Đa thức một biến trên các trờng số Đ1 Đa thức với hệ số thực và phức
1.3.1. Định nghĩa Giả sử f(x) là đa thức với hệ số thực không có nghiệm bội.
Ta định nghĩa dãy Stuyếc đối với f trên [a,b] là một hệ thống có thứ tự các đa thức {f f f f fm} s) , ,..., ( ' 1 0 = = = có các tính chất sau :
1. Đa thức cuối cùng fm không có nghiệm thực.
2. Với mọi 0 j m 1≤ ≤ − đều không tồn tại x [a,b]∈ để fj(x) = fj+1(x) = 0. 3. Nếu x [a,b]∈ và fj(x) = 0 với j nào đó, 0 j m 1≤ ≤ − thì fj - 1(x) fj + 1(x) < 0. 4. fj(a) ≠ 0 và fj(b) ≠ 0 với mọi j = 0,m.
Nếu dãy (s) thoả mãn 1, 2, 3 ta nói đó là dãy Stuyếc trên (-∞, +∞).
1.3.2. Định lý. Mọi đa thức f(x) không có nghiệm bội có dãy Stuyếc trên (-∞,+∞).Chứng minh. Nh trong định nghĩa của dãy (S), ta đặt f0 = f , f1 = f’ để tìm f2 ta Chứng minh. Nh trong định nghĩa của dãy (S), ta đặt f0 = f , f1 = f’ để tìm f2 ta chia f cho f1 đợc phần d r2 đặt f2 = - r2 cứ nh thế tiếp tục ta xác định các fk theo công thức quy nạp fk-1(x) = fk(x) - qk(x) - fk+1(x); k = 1,n−1 (1).Bởi vì thuật chia Euclide không thay đổi kết quả cuối cùng là UCLN của hai đa thức khi ta tiến hành chia các phần d liên tiếp sau khi đã đổi dấu chúng, nên tồn tại m để f(m) = (f,f’). Xét dãy {f f,f f',...,fm}
1
0 = = (2) .Do f không có nghiệm bội nên fm không có nghiệm thực có nghĩa điều kiện (1) của dãy Stuyếc đợc thoả mãn. Giả sử fk
và fk+1 có nghiệm thực chung α, 0≤k≤m−1. Do (1) , α đồng thời là nghiệm của fk-1 và cũng do (1) với k thay bội k-1, α là nghiệm chung của fk-1 và fk. Do đó α là nghiệm chung của f’ và f, trái với giả thiết,vây điều kiện (2) của dãy Stuyếc đợc thực hiện. Cuối cùng cũng từ (1) ta suy ra nếu fk(α) = 0 thì fk-1(α) = -fk+1(α) ≠ 0 điều kiện 3 của dãy Stuyếc đợc thực hiện. □
Ví dụ. Tìm dãy Stuyếc của f(x) = x3 + 3x - 1 . Ta có : f’(x) = 3x2 + 3 ⇒ f1(x) = x2 + 1 f(x) = (x2 + 1)x - (-2x + 1) ⇒ f2(x) = - 2x + 1 f1(x) = ( -2x +1)(- 4 1 2 1 − x ) + 4 5 ⇒ f3(x) = -1
Vậy dãy Stuyếc là : x3 + 3x - 1 , x2 + 1, -2x + 1, - 1, đối với x thuộc R tuỳ ý ta ký hiệu ws(x) là số lần đổi dấu của dãy (s) tại x. Tức là số lần đổi dấu của dãy số {f0, f1,...., fm} sau khi đã bỏ đi các số hạng bằng không.
1.3.3. Định lý. Cho {f0, f1,...., fm} là dãy Stuyếc của f trên [a,b] khi đó sốnghiệm thực của f trong [a,b] là : ws(a) - ws(b). nghiệm thực của f trong [a,b] là : ws(a) - ws(b).
Chứng minh. Chú ý rằng nếu α1 < α2<...<αr là dãy thứ tự các nghiệm thực của các đa thức fk trong [a,b] ( k = 0,m) thì ws(x) không đổi trong mở giữa các nghiệm ( Định lợng giá trị trung bình đối với hàm liên tục ). Thành thử chỉ cần chứng minh rằng có đúng một nghiêm α của một đa thức fk vào đó trong [a,b] thì
1 nếu α là nghiệm của f ws(a) - ws(b) =
0 nếu α không là nghiệm của f
Trớc hết, giả sử α là nghiệm của fk nào đó với 0≤k ≤m−1. Thế thì theo điều kiện 3 của Stuyếc fk-1(α).fk+1(α) < 0 và dấu này không đổi khi thay α bởi a và b. Nh vậy số lần thay đổi của hai dãy {fk−1(a), fk(a), fk+1(a)}và
{fk−1(b), fk(b), fk+1(b)} là bằng 1. Có ý nghĩa là nếu f(α) ≠ 0 thì ws(a) - ws(b). Bởi vậy, giả sử f(α) = 0, khi đó f(a)f(b) < 0. Nhng f’(a)f’(b) cùng dấu, do đó trong trờng hợp này ws(a) = ws(b) +1. Định lý đợc chứng minh. □
Ví dụ. Hãy tìm số nghiệm thực của thức f(x) = x3 + 3x - 1.
Theo trên ta có dãy Stuyếc trên [-∞,+∞] là x3 + 3x - 1, x2 + 1, -2x + 1, -1. Lập bảng
x f(x) f1(x) f2(x) f3(x) w(x)
-∞ - + + - 2
∞
+ + + - - 1
Vậy w(-∞) - w(+∞ ) = 2-1 = 1 nên f có một nghiệm thực.