5. Khái quát về nội dung và phạm vi nghiên cứu
2.1.3. Quá trình trung bình trƣợt tự hồi quy ARMA
Cơ chế sản sinh ra Y không chỉ là AR hoặc MA mà có thể kết hợp cả hai yếu tố này. Khi kết hợp cả hai yếu tố, mô hình đƣợc gọi là mô hình trung bình trƣợt tích hợp tự hồi quy ARMA. Yt là quá trình ARMA(1,1) nếu Y có thể biểu diễn dƣới dạng:
1 1 0 1 1 t t t t Y Y u u trong đó: ut là nhiễu trắng.
Tổng quát, Yt là quá trình ARMA(p,q) nếu Y có biểu diễn dƣới dạng:
1 1 ... 0 1 1
t t p t p t t q t q
19
2.1.4.Quá trình trung bình trƣợt, tích hợp tự hồi quy ARIMA
Một chuỗi thời gian có thể dừng hoặc không dừng. Chuỗi không dừng đƣợc gọi là tích hợp bậc 1, đƣợc kí hiệu là I(1), nếu sai phân bậc nhất là chuỗi dừng. Chuỗi đƣợc gọi là tích hợp bậc d, nếu sai phân bậc d là chuỗi dừng, ký hiệu là I(d). Nếu d = 0 thì chuỗi xuất phát là chuỗi dừng.
Nếu chuỗi Yt tích hợp bậc d, áp dụng mô hình ARMA(p,q) cho chuỗi sai phân bậc d thì có quá trình ARIMA(p,d,q). Trong ARIMA(p,d,q), d là số lần lấy sai phân chuỗi Yt để đƣợc một chuỗi dừng, p là bậc tự hồi quy, q là bậc trung bình trƣợt, p và q là bậc tƣơng ứng của chuỗi dừng.
AR(p) là trƣờng hợp đặc biệt của ARIMA(p,d,q) với d = 0, q = 0. MA(q) là trƣờng hợp đặc biệt của ARIMA(p,d,q) với d = 0 và p =0.
ARIMA(2,1,2) – nghĩa là chuỗi Yt có sai phân bậc 1 là chuỗi dừng, chuỗi sai phân dừng này có thể biễu diễn dƣới dạng ARMA(2,2):
1 1 2 2 0 1 1 2 2
t t t t t t
Y Y Y u u u
trong đó ut là nhiễu trắng.
Nhƣ vậy nếu biết các tham số p, q, d khi đó ta có thể mô hình hóa đƣợc chuỗi. Vấn đề đặt ra là xác định p, q, d và các tham số 𝜃,.