Gọi H là chân đường cao của tứ diện hạ từ B xuống

cao của tứ diện hạ từ B xuống mặt phẳng (ACD)

 BH = AB. 23 3

Vì K là điểm bất kì trong tam giác ACD nên BK  BH. E là giao điểm của BK với mặt phẳng đối xứng nên AE = BE

 EA+ EK =EB + EK= BK  BH= AB. 2

3 . Đó là điều phải chứng minh.

 Ví dụ 3.2:

Cho hai phép đối xứng Đ(d) và Đ(p). Chứng minh rằng nếu: Đ(p).Đ(d) = Đ(d). Đ(p) thì (d) vuông góc với (p) Lời giải: Với điểm M bất kì, ta có: Đ(p): M M1,MM2  d tại H. Đ(d): '   1 , 1 ' M M M M  d tại K. Ta xét: Đ(d): M M2,MM1 P tại I. Đ(p): M2 M',M M2 ' P tại J.

SVTH: Đinh Thị Hải Yến - 28 - K30D - Toán Như vậy: Đ(p): M M1 M2 M' Nên MM2 M M1 ' và I K. Điều đó chứng tỏ: IK  P .

Vì I và K thuộc (d) nên    d  P Điều phải chứng minh.

 Ví dụ 3.3:

Cho hai đường thẳng (x) và (y) chéo nhau. Chứng minh rằng nếu tồn tại một phép đối xứng Đ(P) biến (x) thành (x) và (y) thành (y) thì (x) vuông góc với (y). Lời giải: Vì Đ(P):    x  x    y  y Do đó hoặc    x  P hoặc    y  P hoặc    y  P .

Do (x) và (y) chéo nhau nên (x) và (y) không thể hoặc cùng thuộc (P) hoặc cùng vuông góc với (P). Vì vậy    x  P thì    y  P hay    x  y .

 Ví dụ 3.4:

Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng (d) không thuộc (P). Gọi (d’) là ảnh của (d) qua phép đối xứng Đ(P) và (Q) là ảnh của (P) qua phép đối xứng Đ(d). Chứng minh rằng: Đ(d’) = Đ(P)Đ(d) Đ(P) và Đ(Q) = Đ(d)Đ(P) Đ(d).

Lời giải:

* Ta chứng minh tính chất 1: Đ(d’) = Đ(P)Đ(d) Đ(P).

Đặt Đ= Đ(P)Đ(d) Đ(P). Ta cần chứng minh đường thẳng (d’) là đường thẳng bất động của phép biến đổi Đ.

SVTH: Đinh Thị Hải Yến - 29 - K30D - Toán Đ(P) : M M' Q ( do Đ(P) :    d  d' ) Đ(d) : M'M' Đ(P) : M'M d' .

Vậy (d’) là đường thẳng bất động của phép biến đổi Đ(P)Đ(d) Đ(P). Với X d' ta có : Đ(P) : X  X1 và XX1  P tại H Đ(d) : X1X2 và X X1 2  d tại K Đ(P) : X2  X' và X X2 ' P tại I. Như vậy : Đ(P) : X1 X X2 X'

Do đó Đ(P) : KK' là trung điểm của XX’. Vì K d nên K' d' .

Mặt khác : X X1 2  d nên  d'  XX'. Hay (d’) là trục đối xứng của XX’. Vậy Đ(d’) = Đ(P)Đ(d) Đ(P).

* Ta chứng minh tính chất 2 : Đ(Q) = Đ(d)Đ(P) Đ(d).

Đặt Đ = Đ(d)Đ(P) Đ(d). Ta chứng minh (Q) là mặt phẳng bất động của phép biến đổi Đ.

Thật vậy, với M bất kì thuộc (Q) ta có :

Đ(d) : M M' P ( do Đ(d) :    P  Q ) Đ(P) : M'M' Đ(P) : M'M'

Đ(d) : M'M Q .

Vậy (Q) là mặt phẳng bất động của phép biến đổi Đ. Với X Q . Ta có :

SVTH: Đinh Thị Hải Yến - 30 - K30D - Toán Đ(P) : X1 X2 và X X1 2  P tại J. Đ(d) : X2  X' và X X2 ' d tại L. Như vậy : Đ(d) : X1 X X2 X'.

Do đó Đ(d) : J J' là trung điểm của XX’. Vì J P nên J' Q .

Mặt khác : X X1 2  P nên XX' Q . Vậy (Q) là mặt phẳng trung trực của XX’. Hay Đ(Q) = Đ(d)Đ(P) Đ(d).

 Ví dụ 3.5:

Chứng minh rằng nếu (P) là mặt phẳng đối xứng của một đường tròn thì (P) hoặc chứa nó hoặc (P) đi qua tâm đường tròn và vuông góc với mặt phẳng chứa nó.

Lời giải:

- Nếu (P) chứa đường tròn, thì mọi điểm thuộc đường tròn là bất động đối với phép đối xứng qua (P).

- Nếu (P) không trùng với mặt phẳng chứa đường tròn :

Gọi M là điểm bất kì thuộc đường tròn và M’ là ảnh của M qua (P). Khi đó

 P MM' tại trung điểm của MM’.

Vì MM’ thuộc mặt phẳng chứa đường tròn, nên mặt phẳng này vuông góc với (P).

Gọi (x) là giao tuyến của 2 mặt phẳng đó. Vì (x) là đường trung trực của MM’, nên (x) đi qua tâm của đường tròn.

Vậy nếu (P) là mặt phẳng đối xứng của một đường tròn thì (P) hoặc chứa nó hoặc (P) đi qua tâm đường tròn và vuông góc với mặt phẳng chứa nó.

SVTH: Đinh Thị Hải Yến - 31 - K30D - Toán

Tìm ảnh của đường thẳng (d) có phương trình:

0 0 0 x x at y y bt z z ct            trong phép đối xứng qua các mặt phẳng toạ độ.

SVTH: Đinh Thị Hải Yến - 32 - K30D - Toán

Lời giải:

Giả sử N a b c , , , khi đó ON

là véctơ chỉ phương của (d) ( O là gốc toạ độ. + Kí hiệu N’ là điểm đối xứng với N qua mặt phẳng (Oxy), khi đó toạ độ của N’ là a b, ,c và ON a b c' , , .

Ta xét điểm M x y z 0, 0, 0   d , điểm M'x y z', ', ' là ảnh của M qua phép đối xứng đó. Ta có x'x y0; ' y z0; 'z0.

Đường thẳng (d’) đối xứng với (d) qua (Oxy) có véctơ chỉ phương ON'

và đi qua điểm M’, khi đó phương trình của (d) có dạng :

0 0 0 ' ' ' x x at y y bt z z ct             ( t’ là tham số ) Tương tự ta có :

+ Phương trình của (d’’) đối xứng với (d) qua mặt phẳng (Oxz) là :

0 0 0 '' '' '' x x at y y bt z z ct             ( t’’ là tham số )

+ Phương trình của (d”’) đối xứng với (d) qua mặt phẳng (Oyz) là : 0 0 0 ''' ''' ''' x x at y y bt z z ct             ( t’’’ là tham số )  Ví dụ 3.7:

Cho điểm A a a a , ,  với a0. Tìm toạ độ các đỉnh của hình lập phương ABCDA’B’C’D’ nhận các mặt phẳng toạ độ làm mặt phẳng đối xứng.

Lời giải:

Ta có : Đ(Oxy) : AA' A a a' , ,a

SVTH: Đinh Thị Hải Yến - 33 - K30D - Toán A'B' Ba a a, ,  B'a a, ,a Đ(Oxz) : BC B'C' AD A'D' C a, a a,  C'  a, a, a D a ,a a,  D a' , a, a.  Ví dụ 3.8: Cho mặt phẳng (P) và 2 điểm A, B nằm về một phía với (P). Tìm trong (P) điểm M sao cho ( MA + MB ) là nhỏ nhất.

Lời giải:

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua mặt phẳng (P).

Nối A’B cắt mặt phẳng (P) tại M, ta được M là điểm cần tìm ( hình vẽ ).

Thật vậy: Giả sử M’ là điểm bất kì thuộc (P), M’M. Ta có: M’A + M’B = M’A’ + M’B A’B = MA + MB.

SVTH: Đinh Thị Hải Yến - 34 - K30D - Toán

4. Bài tập.

 3.1. Trong không gian cho một hình thang cân. Chứng minh rằng: nếu (P) là mặt phẳng đối xứng của hình thang không chứa nó, thì (P) phải vuông góc với mặt phẳng hình thang và đi qua trục đối xứng của hình thang.

 3.2. Trong không gian cho một hình bình hành có hai cạnh liên tiếp khác nhau. Chứng minh rằng: Nếu hình bình hành đó có mặt phẳng đối xứng không chứa nó, thì các góc của hình bình hành bằng 900

.

 3.3. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau và không vuông góc với nhau. Gọi (R) là ảnh của (Q) qua phép biến đổi Đ(P).

Chứng minh rằng: Đ(P)Đ(Q) Đ(P) = Đ(R) .

 3.4. Cho góc tam diện Oxyz. Chứng minh rằng 3 mặt phẳng đối xứng của 3 góc phẳng không chứa các góc đó cắt nhau theo một giao tuyến.  3.5. Trong không gian cho 3 tia Ox, Oy, Oz không cùng nằm trong

một mặt phẳng và thoả mãn điều kiện   0

90

xOyxOz . Chứng minh rằng mặt phẳng đối xứng của góc yOz không chứa nó đi qua tia Ox.

 3.6. Chứng minh rằng nếu (P) là mặt phẳng đối xứng của một hình nón tròn xoay (N), thì (P) đi qua trục của (N).

 3.7. Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng (d) vuông góc với (P) tại O. Ta đặt Z = Đ(P) Đ(d) và Z’ = Đ(d)Đ(P). Chứng minh rằng Z và Z’ là các phép đối xứng qua điểm O.

 3.8. Tìm ảnh của mặt phẳng (P) có phương trình :

Ax + By + Cz + D = 0 trong phép đối xứng qua các mặt phẳng toạ độ.  3.9. Tìm ảnh của mặt cầu (W) có phương trình :

SVTH: Đinh Thị Hải Yến - 35 - K30D - Toán

  2  2 2 2

0 0 0

xx  yy  z z R trong phép đối xứng qua các mặt phẳng toạ độ.

 3.10. Tìm ảnh của gốc toạ độ trong phép đối xứng qua mặt phẳng:

3

x  y z

 3.11. Cho mặt phẳng (P) và 2 điểm A, B nằm khác phía với (P). Tìm trong (P) diểm M sao cho MA MB là lớn nhất.

 3.12. Cho mặt phẳng (P) và 2 đường thẳng (x), (y) nằm về một phía với (P) và cùng song song với một mặt phẳng thuộc (P). Hãy tìm điểm M trong (P) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 đường thẳng đó đạt giá trị nhỏ nhất.

SVTH: Đinh Thị Hải Yến - 36 - K30D - Toán