Bài 1. Tìm các hàm số f: N → N thoả mãn ựòng thời các ựiều kiện sau i) f(2n) = f(n) + n
ii) f(n) là số chắnh phương thì n là số chắnh phương iii) f là hàm tăng nghiêm ngặt.
Bài 2. Tìm tất cảc các số nguyên dương n sao cho 2n + 1 và 3n + 1 ựều là số chắnh phương. Khi ựó chứng minh rằng n chia hết cho 40.
Bài 3. Chứng minh rằng tổng của 3, 4, 5, hoặc 6 số nguyên liên tiếp không thể là số chắnh phương.
Bài 4. (IMO 86) Cho d là một số nguyên khác 2, 5, 13. Chứng minh rằng luôn tìm ựược hai số nguyên a, b phân biệt trong tập {2, 5, 13, d} sao cho ab - 1 không phải số chắnh phương.
Bài 5. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho luỹ thừa 4 của số ước của n chắnh bằng
n.
Bài 6. Chứng minh rằng bình phương của một số nguyên lẻ luôn có dạng 8k + 1.
Bài 7. (Hungari 1998) Cho x, y, z là các số nguyên và z > 1. Chứng minh rằng (x + 1)2 + (x + 2)2 + ... (x + 99)2 ≠ yz.
Bài 8. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì giữa n2 và (n + 1)2 luôn tồn tại ba số tự nhiên phân biệt a, b, c sao cho a2 + b2 ⋮ c2.
Bài 9. Cho n là số tự nhiên có số ước số tự nhiên là s. Chứng minh rằng tắch tất cả các ước số ựó bằng n ns .
Bài 10. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương x, y sao cho (x + 1)y - 1 = x!
Bài 11. Tìm các số nguyên tố p sao cho tồn tại các số nguyên dương n, x, y thỏa mãn
Bài 12. Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu 2n+1 và 3n + 1 là các số chắnh phương thì 5n + 3 không phải số nguyên tố.
Bài 13. Cho a và b là hai số nguyên dương. Số (36a + b)(a + 36b) có thể là luỹ thừa của 2 ựược hay không?
Bài 14. Cho tập A gồm các số nguyên dương và |A| > 3. Biết rằng tắch ba phần tử bất kì của A ựều là số chắnh phương. Chứng minh rằng mọi phần tử của A ựều là số chắnh phương.
Bài 15. Cho n là một số nguyên dương sao cho 2 28n2 +1 là một số nguyên. Chứng minh rằng 2 + 2 28n2 +1 là một số chắnh phương.
Bài 16. Cho a, b, c là các số nguyên dương sao cho 0 < a2 + b2 - abc ≤ c Chứng minh rằng a2 + b2 - abc là một số chắnh phương.
Bài 17. Cho a và b là các số nguyên dương sao cho a2 + b2 chia hết cho ab + 1. Chứng minh rằng 1 2 2 + + ab b a là một số chắnh phương.
Bài 18. Cho x, y, z là các số nguyên dương.
Chứng minh rằng (xy + 1)(yz +1)(zx + 1) là các số nguyên dương khi và chỉ khi xy + 1,
yz +1, zx + 1 ựều là số chắnh phương.
Bài 19. Cho a và b là các số nguyên sao cho với mọi số không âm n thì 2na = b ựều là số chắnh phương. Chứng minh rằng a = 0.
Bài 20. Cho p là một số nguyên dương lẻ. Chứng minh rằng tổng các luỹ thừa bậc p của p
số nguyên liên tiếp chia hết cho p2.
Bài 21. Tìm các số nguyên dương n sao cho n.2n + 3n chia hết cho 5.
Bài 22. Tìm các số nguyên dương n sao cho n.2n + 3n chia hết cho 25.
Bài 23. Tìm các số tự nhiên n sao cho nn + 1 + (n + 1)n chia hết cho 5.
Bài 24. Tìm các số nguyên dương m, n, k lớn hơn 1 sao cho 1! + 2! +... + n! = mk.
Bài 25. Tìm các số nguyên tố có dạng 22002n +17
(n là số tự nhiên) biểu diễn dưới dạng hiệu lập phương của hai số tự nhiên.