rằng f(xn)>α với mọi n∈N. Nếu x∈ conv{xn}, từ chứng minh tính lồi tiêu chuẩn ta có
f(x) > α. Mặt khác, vì sup
B
(x) = kxk, từ Bất đẳng thức Simons tồn tại x∈conv{xn}sao cho kxk<α và do đó f(x)<α,mâu thuẫn.
Bây giờ ta chứng minh định lí tách Godefroy.
Chứng minh Định lí 2.14: Phản chứng, giả sử rằngC 6=conv(B).Theo Định lí tách, ta có thể tìm F ∈ SX∗∗, α < β,và y0∗ ∈C\conv(B) sao cho F(f)≤α với mọi f ∈BvàF(y0∗)>β.LấyS={x∈BX :y0∗(x)>β}.Sử dụng Định lí Goldstine ta nhận được rằngF ∈ Sw
∗
.Vì B là tách được, tôpô trên các tập bị chặn trongX∗∗ của sự hội tụ theo điểm trên B là khả mêtric. Do đó, tồn tại một dãy{xn} trong Smà hội tụ tới F trên các điểm của B.
Đặc biệt, f(xn)→F(f) f(xn) với f ∈B, do vậy
sup
B
(lim sup(xn)) =sup
B
(F)≤α.
Mặt khác, conv{xn} ⊂ S và y0∗ ∈C, do vậy sup
B
(x) = sup
C
(x) >β với x∈conv{xn}.Theo Bất đẳng thức Simons,
α ≥sup
B
(lim sup(xn))≥ inf
x∈conv{xn}sup
B
(x)≥β, mâu thuẫn.
Hệ quả 2.4. (Godefroy)
Cho X là không gian Banach. Nếu X có một biên James tách được, thì
X∗ là tách được.
Chứng minh. Nếu B là biên James tách được của X, thì theo Định lí 2.14 conv(B) =BX∗. Do đó, BX∗ và X∗ cũng là tách được.
Theo Tính chất 2.3 ta có kết quả dưới đây, kết quả thu được độc lập từ các tác giả .
Hệ quả 2.5. Cho X là không gian Banach tách được.Nếu Ext(BX∗) tách được thìX∗ là tách được.
Chúng ta cũng xem biên James ảnh hưởng thế nào tới các cặp đối ngẫu.
Hệ quả 2.6. Cho B là một biên James của không gian Banach X. Nếu
x∗∗∈X∗∗là giới hạn yếu* của một dãy bị chặn trongX,thìkx∗∗k=sup
f∈B
(x∗∗(f)).
Chứng minh. Lấy {xn} là một dãy bị chặn trong X sao cho xn
w*
−→x∗∗. Giả sử sup{x∗∗(f): f ∈B}< kx∗∗k. Khi đó ta có thể tìm x∗0 ∈ BX∗ và các số thực sao choα <β,với mọi f ∈B,
x∗∗(f)≤α <β <x∗∗(x0∗).
Ta có thể giả sửβ <xn(x∗0) với mọin∈N. Vì Blà biên James, theo Bổ đề 2.5 ta nhận được sự mâu thuẫn:
α ≥sup{x∗∗(f): f ∈B} ≥ inf
x∈conv{xn}sup{f(x): f ∈B} ≥β,
Đặc biệt, ta thu được hệ quả sau đây.
Hệ quả 2.7. Cho X là không gian Banach. Nếu mọi u ∈ SX∗∗ là giới hạn yếu* của một dãy trongBX, thì BX =conv(B) với mọi biên JamesBcủa X.
Xét một hàm f ∈ X∗. Ta nói rằng hàm đó đạt được cận trên đúng của nó trênC nếu tồn tại x∈C sao cho f(c) =sup{f(x);c∈C},và f ∈X∗ đạt được chuẩn của nó nếu tồn tạib∈B sao cho f(b) =kfk.
Định lý 2.16. ( Nguyên lí biến thiên Ekeland)
Choϕ là hàm bị chặn dưới nửa liên tục dưới từ không gian BanachX vào
R∪ {+∞}. Với mọiε >0,tồn tại x0 ∈X sao choϕ(x)≥ϕ(x0)−εkx−x0k
với mọix∈X.
Chứng minh. Lấyy1∈ X tùy ý và định nghĩa quy nạpyn+1 ∈X để
ϕ(yn+1) +εkyn−yn+1k ≤ inf{ϕ(x) +εkyn−xk;x∈X}+21n.(***) Khi đóϕ(yn+1)≤ϕ(yn+1)+εkyn−yn+1k ≤ϕ(yn)+21n.Vậylim(ϕ(yn)) tồn tại và hữu hạn. Hơn nữa,εkyn−yn+1k ≤ϕ(yn)−ϕ(yn+1) + 21n.
Vậy{kyn−yn+1k}là dãy Cauchy và do đó{yn}hội tụ. Lấyx0=lim(yn).
Theo (***), ta có
ϕ(yn+1) ≤ϕ(x) +εkx−ynk+ 1
2n −εkyn−yn+1k
Với mọix∈X và với mọi n∈N.Lấy giới hạn khin→∞,
ϕ(x0)≤ϕ(x) +εkx−x0k.
Định lý 2.17. ( Bishop, Phelps)
ChoX là một không gian Banach. Tập của tất cả các hàm trong X∗ mà hội tụ đến chuẩn của chúng là trù mật trongX∗.
Chứng minh. Lấy g∈ SX∗ và ε ∈(0,14), đặt ϕ(x) =kxk2−g(x) vớix∈X.
Để ý rằngϕ(x)≥ kxk2− kxk ≥ −14(cực tiểu hóa f(p) = p2−ptrên [0,∞)). Theo Định lí 2.16, tồn tạix0∈X sao choϕ(x)≥ϕ(x0)−εkx−x0kvới mọi x∈X. Như vậy,
Theo định lí tách áp dụng cho đồ thị trên của các hàm ở vế trái và đồ thị con của các hàm ở vế phải của bất đẳng thức này (cả hai cùng là các tập lồi), do đó tồn tại một hàm afin liên tục h trên X sao cho
kxk2−g(x)≥h(x) ≥ kx0k2−g(x0)−εkx−x0kvới mọix∈ X.
Chú ý rằngh(x0) =kx0k2−g(x0)và vế phải của bất đẳng thức trước chỉ rah(x)−h(x0)≥ −εkx−x0k.Ta khẳng định rằng x0 6=0.
Thật vậy, giả sử rằng x0 = 0. Khi đó h(x0) = k0k2−g(0) = 0 và h(x) ≥ −εkxk với mọi x∈X. Do đó, h là một hàm tuyến tính và khk ≤ε.
Vì kgk=1 và ε < 14, ta nhận được h+g6= 0. Chọn bất kì y∈ SX sao cho (h+g)(y) =a>0. Phần đầu của bất đẳng thức cho biết kxk2 ≥(g+h)(x) với mọix∈ X.Áp dụng cho x=ty vớit >0, ta cót2 ≥at; tức là,t ≥avới mọit >0. Nhưng điều này trái vớia>0,do vậy x0 6=0.
Nếu kxk = kx0k, thì (g+h)(x) ≤ kxk2 = kx0k2 = (g+h)(x0). Vậy, (g+h) bị hạn chế đến {x∈X;kxk=kx0k} đạt đến cận trên đúng của nó tạix0 và hàm tuyến tính f =g+h−h(0). Do đó f đạt tới chuẩn của nó và
kf −gk ≤ε, điều này theo tính chấthlà afin, do vậy
h(x)−h(0) =h(x+x0)−h(x0)≥ −εkxk.
Định lý 2.18. (James [8])
ChoC là tập con lồi đóng của không gian BanachX.C là compact yếu khi và chỉ khi mọi f ∈X∗ đạt được cận trên đúng của nó trênC tại điểm nào đó củaC.
Chú ý rằng nếu mọi f ∈X∗ đạt tới cận trên đúng của nó trênC,thìC là