1. Vectơ n chiều và khụng gian vectơ n chiều
1.1. Vectơ n chiều 1.1.1. Cỏc định nghĩa * Bộ n số thực (x1,x2,...,xn) là vectơ n chiều. * Kớ hiệu: X = (x1,x2,…,xn) *Vectơ khụng là vectơ cú tất cả cỏc thành phần bằng khụng, kớ hiệu là 0 * Vectơ đơn vị là vectơ cú 1 thành phần bằng 1, cũn cỏc thành phần khỏc bằng khụng , kớ hiệu Ei = (0,…,0,1,0,...,0) * Hai vectơ n chiều X và Y bằng nhau. Kớ hiệu X = Y khi xj = yj (j = 1,…,n) 1.1.2. Cỏc phộp toỏn vectơ X + Y = ( x1+y1, x2+y2,..., xn+yn) kX = (kx1,kx2,…,kxn) kX = -X = (-x1,-x2,…,-xn) X + (-Y) = X – Y
*Tớnh chất cỏc phộp toỏn về vectơ n chiều
X ,Y, Z là cỏc vectơ n chiều và a, b thuộc R: X + Y= Y + X (X + Y) + Z = X + (Y + Z) Y + 0 = 0 + Y X + (-X) = 0 1.X = X (a + b).X = aX + bX a(bX) = (ab)X
a(X + Y) = aX + bY
1.2. Khụng gian vectơ n chiều
Tập hợp tất cả cỏc vec tơ n chiều với 2 phộp toỏn cộng và nhõn với một số thực. 2. Độc lập tuyến tớnh, phụ thuộc tuyến tớnh
k1A1 + k2A2 + ….+ knAn = phụ thuộc tuyến tớnh khi cỏc số thực k1, k2,…, kn khụng đồng thời bằng khụng.
k1A1 + k2A2 +…. + knAn = 0 độc lập tuyến tớnh khi cỏc số thực k1, k2,…, kn = 0 3. Một số tớnh chất của hệ độc lập và phụ thuộc tuyến tớnh
+ (X) phụ thuộc tuyến tớnh X 0
+ (X) độc lập tuyến tớnh X 0
+ Nếu tồn tại j thuộc I thỡ hệ A phụ thuộc tuyến tớnh. + Nếu hệ A độc lập tuyến tớnh thỡ A # 0.
+ Nếu A độc lập tuyến tớnh thỡ hệ con cũng độc lập tuyến tớnh.
+ Nếu hệ con phụ thuộc tuyến tớnh thỡ hệ ban đầu cũng phụ thuộc tuyến tớnh. + Hệ (A1, A2,…, An), với n > 2 phụ thuộc tuyến tớnh khi một vectơ của hệ biểu thị tuyến tớnh.
+Nếu 1 vectơ biểu thị tuyến tớnh thỡ đú là biểu thị duy nhất.
4. Hệ vectơ đường chộo Cú dạng sau:
X1 = (x11, x12,…, x1r,…, x1n) X2 = (0, x22,…, x2r,…, x2n) ………
Xr = (0 , 0 ,…., xrr,…., xrn) (r < n) 5. Cơ sở và hạng của một hệ vectơ hữu hạn
* cơ sở
Hệ con của hệ (A1,A2,…,An)độc lập tuyến tớnh cực đại hay cơ sở nếu nú độc lập tuyến tớnh và mọi vectơ của hệ là tổ hợp tuyến tớnh của cỏc vectơ trong hệ đú
*Hạng của vectơ
Hạng của ma trận A = Hạng của hệ (A1, A2,…, An)
*Định lý: Trong Rn nhiều hơn n vector thỡ phụ thuộc tuyến tớnh 6. Cơ sở của khụng gian Rn
Hệ (A1, A2,…, An) gọi là cơ sở của Rn nếu nú độc lập tuyến tớnh và mọi vectơ của hệ đều là tổ hợp tuyến tớnh cỏc vectơ của nú.
* Định lý: Mọi hệ gồm n vectơ độc lập tuyến tớnh trong Rn đều là cơ sở của Rn. 7. Tọa độ vec tơ đối với một cơ sở
Giả sử B = (X1, X2,…, Xn) là một cơ sở của Rn Và X là một vectơ tựy ý của Rn khi đú:
X = a1X1 + a2X2 + …+ anXn, vậy (a1, a2,…, an) gọi là tọa độ của vectơ X đối với cơ sở B. 8. Chuyển cơ sở Giả sử B = (X1, X2,…, Xn) là cơ sở cũ. Và B” = ( X”1, X”2,…, X”n) là cơ sở mới của Rn. Ta cú : X”j = t1jX1 + t2jX2 +…+ tnjXn, j= 1,2,…,n. Ma trận vuụng cấp n t11 … t1n T= … … … tn1 … tnn
Trong đú cột thứ j của T là tọa độ của X” trong đú B gọi là ma trận chuyển cơ sở từ B sang B”
9. Phộp biến đổi tuyến tớnh
Phộp biến đổi tuyến tớnh trong Rn là một ỏnh xạ f: Rn Rn thỏa món cỏc điều kiện sau:
f (X + Y)= f(X) + f(Y) (X, Y thuộc Rn) f(aX) = af(X)
10. Ma trận của phộp biến đổi tuyến tớnh
Giả sử U =(U1, U2,…, Un) là một cơ sở nào đú của khụng gian Rn xột f : RnRn
Ta cú biểu diễn cỏc ảnh f(Ui), i = 1, 2,…, n qua cơ sở U:
f(U1) =