M˘a.t kha´ c, do Ay, x=y, Ax= Ax, y nˆen
Vˆa.y 4|ReAx, y|=|A(x+y), x+y − A(x−y), x−y| ≤α x+y2+x−y2 = 2α x2+y2 .
V´o.i x ∈ H ma` x = 1, nˆ´ue Ax = 0, ta d¯˘a.t y = Ax
Ax, khi d¯o´ y = 1.
Thay x, y va`o bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c trˆen va` ru´ t go.n ta d¯u.o..c Ax ≤α. T`u. cˆong th´u.c tı´nh chuˆa’n ta suy ra
A = sup
x=1Ax ≤α.
Vˆa.y A=α = sup
x=1{|Ax, x|} va` d¯i.nh ly´ d¯u.o.. c ch´u.ng minh.
Sau cu`ng ta xe´ t mˆo.t tı´nh chˆa´t cu’a toa´ n tu.’ tu.. liˆen hiˆe.p ma` no´ chı’ d¯u´ ng trong khˆong gian Hilbert ph´u.c.
4.2.2 D- i.nh ly´. Cho H la` mˆo. t khˆong gian Hilbert ph´u.c va` A ∈ L(H). D- iˆe` u kiˆe.n cˆa` n va` d¯u’ d¯ˆe’ A tu.. liˆen hiˆe.p la` Ax, x ∈ R v´o.i mo. i x∈H.
Ch´u.ng minh.
• D- iˆe` u kiˆe.n cˆa` n. Gia’ su.’ A=A∗, khi d¯o´ v´o.i mo.i x∈H ta co´
Ax, x=x, Ax =Ax, x.
Vˆa.y Ax, x ∈R.
• D- iˆe` u kiˆe.n d¯u’. Cho x, y ∈ H. D- ˘a.t a = Ax, x, b = Ay, y, c = A(x+
y), x+y, d =A(x+iy), x+iy. Theo gia’ thiˆ´t ta coe ´ a, b, c, d∈R. Ngoa`i ra
c=Ax, x+Ay, y+Ax, y+Ay, x
=a+b+Ax, y+Ay, x
Tu.o.ng tu.. , d=a+b−iAx, y+iAy, x.
T`u. d¯o´ suy ra
Ax, y+Ay, x=c−(a+b) = u∈R,
−iAx, y+iAy, x=d−(a+b) =v ∈R.
Nhu. vˆa.y u+iv= 2Ax, y, u−iv= 2Ay, x nˆen Ax, y=Ay, x=x, Ay.
B `AI T ˆA. P
1. Gia’ su.’ M l`a khˆong gian con d¯´ong cu’a khˆong gian Hilbert H v`a x∗ l`a phiˆe´m h`am tuyˆe´n t´ınh liˆen tu.c trˆen M. Ch´u.ng minh r˘a`ng tˆo`n ta.i mˆo.t phiˆe´m h`am tuyˆe´n t´ınh liˆen tu.c duy nhˆa´t ˜x trˆen H sao cho ˜x|M =x∗ v`a x∗ =x˜.
2. Gia’ su.’ (ajk), j, k = 1,2, . . . l`a mˆo.t ma trˆa.n vˆo ha.n v´o.i ajk l`a nh˜u.ng sˆo´ ph´u.c thoa’ m˜an d¯iˆ` u kiˆe.ne ∞
j=1
∞
k=1|ajk|2 < ∞. Ta x´ac d¯i.nh ´anh xa. A : 2 → 2
nhu. sau: v´o.i x= (ξj)j ∈2, Ax= (ηj)j trong d¯´o
ηj =
∞
k=1
ajkξk, j = 1,2, . . .
a) Ch´u.ng minh A l`a to´an tu.’ tuyˆe´n tı´nh liˆen tu.c t`u.2 v`ao 2.
b) X´ac d¯i.nh to´an tu’ liˆen hiˆe.p. A∗ cu’a A. Nˆeu d¯iˆ` u kiˆe.n d¯ˆe’e A l`a to´an tu.’ tu.. liˆen hiˆe.p.
3. Ch´u.ng minh r˘a`ng to´an tu.’ A: L2[0,1] →L2[0,1] x´ac d¯i.nh bo’ i cˆ. ong th´u.c
Ax(t) = t
0
x(s)ds, t ∈[0,1]
l`a to´an tu.’ tuyˆe´n t´ınh liˆen tu.c. T`ım to´an tu.’ liˆen hiˆe.p A∗ cu’a A.
4. T`ım to´an tu.’ liˆen hiˆe.p cu’a to´an tu.’A: L2[0,1]→ L2[0,1] x´ac d¯i.nh bo’ i.
Ax(t) = t
0
tx(s)ds, t∈[0,1].
5. Gia’ su.’ (En)n l`a mˆo.t d˜ay gia’m c´ac tˆa.p lˆo`i, d¯´ong trong khˆong gian Hilbert H. V´o.i mo.i x ∈ H, ta k´y hiˆe.u dn(x) l`a khoa’ng c´ach t`u. x d¯ˆe´n En. D- ˘a.t
d(x) = lim
n→∞dn(x).
a) Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u v´o.i ´ıt nhˆa´t mˆo.t x ∈ H sao cho d(x) l`a h˜u.u ha.n th`ıd(x) h˜u.u ha.n v´o.i mo.i x ∈H. T`u. d¯ˆay vˆ` sau ta gia’ thiˆe´t nhu. vˆe a.y. K´y hiˆe.u
A(x, , n) =En∩B(x, d(x) +) trong d¯´o >0, B(x, d(x) +) l`a h`ınh cˆ` u d¯´a ong tˆam x, b´an k´ınh d(x) +.
b) Ch´u.ng minh r˘a`ng khi tiˆe´n d¯ˆe´n 0 v`a n tiˆe´n d¯ˆe´n vˆo tˆa.n, d¯u.`o.ng k´ınh cu’a
A(x, , n) tiˆe´n d¯ˆe´n 0.
c) T`u. d¯´o suy ra E =n∞∩=1En = ∅ v`a d(x) = d(x, E).
Cho {x1, x2, . . . , xn. . .} l`a mˆo.t hˆe. tru. c giao d. ¯ˆe´m d¯u.o.. c c´ac vecto. trong H. Ch´u.ng minh 3 mˆe.nh d¯ˆe` sau l`a tu.o.ng d¯u.o.ng:
a)
∞
n=1
xn hˆo.i tu. ma.nh trong H (hˆo.i tu. theo chuˆa’n). b)
∞
n=1
xn hˆo.i tu. yˆe´u. c) ∞ n=1 xn2 hˆo.i tu.. §5. M ˆO. T SOˆ´ TO ´AN TU’ TU.. . LIEN HI ˆˆ E. P 5.1 Da. ng Hermite.
Cho H la` mˆo.t khˆong gian Hilbert, A la` toa´ n tu.’ tu.. liˆen hiˆe.p trˆen H. Xe´ t phiˆ´m hae `m h: H ×H → K xa´ c d¯i.nh bo’ i cˆ. ong th´u.c
h(x, y) = Ax, y, ∀x, y ∈H.
Khi d¯o´ ta co´ ca´ c tı´nh chˆa´t: 1) h(x, y) =h(y, x).
2) h(λx1+µx2, y) = λh(x1, y) +µh(x2, y) v´o.i mo.i x, y ∈H, λ∈K.
Ho.n n˜u.a |h(x, y)|=|Ax, y| ≤ A x y.
5.1.1 D- i.nh nghı˜a. Cho H la` mˆo.t khˆong gian Hilbert, phiˆe´m ha`m h :
H×H → K tho’a ma˜ n ca´ c d¯iˆ` u kiˆe.n 1) va` 2) nˆeu trˆen d¯ˆoe ` ng th`o.i liˆen tu.c theo t`u.ng biˆ´n d¯u.o..c go.i la` mˆo.t da.ng Hermite o.’ trˆene H.
5.1.2 D- i.nh ly´. Gia’ su.’ H la` mˆo. t khˆong gian Hilbert, h la` mˆo. t da. ng Hermite o.’ trˆen H. Khi d¯o´ h la` ha`m liˆen tu. c (theo ca’ 2 biˆ´n d¯ˆe ` ng th`o o.i). Do vˆa. y, ta co´ :
(∃M > 0) (∀x, y∈H) : |h(x, y)| ≤M x y.
Ch´u.ng minh. Ta chı’ cˆ` n ch´a u.ng minh h liˆen tu.c ta.i (0,0).
Gia’ su.’ (xn, yn) → (0,0). Ta kiˆe’m tra h(xn, yn) → 0. V´o.i mo.i n ∈ N d¯˘a.t
zn∗(y) = h(xn, y), y ∈ H. Khi d¯o´ zn∗ ∈ H∗ = H. D- ˆe’ y´ r˘`ng,a ∀y ∈ H, zn∗(y) =
h(xn, y)→h(0, y) = 0 (do h liˆen tu.c theo t`u.ng biˆe´n.) ´Ap du.ng d¯i.nh ly´ Banach- Steinhaus ta thˆa´y tˆ` n ta.io M > sao cho v´o.i mo.i n ∈Nthı` z∗n ≤M. Khi ˆa´y ta co´ :
Vˆa.y h la` phiˆ´m hae `m liˆen tu.c theo ca’ hai biˆe´n.
Bˆay gi`o. su.’ du.ng d¯i.nh nghı˜a liˆen tu.c b˘a`ng ngˆon ng˜u. , δ, ta co´ v´o.i = 1,
tˆ` n ta.io δ >0 sao cho v´o.i mo.i x, y∈ H, x ≤ δ, y ≤δ thı` |h(x, y)| ≤1. Nˆ´ue
x = 0, y = 0 ta co´ |h(δxx, δyy)| ≤ 1 hay |h(x, y)| ≤ 1
δ2x y. Bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c na`y hiˆe’n nhiˆen d¯u´ ng khi x= 0 hay y = 0.
5.1.3 D- i.nh ly´. Nˆe´u h: H×H →K la` mˆo. t da. ng Hermite trˆen khˆong gian Hilbert H thı` tˆ` n ta.i duy nhˆa´t toa´n tu.’ tu.. liˆen hiˆe.po A trˆen H sao cho
h(x, y) =Ax, y, ∀x, y ∈H.
Ch´u.ng minh. V´o.i mo.i y ∈H d¯˘a.t z∗y : H → K, x→ h(x, y), x ∈H. Ta co´ ngay la` zy∗ ∈ H∗ = H. Theo d¯i.nh ly´ Riesz, tˆ` n ta.io z ∈ H sao cho v´o.i mo.i
x ∈ H : zy∗(x) = x, z. D- ˘a.t z = Ay. Khi d¯o´ ta kiˆe’m tra d¯u.o.. c A la` toa´ n tu.’ tuyˆ´n tı´nh. Ngoae `i ra, h(Ay, y) =Ay, Ay= Ay2 ≤MAy y nˆen
z=Ay =zy∗ ≤M y, ∀y ∈H.
Vˆa.y A bi. ch˘a.n. Ho.n n˜u.a ta co´
Ax, y=y, Ax= z∗x(y) =h(y, x) =h(x, y) = x, Ay.
Nhu. thˆ´e A la` tu.. liˆen hiˆe.p. Nˆe´u co´ toa´ n tu.’ tu.. liˆen hiˆe.p B sao cho h(x, y) =
Ax, y =Bx, y, v´o.i mo.i x, y ∈H thı` (A−B)x, y= 0 nˆen (A−B)x,(A−
B)x= 0 v´o.i mo.i x∈H. T`u. d¯o´ suy ra A= B.
5.2 Toa´ n tu.’ chiˆe´u.
5.2.1 D- i.nh nghı˜a. Gia’ su.’ H la` mˆo.t khˆong gian Hilbert va` M la` mˆo.t khˆong gian con d¯o´ ng cu’a H. Ta biˆ´t r˘e `ng, v´o.i mˆo˜ia x ∈H co´ thˆe’ biˆe’u diˆ˜n mˆo.te ca´ ch duy nhˆa´t du.´o.i da.ng
x=y+z, trong d¯o´ y ∈M, z ∈M⊥.
Xe´ t toa´ n tu.’
P : H →H
x=y+z → P x=y
Hiˆe’n nhiˆen P la` mˆo.t toa´ n tu.’ tuyˆe´n tı´nh. Ta go.i P la` phe´ p chiˆe´u hay toa´ n tu.’ chiˆ´ue t`u. khˆong gian H lˆen khˆong gian con d¯o´ ng M.
Ky´ hiˆe.u I la` toa´ n tu.’ d¯ˆ` ng nhˆo a´t trˆen H, ta co´
z =x−y =x−P x= (I −P)x
nˆen I −P la` toa´ n tu.’ chiˆe´u t`u. khˆong gian H lˆen khˆong gian con d¯o´ ng M⊥.
V´o.i mo.i x ∈ H ta co´ x2 = y2 +z2, do y⊥z. Nhu. vˆa.y P x =
y ≤ x nghı˜a la` P liˆen tu.c va` P ≤ 1. Nˆ´ue M = {0} ta lˆa´y y ∈ M thı`
P y =y nˆen P ≥1 t´u.c la` P = 1.
5.2.2 Mˆe.nh d¯ˆe` . Toa´ n tu.’ chiˆ´ue P t`u. khˆong gian Hilbert H lˆen khˆong gian con d¯o´ ng M la` tu.. liˆen hiˆe.p va` tho’a ma˜ n d¯˘a’ng th´u.c P2=P.
Ch´u.ng minh. Hiˆe’n nhiˆen P2 = P t`u. d¯i.nh nghı˜a. V´o.i mo.i x1, x2 ∈ H ta viˆ´te
x1=y1+z1, x2 =y2+z2, trong d¯o´ y1, y2 ∈M; z1, z2∈M⊥.
Nhu. vˆa.y
P x1, x2 =y1, y2+z2 =y1, y2 =x2, P x1.
5.2.3 Mˆe.nh d¯ˆe` . Cho P : H →H la` mˆo. t toa´ n tu.’ tu.. liˆen hiˆe.p trong khˆong gian Hilbert tho’a ma˜ n d¯iˆ` u kiˆe.ne P2 =P. Khi d¯o´ P la` mˆo. t toa´ n tu.’ chiˆe´u.
Ch´u.ng minh. Ky´ hiˆe.u M = P(H). Ta ch´u.ng minh M la` mˆo.t khˆong gian con d¯o´ ng cu’a H. Gia’ su.’ M yn → y0 thı` tˆ` n ta.io xn ∈H d¯ˆe’ P xn = yn. Do P
liˆen tu.c va` t`u. gia’ thiˆe´t, ta co´
P yn = P2xn =P xn =yn →y0, P yn →P y0.
Vˆa.y P y0 =y0 hay y0 ∈M.
Bˆay gi`o., v´o.i mo.i x ∈H, ta viˆ´te x= P x+ (x−P x). D- ˆe’ y´ r˘a`ng,
∀y ∈H, P y, x−P x= y, P x−P x = 0 nghı˜a la` x−P x∈M⊥ va` H =M ⊕M⊥.
Sau d¯ˆay la` mˆo.t sˆo´ tı´nh chˆa´t hı`nh ho.c cu’a toa´ n tu.’ chiˆe´u.
5.2.4 D- i.nh ly´. Cho P1, P2 la` 2 toa´ n tu.’ chiˆ´u t`e u. khˆong gian Hilbert H lˆen ca´ c khˆong gian con d¯o´ ng M1, M2. Ca´ c mˆe.nh d¯ˆe` sau d¯ˆay la` tu.o.ng d¯u.o.ng:
a) M1 ⊥ M2.
c) P1+P2 la` mˆo. t toa´ n tu.’ chiˆ´u.e
Lu´ c d¯o´ P1+P2 la` toa´ n tu.’ chiˆ´u lˆen khˆe ong gian con M1⊕M2.
Ch´u.ng minh. a) ⇒ b). Lˆa´y bˆa´t ky` x ∈ H thı` P1x ∈ M1. Do M1⊥M2 nˆen P2(P1x) = 0 hay P2P1= 0. b)⇒ a). Lˆa´y x1∈M1, x2∈M2 ta co´ x1=P1x1, x2 =P2x2. Do x1, x2=P1x1, P1x2 =x1, P1P2x2 = 0, nˆen x1⊥x2. b)⇒ c). Ta co´ (P1+P2)∗ =P1∗+P2∗ =P1+P2. Ngoa`i ra (P1+P2)2 = (P1+P2)(P1+P2) = P12+P1P2+P2P1+P22 =P1+P2.
Nhu. vˆa.y theo Mˆe.nh d¯ˆe` 5.2.3 thı`P1+P2 la` mˆo.t toa´ n tu.’ chiˆe´u.
Ta ky´ hiˆe.u M =M1⊕M2 va` go.i P la` toa´ n tu.’ chiˆe´u t`u.H lˆen M. V´o.i mo.i
x ∈ H ta viˆ´te x = P x+ (I −P)x. Do P x ∈ M nˆen P x = u+v, trong d¯o´
u ∈ M1, v ∈ M2 nhu. thˆ´e x = u+v + (I −P)x. Vı` M1⊥M2 nˆen v⊥M1, (I −
P)x⊥M1, suy ra v + (I −P)x⊥M1 nhu. thˆ´e P1x = u, tu.o.ng tu.. P2x = v nˆen
P x=P1x+P2x= (P1+P2)x. Vˆa.y P =P1+P2 hay P1+P2 la` toa´ n tu.’ chiˆe´u cu’a H lˆen khˆong gian con M1⊕M2.
c) ⇒ b). Nˆ´ue P1 +P2 la` toa´ n tu.’ chiˆe´u thı` t`u. viˆe.c khai triˆe’n d¯˘a’ng th´u.c (P1+P2)2 =P1+P2 ta co´ P1P2+P2P1 = 0. Nhˆan P1 lˆ` n lu.o.a . t va`o bˆen tra´ i va` bˆen pha’i d¯˘a’ng th´u.c na`y thı` d¯u.o.. c
P1P2+P1P1P1= 0, P1P2P1+P2P1 = 0.
Cˆo.ng 2 d¯˘a’ng th´u.c na`y la.i, vˆe´ theo vˆe´ ta nhˆa.n d¯u.o..c 2P1P2P1 = 0. Suy ra
P1P2 =P2P1= 0.
5.3 Toa´ n tu.’ du.o.ng.
5.3.1 D- i.nh nghı˜a. Cho H la` mˆo.t khˆong gian Hilbert. Toa´ n tu.’ tuyˆe´n tı´nh liˆen tu.c A ∈ L(H) d¯u.o.. c go.i la` mˆo.t toa´ n tu.’ du.o.ng nˆ´ue Ax, x ≥ 0 v´o.i mo.i
x∈H. Khi d¯o´ ta ky´ hiˆe.u A≥0.
Theo D- i.nh ly´ 4.2.2, nˆe´u A ≥ 0 va` H la` khˆong gian Hilbert ph´u.c thı` A la` mˆo.t toa´ n tu.’ tu.. liˆen hiˆe.p.
Cho A, B la` 2 toa´ n tu.’ tu.. liˆen hiˆe.p. Ta ky´ hiˆe.u A≥ B nˆ´ue A−B ≥0 t´u.c la` Ax, x ≥ Bx, x v´o.i mo.i x ∈H. D- ˆe’ y´ r˘a`ng quan hˆe. “ ≥” co´ tı´nh pha’n xa.,
pha’n d¯ˆo´i x´u.ng va` b˘a´c cˆa` u. Nhu. vˆa.y trˆen tˆa.p A(H) ca´ c toa´ n tu.’ tu.. liˆen hiˆe.p trong khˆong gian Hilbert H ta xa´ c d¯i.nh d¯u.o..c quan hˆe. th´u. tu.. bˆo. phˆa.n “≥”.
5.3.2 Vı´ du. .
1. Toa´ n tu.’ chiˆe´u trong khˆong gian Hilbert H la` mˆo.t toa´ n tu.’ du.o.ng vı` v´o.i mo.i x∈H ta co´ :
P x, x=P(P x), x =P x, P x= P x2 ≥0.
2. Cho A ∈ L(H). Khi ˆa´y A∗A ≥0. Thˆa.t vˆa.y, v´o.i mo.i x∈H ta co´
A∗Ax, x=Ax, Ax=Ax2 ≥0.
5.3.3 Mˆe.nh d¯ˆe` . Cho A∈ L(H) va` A ≥0. Khi d¯o´ v´o.i mo. i x, y ∈H ta co´
|Ax, y|2≤ Ax, xAy, y. (5.3)
Ch´u.ng minh. D- ˘a.t [x, y] = Ax, y thı` [., .] la` mˆo.t da.ng song tuyˆe´n tı´nh du.o.ng trˆenH. Ap du.ng ca´ ´ ch ch´u.ng minh bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c Schwarz cho da.ng na`y ta d¯u.o.. c kˆ´t qua’.e
5.3.4 Hˆe. qua’. Nˆ´ue A∈ L(H) va` A≥0 thı`
∀x ∈H, Ax2 ≤ A Ax, x.
Thˆa.t vˆa.y, lˆa´y y =Ax trong (5.3) ta co´ kˆ´t qua’. T`e u. d¯ˆay ta thˆa´y r˘a`ng nˆe´u
Ax, x= 0 thı` Ax= 0.
5.3.5 Mˆe.nh d¯ˆe` Cho A, B, C ∈ A(H) va` α ∈ K. Ta co´ ca´ c tı´nh chˆa´t sau