§5. Mˆ o.t sˆo´ toa ´n tu. ’ tu.. liˆ en hiˆ e.p ......

M˘a.t kha´ c, do Ay, x=y, Ax= Ax, y nˆen

Vˆa.y 4|ReAx, y|=|A(x+y), x+y − A(x−y), x−y| ≤α x+y2₊x−y2 = 2α x2₊y2 .

V´o.i x ∈ H ma` x = 1, nˆ´ue Ax = 0, ta d¯˘a.t y = ^Ax

Ax^{, khi d¯o´ y = 1.}

Thay x, y va`o bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c trˆen va` ru´ t go.n ta d¯u.o..c Ax ≤α. T`u. cˆong th´u.c tı´nh chuˆa’n ta suy ra

A = sup

x=1Ax ≤α.

Vˆa.y A=α = sup

x=1{|Ax, x|} va` d¯i.nh ly´ d¯u.o._{. c ch´}u.ng minh.

Sau cu`ng ta xe´ t mˆo.t tı´nh chˆa´t cu’a toa´ n tu.’ tu.<sub>. liˆ</sub>en hiˆe.p ma` no´ chı’ d¯u´ ng trong khˆong gian Hilbert ph´u.c.

4.2.2 D- i.nh ly´. Cho H la` mˆo<sub>. t khˆ</sub>ong gian Hilbert ph´u.c va` A ∈ L(H). D- iˆe` u kiˆe.n cˆa` n va` d¯u’ d¯ˆe’ A tu.<sub>. liˆ</sub>en hiˆe.p la` Ax, x ∈ R v´o.i mo_{. i} x∈H.

Ch´u.ng minh.

• D- iˆe` u kiˆe.n cˆa` n. Gia’ su.’ _A=A^∗_{, khi d¯o´ v´}o.i mo.i x∈H ta co´

Ax, x=x, Ax =Ax, x.

Vˆa.y Ax, x ∈R.

• D- iˆe` u kiˆe.n d¯u’. Cho x, y ∈ H. D- ˘a.t a = Ax, x, b = Ay, y, c = A(x+

y), x+y, d =A(x+iy), x+iy. Theo gia’ thiˆ´t ta coe ´ a, b, c, d∈R. Ngoa`i ra

c=Ax, x+Ay, y+Ax, y+Ay, x

=a+b+Ax, y+Ay, x

Tu.o.ng tu._{. ,} d=a+b−iAx, y+iAy, x.

T`u. d¯o´ suy ra

Ax, y+Ay, x=c−(a+b) = u∈R,

−iAx, y+iAy, x=d−(a+b) =v ∈R.

Nhu. vˆa.y u+iv= 2Ax, y, u−iv= 2Ay, x nˆen Ax, y=Ay, x=x, Ay.

B `AI T ˆA_{. P}

1. Gia’ su.’ _{M l`a khˆong gian con d¯´ong cu’a khˆong gian Hilbert H v`a x}^∗ <sub>l`a</sub> phiˆe´m h`am tuyˆe´n t´ınh liˆen tu.c trˆen M. Ch´u.ng minh r˘a`ng tˆo`n ta.i mˆo.t phiˆe´m h`am tuyˆe´n t´ınh liˆen tu.c duy nhˆa´t ˜x trˆen H sao cho ˜x|M =x<sup>∗</sup> v`a x^∗ =x˜.

2. Gia’ su.’ (a_jk), j, k = 1,2, . . . l`a mˆo.t ma trˆa.n vˆo ha.n v´o.i a<sub>jk</sub> l`a nh˜u.ng sˆo´ ph´u.c thoa’ m˜an d¯iˆ` u kiˆe.ne ^∞

j=1

∞

k=1|ajk|2 _< ∞. Ta x´ac d¯i.nh ´anh xa. A : ² → ²

nhu. sau: v´o.i x= (ξj)j ∈², Ax= (ηj)j trong d¯´o

ηj =

∞

k=1

ajkξk, j = 1,2, . . .

a) Ch´u.ng minh A l`a to´an tu.’ tuyˆe´n tı´nh liˆen tu.c t`u.² v`ao ².

b) X´ac d¯i.nh to´an tu’ liˆen hiˆe.p^. A^∗ cu’a A. Nˆeu d¯iˆ` u kiˆe.n d¯ˆe’e A l`a to´an tu.’ tu._. liˆen hiˆe.p.

3. Ch´u.ng minh r˘a`ng to´an tu.’ A: L²[0,1] →L²[0,1] x´ac d¯i.nh bo’ i cˆ^. ong th´u.c

Ax(t) = t

0

x(s)ds, t ∈[0,1]

l`a to´an tu.’ tuyˆe´n t´ınh liˆen tu.c. T`ım to´an tu.’ liˆen hiˆe.p A^∗ cu’a A.

4. T`ım to´an tu.’ liˆen hiˆe.p cu’a to´an tu.’A: L²[0,1]→ L²[0,1] x´ac d¯i.nh bo’ i^.

Ax(t) = t

0

tx(s)ds, t∈[0,1].

5. Gia’ su.’ (En)n l`a mˆo.t d˜ay gia’m c´ac tˆa.p lˆo`i, d¯´ong trong khˆong gian Hilbert H. V´o.i mo.i x ∈ H, ta k´y hiˆe.u d_n(x) l`a khoa’ng c´ach t`u. x d¯ˆe´n E_n. D- ˘a.t

d(x) = lim

n→∞^dn(x).

a) Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u v´o.i ´ıt nhˆa´t mˆo.t x ∈ H sao cho d(x) l`a h˜u.u ha.n th`ıd(x) h˜u.u ha.n v´o.i mo.i x ∈H. T`u. d¯ˆay vˆ` sau ta gia’ thiˆe´t nhu. vˆe a.y. K´y hiˆe.u

A(x, , n) =En∩B(x, d(x) +) trong d¯´o >0, B(x, d(x) +) l`a h`ınh cˆ` u d¯´a ong tˆam x, b´an k´ınh d(x) +.

b) Ch´u.ng minh r˘a`ng khi tiˆe´n d¯ˆe´n 0 v`a n tiˆe´n d¯ˆe´n vˆo tˆa.n, d¯u.`o.ng k´ınh cu’a

A(x, , n) tiˆe´n d¯ˆe´n 0.

c) T`u. d¯´o suy ra E =<sub>n</sub><sup>∞</sup>∩<sub>=1</sub>E<sub>n</sub> = ∅ v`a d(x) = d(x, E).

Cho {x₁, x₂, . . . , xn. . .} l`a mˆo.t hˆe. tru. c giao d<sup>. ¯ˆe´m d¯u.o.</sup>. c c´<sup>ac vecto. trong H.</sup> Ch´u.ng minh 3 mˆe.nh d¯ˆe` sau l`a tu.o.ng d¯u.o.ng:

a)

∞

n=1

x_n hˆo.i tu. ma.nh trong H (hˆo.i tu. theo chuˆa’n). b)

∞

n=1

xn hˆo.i tu. yˆe´u. c) ∞ n=1 xn2 _hˆo.i tu.. §5. M ˆO_{. T S}O^ˆ´ TO ´AN TU’ TU.^. _{. LIEN HI ˆ}ˆ _{E. P} 5.1 Da_{. ng Hermite.}

Cho H la` mˆo.t khˆong gian Hilbert, A la` toa´ n tu.’ tu._{. liˆ}en hiˆe.p trˆen H. Xe´ t phiˆ´m hae `m h: H ×H → K xa´ c d¯i.nh bo’ i cˆ^. ong th´u.c

h(x, y) = Ax, y, ∀x, y ∈H.

Khi d¯o´ ta co´ ca´ c tı´nh chˆa´t: 1) h(x, y) =h(y, x).

2) h(λx₁+µx₂, y) = λh(x₁, y) +µh(x₂, y) v´o.i mo.i x, y ∈H, λ∈K.

Ho.n n˜u.a |h(x, y)|=|Ax, y| ≤ A x y.

5.1.1 D- i.nh nghı˜a. Cho H la` mˆo.t khˆong gian Hilbert, phiˆe´m ha`m h :

H×H → K tho’a ma˜ n ca´ c d¯iˆ` u kiˆe.n 1) va` 2) nˆeu trˆen d¯ˆoe ` ng th`o.i liˆen tu.c theo t`u.ng biˆ´n d¯u.o..c go.i la` mˆo.t da.ng Hermite o.’ trˆene H.

5.1.2 D- i.nh ly´. Gia’ su.’ H la` mˆo<sub>. t khˆ</sub>ong gian Hilbert, h la` mˆo_{. t da. ng Hermite} o.’ trˆen H. Khi d¯o´ h la` ha`m liˆen tu_{. c (theo ca’ 2 biˆ}´n d¯ˆe ` ng th`o o.i). Do vˆa_{. y, ta co}´ :

(∃M > 0) (∀x, y∈H) : |h(x, y)| ≤M x y.

Ch´u.ng minh. Ta chı’ cˆ` n ch´a u.ng minh h liˆen tu.c ta.i (0,0).

Gia’ su.’ (xn, yn) → (0,0). Ta kiˆe’m tra h(xn, yn) → 0. V´o.i mo.i n ∈ N d¯˘a.t

z_n^∗(y) = h(xn, y), y ∈ H. Khi d¯o´ z_n^∗ ∈ H^∗ = H. D- ˆe’ y´ r˘`ng,a ∀y ∈ H, z_n^∗(y) =

h(x_n, y)→h(0, y) = 0 (do h liˆen tu.c theo t`u.ng biˆe´n.) ´<sub>Ap du.ng d¯i.nh ly</sub>´ Banach- Steinhaus ta thˆa´y tˆ` n ta.io M > sao cho v´o.i mo.i n ∈Nthı` z^∗_n ≤M. Khi ˆa´y ta co´ :

Vˆa.y h la` phiˆ´m hae `m liˆen tu.c theo ca’ hai biˆe´n.

Bˆay gi`o. su.’ du.ng d¯i.nh nghı˜a liˆen tu.c b˘a`ng ngˆon ng˜u. , δ, ta co´ v´o.i = 1,

tˆ` n ta.io δ >0 sao cho v´o.i mo.i x, y∈ H, x ≤ δ, y ≤δ thı` |h(x, y)| ≤1. Nˆ´ue

x = 0, y = 0 ta co´ |h(^δx_x, ^δy_y)| ≤ 1 hay |h(x, y)| ≤ ¹

δ²x y. Bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c na`y hiˆe’n nhiˆen d¯u´ ng khi x= 0 hay y = 0.

5.1.3 D- i.nh ly´. Nˆe´u h: H×H →K la` mˆo<sub>. t da. ng Hermite trˆ</sub>en khˆong gian Hilbert H thı` tˆ` n ta.i duy nhˆa´t toa´n tu.’ tu.. liˆen hiˆe.po A trˆen H sao cho

h(x, y) =Ax, y, ∀x, y ∈H.

Ch´u.ng minh. V´o.i mo.i y ∈H d¯˘a.t z^∗_y : H → K, x→ h(x, y), x ∈H. Ta co´ ngay la` z<sub>y</sub><sup>∗</sup> ∈ H<sup>∗</sup> = H. Theo d¯i.nh ly´ Riesz, tˆ` n ta.io z ∈ H sao cho v´o.i mo.i

x ∈ H : z_y^∗(x) = x, z. D- ˘a.t z = Ay. Khi d¯o´ ta kiˆe’m tra d¯u.o._{. c} A la` toa´ n tu.’ tuyˆ´n tı´nh. Ngoae `i ra, h(Ay, y) =Ay, Ay= Ay2 ≤MAy y nˆen

z=Ay =z_y^∗ ≤M y, ∀y ∈H.

Vˆa.y A bi. ch˘a.n. Ho.n n˜u.a ta co´

Ax, y=y, Ax= z^∗_x(y) =h(y, x) =h(x, y) = x, Ay.

Nhu. thˆ´e _{A la` tu.. liˆen hiˆ}e.p. Nˆe´u co´ toa´ n tu.’ tu._{. liˆ}en hiˆe.p B sao cho h(x, y) =

Ax, y =Bx, y, v´o.i mo.i x, y ∈H thı` (A−B)x, y= 0 nˆen (A−B)x,(A−

B)x= 0 v´o.i mo.i x∈H. T`u. d¯o´ suy ra A= B.

5.2 Toa´ n tu.’ chiˆe´u.

5.2.1 D- i.nh nghı˜a. Gia’ su.’ <sub>H la` mˆ</sub>o.t khˆong gian Hilbert va` M la` mˆo.t khˆong gian con d¯o´ ng cu’a H. Ta biˆ´t r˘e `ng, v´o.i mˆo˜ia x ∈H co´ thˆe’ biˆe’u diˆ˜n mˆo.te ca´ ch duy nhˆa´t du.´o.i da.ng

x=y+z, trong d¯o´ y ∈M, z ∈M^⊥.

Xe´ t toa´ n tu.’

P : H →H

x=y+z → P x=y

Hiˆe’n nhiˆen P la` mˆo.t toa´ n tu.’ tuyˆe´n tı´nh. Ta go.i P la` phe´ p chiˆe´u hay toa´ n tu.’ chiˆ´ue t`u. khˆong gian H lˆen khˆong gian con d¯o´ ng M.

Ky´ hiˆe.u I la` toa´ n tu.’ d¯ˆ` ng nhˆo a´t trˆen H, ta co´

z =x−y =x−P x= (I −P)x

nˆen I −P la` toa´ n tu.’ chiˆe´u t`u. khˆong gian H lˆen khˆong gian con d¯o´ ng M^⊥.

V´o.i mo.i x ∈ H ta co´ x2 ₌ y2 ₊z2_{, do y}⊥z. Nhu. vˆa.y P x =

y ≤ x nghı˜a la` P liˆen tu.c va` P ≤ 1. Nˆ´ue M = {0} ta lˆa´y y ∈ M thı`

P y =y nˆen P ≥1 t´u.c la` P = 1.

5.2.2 Mˆe.nh d¯ˆe` . Toa´ n tu.’ chiˆ´ue P t`u. khˆong gian Hilbert H lˆen khˆong gian con d¯o´ ng M la` tu.<sub>. liˆ</sub>en hiˆe.p va` tho’a ma˜ n d¯˘a’ng th´u.c P²=P.

Ch´u.ng minh. Hiˆe’n nhiˆen P² = P t`u. d¯i.nh nghı˜a. V´o.i mo.i x₁, x₂ ∈ H ta viˆ´te

x₁=y₁+z₁, x₂ =y₂+z₂, trong d¯o´ y₁, y₂ ∈M; z₁, z₂∈M^⊥.

Nhu. vˆa.y

P x₁, x₂ =y₁, y₂+z₂ =y₁, y₂ =x₂, P x₁.

5.2.3 Mˆe.nh d¯ˆe` . Cho P : H →H la` mˆo_{. t toa}´ n tu.’ tu._{. liˆ}en hiˆe.p trong khˆong gian Hilbert tho’a ma˜ n d¯iˆ` u kiˆe.ne P<sup>2</sup> =P. Khi d¯o´ P la` mˆo_{. t toa}´ n tu.’ chiˆe´u.

Ch´u.ng minh. Ky´ hiˆe.u M = P(H). Ta ch´u.ng minh M la` mˆo.t khˆong gian con d¯o´ ng cu’a H. Gia’ su.’ <sub>M</sub> yn → y<sub>0</sub> thı` tˆ` n ta.io xn ∈H d¯ˆe’ P xn = yn. Do P

liˆen tu.c va` t`u. gia’ thiˆe´t, ta co´

P y_n = P²x_n =P x_n =y_n →y₀, P y_n →P y₀.

Vˆa.y P y₀ =y₀ hay y₀ ∈M.

Bˆay gi`o., v´o.i mo.i x ∈H, ta viˆ´te x= P x+ (x−P x). D- ˆe’ y´ r˘a`ng,

∀y ∈H, P y, x−P x= y, P x−P x = 0 nghı˜a la` x−P x∈M<sup>⊥</sup> va` H =M ⊕M^⊥.

Sau d¯ˆay la` mˆo.t sˆo´ tı´nh chˆa´t hı`nh ho.c cu’a toa´ n tu.’ chiˆe´u.

5.2.4 D- i.nh ly´. Cho P₁, P₂ la` 2 toa´ n tu.’ chiˆ´u t`e u. khˆong gian Hilbert H lˆen ca´ c khˆong gian con d¯o´ ng M₁, M₂. Ca´ c mˆe.nh d¯ˆe` sau d¯ˆay la` tu.o.ng d¯u.o.ng:

a) M₁ ⊥ M₂.

c) P₁+P₂ la` mˆo_{. t toa}´ n tu.’ chiˆ´u.e

Lu´ c d¯o´ P₁+P₂ la` toa´ n tu.’ chiˆ´u lˆen khˆe ong gian con M₁⊕M₂.

Ch´u.ng minh. a) ⇒ b). Lˆa´y bˆa´t ky` x ∈ H thı` P₁x ∈ M₁. Do M₁⊥M₂ nˆen P₂(P₁x) = 0 hay P₂P₁= 0. b)⇒ a). Lˆa´y x₁∈M₁, x₂∈M₂ ta co´ x₁=P₁x₁, x₂ =P₂x₂. Do x₁, x₂=P₁x₁, P₁x₂ =x₁, P₁P₂x₂ = 0, nˆen x₁⊥x₂. b)⇒ c). Ta co´ (P₁+P₂)^∗ =P₁^∗+P₂^∗ =P₁+P₂. Ngoa`i ra (P₁+P₂)² = (P₁+P₂)(P₁+P₂) = P₁²+P₁P₂+P₂P₁+P₂² =P₁+P₂.

Nhu. vˆa.y theo Mˆe.nh d¯ˆe` 5.2.3 thı`P₁+P₂ la` mˆo.t toa´ n tu.’ chiˆe´u.

Ta ky´ hiˆe.u M =M₁⊕M₂ va` go.i P la` toa´ n tu.’ chiˆe´u t`u.H lˆen M. V´o.i mo.i

x ∈ H ta viˆ´te x = P x+ (I −P)x. Do P x ∈ M nˆen P x = u+v, trong d¯o´

u ∈ M₁, v ∈ M₂ nhu. thˆ´e _{x = u+v + (I} −P)x. Vı` M₁⊥M₂ nˆen v⊥M₁, (I −

P)x⊥M₁, suy ra v + (I −P)x⊥M₁ nhu. thˆ´e _{P1x = u, tu.o.ng tu.. P2x = v nˆen}

P x=P₁x+P₂x= (P₁+P₂)x. Vˆa.y P =P₁+P₂ hay P₁+P₂ la` toa´ n tu.’ chiˆe´u cu’a H lˆen khˆong gian con M₁⊕M₂.

c) ⇒ b). Nˆ´ue P₁ +P₂ la` toa´ n tu.’ chiˆe´u thı` t`u. viˆe.c khai triˆe’n d¯˘a’ng th´u.c (P<sub>1</sub>+P<sub>2</sub>)<sup>2</sup> =P<sub>1</sub>+P<sub>2</sub> ta co´ P<sub>1</sub>P<sub>2</sub>+P<sub>2</sub>P<sub>1</sub> = 0. Nhˆan P<sub>1</sub> lˆ` n lu.o.a _{. t va}`o bˆen tra´ i va` bˆen pha’i d¯˘a’ng th´u.c na`y thı` d¯u.o._{. c}

P₁P₂+P₁P₁P₁= 0, P₁P₂P₁+P₂P₁ = 0.

Cˆo.ng 2 d¯˘a’ng th´u.c na`y la.i, vˆe´ theo vˆe´ ta nhˆa.n d¯u.o..c 2P₁P₂P₁ = 0. Suy ra

P₁P₂ =P₂P₁= 0.

5.3 Toa´ n tu.’ du.o.ng.

5.3.1 D- i.nh nghı˜a. Cho H la` mˆo.t khˆong gian Hilbert. Toa´ n tu.’ tuyˆe´n tı´nh liˆen tu.c A ∈ L(H) d¯u.o.<sub>. c go.i la</sub>` mˆo.t toa´ n tu.’ du.o.ng nˆ´ue Ax, x ≥ 0 v´o.i mo.i

x∈H. Khi d¯o´ ta ky´ hiˆe.u A≥0.

Theo D- i.nh ly´ 4.2.2, nˆe´u A ≥ 0 va` H la` khˆong gian Hilbert ph´u.c thı` A la` mˆo.t toa´ n tu.’ tu._{. liˆ}en hiˆe.p.

Cho A, B la` 2 toa´ n tu.’ tu.<sub>. liˆ</sub>en hiˆe.p. Ta ky´ hiˆe.u A≥ B nˆ´ue A−B ≥0 t´u.c la` Ax, x ≥ Bx, x v´o.i mo.i x ∈H. D- ˆe’ y´ r˘a`ng quan hˆe. “ ≥” co´ tı´nh pha’n xa.,

pha’n d¯ˆo´i x´u.ng va` b˘a´c cˆa` u. Nhu. vˆa.y trˆen tˆa.p A(H) ca´ c toa´ n tu.’ tu._{. liˆ}en hiˆe.p trong khˆong gian Hilbert H ta xa´ c d¯i.nh d¯u.o..c quan hˆe. th´u. tu.. bˆo. phˆa.n “≥”.

5.3.2 Vı´ du_{. .}

1. Toa´ n tu.’ chiˆe´u trong khˆong gian Hilbert H la` mˆo.t toa´ n tu.’ du.o.ng vı` v´o.i mo.i x∈H ta co´ :

P x, x=P(P x), x =P x, P x= P x² ≥0.

2. Cho A ∈ L(H). Khi ˆa´y A^∗A ≥0. Thˆa.t vˆa.y, v´o.i mo.i x∈H ta co´

A^∗Ax, x=Ax, Ax=Ax² ≥0.

5.3.3 Mˆe.nh d¯ˆe` . Cho A∈ L(H) va` A ≥0. Khi d¯o´ v´o.i mo_{. i} x, y ∈H ta co´

|Ax, y|2≤ Ax, xAy, y. (5.3)

Ch´u.ng minh. D- ˘a.t [x, y] = Ax, y thı` [., .] la` mˆo.t da.ng song tuyˆe´n tı´nh du.o.ng trˆenH. Ap du.ng ca^´ ´ ch ch´u.ng minh bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c Schwarz cho da.ng na`y ta d¯u.o._{. c kˆ}´t qua’.e

5.3.4 Hˆe. qua’. Nˆ´ue A∈ L(H) va` A≥0 thı`

∀x ∈H, Ax2 ≤ A Ax, x.

Thˆa.t vˆa.y, lˆa´y y =Ax trong (5.3) ta co´ kˆ´t qua’. T`e u. d¯ˆay ta thˆa´y r˘a`ng nˆe´u

Ax, x= 0 thı` Ax= 0.

5.3.5 Mˆe.nh d¯ˆe` Cho A, B, C ∈ A(H) va` α ∈ K. Ta co´ ca´ c tı´nh chˆa´t sau