1. Lí thuyết
- Trong một đường tròn :
+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm. + Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau. - Trong hai dây của một cung tròn :
+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
-Đường kính là dây cung lớn nhất của đường tròn.
2. Bài tập vận dụngBài 1 Bài 1
Cho tam giác ABC có BD và CM là hai đường cao.
Chứng minh rằng DM < BC.
Lời giải
đường tròn đường kính BC.
DM là dây cung khác đường kính của
đường tròn đường kính BC
( đường kính là dây cung lớn nhất của đường tròn) DM < BC. (đpcm)
Bài 2
Cho hình vuông ABCD cạnh a. M,N là hai điểm ở trong hình vuông ABCD. Chứng minh rằng MN a .
Lời giải
ABCD là hình vuông cạnh a. => AC = AB = a
Vẽđường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD
=>Đường kính của (O) là a , M và N là hai điểm nằm trong (O). Gọi M’N’ là dây cung đi qua M và N.
Ta có MN M’N’ mà M’N’ a (đường kính là dây cung lớn nhất trong đường tròn).
Do đó MN a .
Bài 3
Cho tứ giác ABCD có và tù. Chứng minh rằng AC < BD.
Lời giải
Giả sử AB CD
Vẽđường tròn đường kính BD.
Do đó A và C ở bên trong đường tròn đường kính BD.
Do vậy AB CD là vô lí vì đường kính
là dây cung lớn nhất của đường tròn. Ta có : AB CD là sai.
Vậy AC < BD.
Bài 4
Cho đường tròn (O), hai dây cung AB và CD ( AB > CD). Hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M. Gọi H và K lần lượt là hai hình chiếu vuông góc của O trên hai đường thẳng AB và CD. Chứng minh
rằng:
MH > MK.
Lời giải Cách 1
AB > CD OH < OK
( định lí dây cung và khoảng cách đến tâm) có theo định lí Pitago ta có OH2+ MH2 = OM2 có theo định lí Pitago ta có OK2+ MK2 = OK2 Do đó OH2+ MH2 = OK2+ MK2 OH < OK nên OH2< OK2 Suy ra MH2> MK2 Suy ra MH > MK Cách 2
Vẽđường tròn (O;OM). Các tia MA; MC lần lượt cắt (O;OM) tại E; F. ( ) Xét (O;OA) có AB > CD
OH < OK.
( định lí dây cung và khoảng cách đến tâm) Xét (O;OM) có OH < OK
ME > MF.
( định lí dây cung và khoảng cách đến tâm) Xét (O;OM) có và
Suy ra (định lí đường kính và dây cung) Từđó suy ra MH > MK.
Cách 3
Vẽđường tròn đường kính OM. Tâm I là trung điểm OM.
Vẽ , ( )
, (gt) IE // OH Mà I là trung điểm OM.
Do đó IE là đường trung bình của
Tương tự
Xét (O;OA) có AB > CD OH < OK (định lí dây cung và khoảng cách
đến tâm) do đó IE < IF.
Xét (I;IM) có IE < IF MH > MK (định lí dây cung và khoảng cách đến tâm).
Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy một điểm D sao cho AD = AC. Dựng đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác DBC. Từ O lần lượt hạ các
đường vuông góc với BC và BD. Các đường vuông góc này cắt BC và BD lần lượt ở H và K. Chứng minh rằng OH > OK và ( với
là những cung nhỏ của đường tròn tâm O).
Lời giải
Xét tam giác ABC có:
Mà AD = AC (giả thiết)
Nên BC < AB + AD hay BC < BD.
Suy ra OH > OK (dây nào lớn hơn thì gần tâm hơn).
Vì BC < BD nên ( dây lớn hơn căng cung lớn hơn).
Bài 6
Cho đường tròn (O), M là điểm bên trong (O) ( M khác O). Qua M vẽ hai dây AB, CD của (O), AB vuông góc với OM và CD không vuông góc với OM. Chứng minh rằng AB < CD.
Lời giải
Giả sử AB CD (1)
Vẽ ( ) rõ ràng M H
OH < OM CD > AB (2) (định lí dây cung và khoảng cách đến tâm) (1) và (2) mâu thuẫn !
Vậy AB CD là sai. Do đó AB < CD.