ra H khˆong compact d¯i.a phu.o.ng.
6. Gia’ su.’ {en}n l`a mˆo.t co. so.’ tru..c chuˆa’n cu’a khˆong gian Hilbert, Pn(x) =
n
P
k=1
hx, ekiek, x∈H, n= 1,2. . . l`a d˜ay c´ac ph´ep chiˆe´u tru.. c giao. Ch´u.ng minh
{Pn} hˆo.i tu. d¯iˆe’m d¯ˆe´n to´an tu’ d¯ˆ. ` ng nhˆo a´t I trˆen H nhu.ng khˆong hˆo.i tu. theo chuˆa’n d¯ˆe´n I.
7. Gia’ su.’ {en}n l`a mˆo.t hˆe. tru. c chuˆ. a’n trong khˆong gian Hilbert H, (λn) l`a mˆo.t d˜ay sˆo´ bi. ch˘a.n. Ch´u.ng minh:
a. Chuˆo˜i
∞ P
n=1
λnhx, enien hˆo.i tu. v´o.i mo.i x∈H.
b. To´an tu.’ Ax =
∞ P
n=1
λnhx, enien, x ∈ H l`a to´an tu.’ tuyˆe´n t´ınh liˆen tu.c. T´ınh kAk.
8. Gia’ su.’ M l`a mˆo.t khˆong gian con cu’a khˆong gian HilbertH, A: M →Y
l`a mˆo.t to´an tu’ tuyˆe´n t´ınh liˆen tu.c t`u.. M v`ao khˆong gian Banach Y.Ch´u.ng minh r˘a`ng tˆo` n ta.i mˆo.t to´an tu.’ tuyˆe´n t´ınh liˆen tu.c ˜A : H → Y sao cho ˜A
M =A v`a
kA˜k=kAk.
9. K´y hiˆe.u B0(0,1) l`a h`ınh cˆ` u d¯o.n vi. d¯´ong trong khˆong gian Hilberta H.
Ch´u.ng minh r˘a`ng v´o.i mo.i > 0 tˆ` n ta.io δ > 0 sao cho v´o.i mo.i x, y ∈ B0(0,1) tho’a m˜an d¯iˆ` u kiˆe.ne kx−yk> th`ıkx+y
2 k <1−δ.
§3. KH ˆONG GIAN LI ˆEN HI ˆE. P
3.1 Phiˆe´m ha`m tuyˆe´n tı´nh liˆen tu. c trˆen khˆong gian Hilbert.
Gia’ su.’ H la` mˆo.t khˆong gian Hilbert. Khi ˆa´y H cu˜ ng la` mˆo.t khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n, vı` vˆa.y ta se˜ quan tˆam d¯ˆ´n cˆe a´u tru´ c khˆong gian liˆen hiˆe.p cu’a no´ t´u.c la` H∗ = L(H, K).Sau d¯ˆay la` d¯i.nh ly´ nˆeu lˆen d¯˘a.c tru.ng cu’a mˆo.t phiˆe´m ha`m tuyˆ´n tı´nh liˆen tu.c trˆen khˆong gian Hilbert.e
3.3.1 D- i.nh ly´. (F. Riesz) Cho H la` mˆo. t khˆong gian Hilbert. V´o.i mˆo˜i
a∈H ta d¯˘a. t
fa : H → K, fa(x) =hx, ai, ∀ x∈H
thı` fa la` mˆo. t phiˆ´m hae `m tuyˆ´n tı´nh liˆe en tu. c trˆen H va` kfak =kak. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Ngu.o.. c la. i v´o.i mˆo˜i phiˆe´m ha`m tuyˆe´n tı´nh liˆen tu. c f ∈ H∗ d¯ˆ` u tˆe ` n ta.i duyo nhˆa´t a ∈H sao cho f =fa, nghı˜a la` ∀x∈H, f(x) =hx, ai.
Ch´u.ng minh. T`u. tı´nh chˆa´t cu’a tı´ch vˆo hu.´o.ng, ta thˆa´y fa la` mˆo.t phiˆe´m ha`m tuyˆ´n tı´nh. Ngoae `i ra bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c Schwarz cho ta
∀ x∈H : |fa(x)|= |hx, ai| ≤ kak kxk
nˆen fa ∈ H∗ va` kfak ≤ kak. Nˆ´ue a 6= 0 ta co´ kfak ≥ |fa(a)|
kak = kak nˆen
kfak =kak kˆe’ ca’ tru.`o.ng ho.. p a= 0.
Ngu.o.. c la.i, cho f ∈ H∗, ta ky´ hiˆe.u M =Kerf = f−1(0) la` mˆo.t khˆong gian con d¯o´ ng cu’a H.Nˆ´ue f = 0 thı` cho.na = 0. Nˆ´ue f 6= 0 thı` M $H.Theo d¯i.nh ly´ hı`nh chiˆ´u tru.e . c giao ta viˆ´te H =M⊕M⊥ trong d¯o´ M⊥ 6={0}. Lˆa´ye∈M⊥\{0}
thı` f(e)6= 0. V´o.i mo.i x ∈ H, d¯ˆe’ y´ r˘a`ng vecto.y = f(e)x−f(x)e∈ M = Kerf vı` f(y) = f(e)f(x)−f(x)f(e) = 0. Vˆa.y hy, ei= 0 hay hf(e)x−f(x)e, ei= 0. T`u. d¯ˆay suy ra hf(e)x, ei=f(x)kek2 hayf(x) = x, f(e) kek2e . D- ˘a.t a = f(e)
kek2e ta co´ f(x) = hx, ai = fa(x) v´o.i mo.i x ∈ H. Nˆ´u coe ´ vecto.
a0 ∈ H sao cho f(x) = hx, a0i, ∀x ∈ H thı` hx, ai = hx, a0i hay hx, a−a0i = 0, ∀x ∈ H. Lˆa´y x = a−a0 ta co´ ha−a0, a−a0i= 0 nˆen a =a0. D- i.nh ly´ d¯u.o..c ch´u.ng minh.
3.2 Khˆong gian liˆen hiˆe.p.
D- i.nh ly´ Riesz no´i lˆen r˘a`ng ta co´ thˆe’ thiˆe´t lˆa.p mˆo.t song a´nh gi˜u.a H va` H∗.
Thˆa.t vˆa.y, d¯˘a.t
ϕ : H → H∗
a7→ϕ(a) = fa,
V´o.i mo.i a, b, x ∈H va` α ∈K ta co´
ϕ(a+b)(x) =fa+b(x) = hx, a+bi
=hx, ai+hx, bi= fa(x) +fb(x) = (ϕ(a) +ϕ(b))(x)
,
ϕ(αa)(x) =fαa(x) = hx, αai
=αhx, ai=αfa(x) =αϕ(a)(x).
T`u. d¯o´ ta co´ ϕ(a+b) = ϕ(a) +ϕ(b) va` ϕ(αa) = αϕ(a). Ngoa`i ra, theo d¯i.nh ly´ Riesz ta co´ kϕ(a)k=kfak =kak v´o.i mo.i a ∈H.
Nhu. vˆa.y nˆe´u K la` tru.`o.ng sˆo´ thu.. c R thı` ϕ : H → H∗ la` song a´ nh, tuyˆ´ne tı´nh ba’o toa`n chuˆa’n hayϕ la` mˆo.t phe´ p d¯˘a’ng cu.. tuyˆ´n tı´nh gi˜e u.a hai khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n H va` H∗; co`n nˆ´ue K = C thı` ϕ la` cˆo.ng tı´nh nhu.ng khˆong thuˆa` n nhˆa´t (“thuˆ` n nhˆa a´t lˆe.ch”: ϕ(αa) = αϕ(a)) nhu.ng d¯ˆo. sai lˆe.ch co´ thˆe’ kiˆe’m soa´ t d¯u.o.. c nˆen cho phe´ p ta chuyˆe’n t`u. viˆe.c d¯ˆo` ng nhˆa´t H v´o.i H∗ theo nghı˜a d¯˘a’ng cu.. gi˜u.a hai khˆong gian mˆetric sang d¯˘a’ng cu.. tuyˆ´n tı´nh gi˜e u.a hai khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n v´o.i su.. d¯ˆ` phoe `ng thı´ch d¯a´ ng cho tı´nh “thuˆ` n nhˆa a´t lˆe.ch” no´ i trˆen.
3.3 Su.. hˆo.i tu. yˆe´u trong khˆong gian Hilbert.
Cho (xn)n la` mˆo.t da˜ y trong khˆong gian Hilbert H. Ta d¯a˜ g˘a.p kha´ i niˆe.m hˆo.i tu. yˆe´u cu’a (xn)n trong khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n o’ Chu.o.ng II. Nh`. o. d¯i.nh ly´ Riesz, ta co´ thˆe’ pha´ t biˆe’u la.i d¯i.nh nghı˜a du.´o.i da.ng tu.o.ng d¯u.o.ng trong khˆong gian Hilbert nhu. sau:
3.3.1 D- i.nh nghı˜a. Da˜ y (xn)n ⊂H d¯u.o.. c go.i la` hˆo.i tu. yˆe´u d¯ˆe´n x∈H nˆ´ue mo.i y ∈H ta co´ lim
n→∞hxn, yi = hx, yi.
Ta vˆa˜n du`ng ky´ hiˆe.u xn w
→ x khi n→ ∞ cho su.. hˆo.i tu. yˆe´u cu’a mˆo.t da˜ y (xn)n ⊂ H. Ngoa`i nh˜u.ng tı´nh chˆa´t quen thuˆo.c cu’a su. hˆ. o.i tu. yˆe´u trong khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n, nay ta co`n co´ :
3.3.2 D- i.nh ly´. Cho H la` mˆo.t khˆong gian Hilbert. Ta co´ (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
a) Nˆ´ue (xn)n hˆo. i tu. yˆ´u d¯ˆe e´n x va` (yn)n hˆo. i tu. ma. nh (t´u.c la` hˆo. i tu. theo chuˆa’n) d¯ˆe´n y thı` hxn, yni → hx, yi, n→ ∞.
b) Nˆe´u (xn)n hˆo. i tu. yˆ´u d¯ˆe ´ne x va` (kxnk)n hˆo. i tu. d¯ˆ´ne kxk thı` (xn)n hˆo. i tu. theo chuˆa’n d¯ˆ´ne x.
a) Do (xn)n hˆo.i tu. yˆe´u d¯ˆe´n x nˆen (xn)n bi. ch˘a.n nghı˜a la` tˆo` n ta.i sˆo´ α >0 sao cho kxnk ≤α v´o.i mo.i n∈N.
Ta co´ |hxn, yni − hx, yi| ≤ |hxn, yni| − |hxn, yi|+|hxn, yi − hx, yi| ≤ kxnk kyn −yk+|hxn, yi − hx, yi| ≤αkyn −yk+|hxn, yi − hx, yi| Dokyn−yk →0 va` xn w
→ xnˆen lˆa´y gi´o.i ha.n 2 vˆe´ cu’a bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c trˆen khi n→ ∞ ta co´ |hxn, yni − hx, yi| →0 hay lim
n→∞hxn, yni=hx, yi.
b) V´o.i mo.i n∈N ta co´
kxn−xk2 =hxn−x, xn−xi=kxnk2− hxn, xi − hx, xni+kxk2.
Theo gia’ thiˆ´te kxnk → kxk va` lim
n→∞hxn, xi = hx, xi = kxk2 = lim
n→∞hx, xni. Do d¯o´ cho n→ ∞ trong d¯˘a’ng th´u.c trˆen ta d¯u.o.. c lim
n→∞xn =x.
§4. TO ´AN TU’ LIˆEN HIˆE.P TRONG KHˆONG GIAN HILBERT.
4.1 D- i.nh nghı˜a va` ca´ c tı´nh chˆa´t.
Ta nh´o. la.i r˘a`ng nˆe´u X va` Y la` hai khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n va` A∈ L(X, Y) la` mˆo.t toa´ n tu.’ tuyˆe´n tı´nh liˆen tu.c thı` toa´n tu.’ liˆen hiˆe.p A∗ ∈ L(Y∗, X∗) d¯u.o.. c d¯i.nh nghı˜a bo’ i:. ∀y∗ ∈Y∗ : A∗y∗= y∗◦A. Nhu. vˆa.y ta co´ :
∀y∗ ∈Y∗, ∀x∈X, (A∗y∗)(x) =y∗(Ax). (4.1) Toa´ n tu.’ liˆen hiˆe.p trong khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n co´ ca´c tı´nh chˆa´t sau: a) (A+B)∗= A∗+B∗,
b) (αA)∗=αA∗,
c) (C ◦A)∗ =A∗◦C∗,
v´o.i mo.i A, B∈ L(X, Y), α∈K va` C ∈ L(Y, Z).
Bˆay gi`o. cho X va` Y la` hai khˆong gian Hilbert. T`u. viˆe.c d¯ˆo` ng nhˆa´t X =
X∗, Y =Y∗ va` v´o.i a∈X =X∗, a(x) = hx, ai,∀x∈X, khi ˆa´y d¯˘a’ng th´u.c (4.1) xa´ c d¯i.nh toa´ n tu.’ A∗ d¯u.o.. c viˆ´t la.i tha`nh:e
D- ˆo´i v´o.i toa´ n tu.’ tuyˆe´n tı´nh liˆen tu.c gi˜u.a ca´c khˆong gian Hilbert, ta luˆon du`ng d¯˘a’ng th´u.c (4.2) d¯ˆe’ tı´nh toa´ n A∗.
Chu´ y´ r˘a`ng ca´ c tı´nh chˆa´t a), c) cu’a toa´ n tu.’ liˆen hiˆe.p trong khˆong gian Hilbert giˆo´ng v´o.i toa´ n tu.’ liˆen hiˆe.p trong khˆong gian d¯i.nh chuˆa’n. Riˆeng tı´nh chˆa´t b) thı` thay d¯ˆo’i tha`nh (αA)∗= αA∗ la` do tı´nh chˆa´t “thuˆ` n nhˆa a´t lˆe.ch” khi d¯ˆ` ng nhˆo a´t X = X∗, Y =Y∗. Thˆa.t vˆa.y, v´o.i mo.ix ∈X, y ∈Y ta co´
x,(αA)∗y =(αA)x, y=αAx, y
=αx, A∗y=x,(αA∗)y.
Vˆa.y (αA)∗=αA∗.
4.1.1 Vı´ du. .
1. Xe´ t H la` khˆong gian Hilbert ph´u.c Cn. Ky´ hiˆe.u E = {e1, e2, . . . , en},
trong d¯o´ ei = (0, . . . ,0,1i,0, . . . ,0) ∈ Cn la` co. so.’ chı´nh t˘a´c cu’a Cn. Cho A ∈ L(Cn).Khi d¯o´ v´o.i co. so.’ E toa´ n tu.’ A co´ ma trˆa.n (aij)i,j=1,...,n.Go.i (bij)i,j=1,...,n
la` ma trˆa.n cu’a toa´ n tu.’ liˆen hiˆe.p A∗. Theo cˆong th´u.c (4.2), v´o.i mˆo˜i k, j = 1,2, . . . , n ta co´ Aek = n i=1aikei, A ∗ej = n l=1 bljel, nˆen t`u. Aek, ej = ek, A∗ej ta suy raajk = n i=1 aikei, ej = ek, n l=1 bljel =bkj. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Vˆa.y bkj =ajk nghı˜a la` ma trˆa.n cu’a toa´ n tu.’ liˆen hiˆe.p A∗ d¯u.o.. c suy t`u. ma trˆa.n cu’a A b˘a`ng ca´ ch lˆa´y liˆen hiˆe.p ca´ c sˆo´ ha.ng cu’a ma trˆa.n A rˆ` i chuyˆe’n vi..o
2. Cho ha`m thu.. c 2 biˆ´ne K(x, y)∈L2([a, b]×[a, b]) t´u.c la`
[a,b]2|K(t, s)|2dtds <+∞. D- ˘a.t A: L2[a, b]→L2[a, b] xa´ c d¯i.nh bo’ i cˆ. ong th´u.c
∀x∈L2[a, b], (Ax)(t) =
[a,b]
K(t, s)x(s)ds, v´o.i mo.i t∈[a, b].
Theo tı´nh chˆa´t cu’a tı´ch phˆan ta thˆa´y A la` mˆo.t a´ nh xa. tuyˆe´n tı´nh. ´Ap du.ng bˆa´t d¯˘a’ng th´u.c Holder ta co´ :
[a,b]K(t, s)x(s)ds 2 ≤ [a,b]|K(t, s)x(s)|ds 2 ≤ [a,b]|K(t, s)|2ds [a,b]|x(s)|2ds .
Do vˆa.y, v´o.i mo.i x∈L2[a, b], ta d¯a´ nh gia´ nhu. sau: Ax2 = [a,b] [a,b] K(t, s)x(s)ds2 dt ≤ [a,b] ( [a,b]|K(t, s)|2ds)dt [a,b]|x(s)|2ds .
Nhu. vˆay A liˆen tu.c va` A ≤
[a,b] [a,b]|K(t, x)|2ds dt 1/2 .
D- ˆe’ xa´ c d¯i.nh toa´ n tu.’ liˆen hiˆe.p A∗ : L2[a, b] → L2[a, b] ta du`ng d¯˘a’ng th´u.c (4.2) nhu. sau: ∀x, y ∈L2[a, b] :x, A∗y=Ax, y, t´u.c la`: x, A∗y= [a,b] (Ax)(t)y(t)dt= [a,b] [a,b] K(t, s)x(s)ds y(t)dt = [a,b] x(s) [a,b] K(t, s)y(t)dt ds T`u. d¯o´ suy ra (A∗y)(s) = [a,b] K(t, s)y(t)dt, ∀y ∈L2[a, b].
4.1.2 D- i.nh ly´. Cho X, Y la` hai khˆong gian Hilbert va` A ∈ L(X, Y). Khi d¯o´ ta co´
X = KerA⊕ImA∗, Y = KerA∗⊕ImA.
Ch´u.ng minh. Do A la` toa´ n tu.’ tuyˆe´n tı´nh liˆen tu.c nˆen KerA la` mˆo.t khˆong gian con d¯o´ ng cu’a X. Theo d¯i.nh ly´ hı`nh chiˆ´u tru.e . c giao, X = KerA⊕(KerA)⊥ nˆen chı’ cˆ` n ch´a u.ng minh (KerA)⊥ = ImA∗. Thˆa.t vˆa.y, v´o.i mo.i x ∈ ImA∗ thı` tˆ` n ta.i mˆo.t da˜y (o yn)n ⊂ Y sao cho lim
n→∞A ∗y
n = x. V´o.i mo.i u ∈ KerA, ta co´
x, u = lim n→∞A ∗y n, u = lim n→∞A∗yn, u = lim n→∞yn, Au = lim n→∞0 = 0. Vˆa.y
x∈(KerA)⊥ hay (KerA)⊥⊃ImA∗.
Ngu.o.. c la.i gia’ su’. x /∈ ImA∗ khi d¯o´ theo d¯i.nh ly´ Hahn-Banach va` d¯i.nh ly´ Riesz, tˆ` n ta.io a ∈ X sao cho x, a = x = 0 va` z, a = 0 v´o.i mo.i z ∈ ImA∗; d¯˘a.c biˆe.t v´o.i mo.i y ∈Ythı` A∗y, a= 0 hay y, Aa= 0. Lˆa´y y = Aa thı` suy ra
Aa = 0 nˆen a ∈KerA.Vˆa.y x /∈(KerA)⊥ vı` theo trˆen x khˆong tru.. c giao v´o.i a.
Nhu. thˆ´ (Kere A)⊥ ⊂ImA∗.
Vˆa.y phˆa` n th´u. nhˆa´t cu’a d¯i.nh ly´ d¯u.o.. c ch´u.ng minh. Phˆ` n th´a u. hai ch´u.ng minh tu.o.ng tu.. ho˘a.c thay A b˘a`ng A∗ va` d¯ˆe’ y´ r˘a`ng A∗∗=A.
4.2 Toa´ n tu.’ tu.. liˆen hiˆe.p.
Cho H la` khˆong gian Hilbert va` A ∈ L(H). Lu´ c d¯o´ toa´ n tu.’ liˆen hiˆe.p A∗
cu˜ ng thuˆo.c L(H). Nˆ´ue A = A∗ thı` ta go.i A la` toa´ n tu.’ tu.. liˆen hiˆe.p. No´ i ca´ ch kha´ c, toa´ n tu.’ A∈ L(H) d¯u.o.. c go.i la` tu.. liˆen hiˆe.p nˆe´u v´o.i mo.i x, y ∈H ta co´
x, Ay=Ax, y.
Vı´ du. . Su.’ du.ng Vı´ du. 1 trong mu.c 4.1, ta thˆa´y toa´n tu.’ A la` tu.. liˆen hiˆe.p khi va` chı’ khi aij =bij v´o.i mo.i i, j = 1, . . . , n t´u.c la` aij =aji, i, j = 1, . . . , n.
Trong Vı´ du. 2, A la` tu.. liˆen hiˆe.p khi va` chı’ khi K(t, s) = K(s, t) hˆ` u kh˘a a´p no.i trong [a, b]×[a, b].
D- ˆo´i v´o.i toa´ n tu.’ tu.. liˆen hiˆe.p trong khˆong gian Hilbert ta co`n co´ cˆong th´u.c tı´nh chuˆa’n nhu. sau: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
4.2.1 D- i.nh ly´. Cho H la` mˆo. t khˆong gian Hilbert va` A ∈ L(H) la` mˆo. t toa´ n tu.’ tu.. liˆen hiˆe.p. Khi d¯o´
A = sup
x=1{|Ax, x|}.
Ch´u.ng minh. V´o.i mo.i x ∈H ma` x = 1,´ p du.ng bˆa´t d¯˘a’ng th´ua .c Schwarz ta co´ |Ax, x| ≤ A x2 =A Do d¯o´ α= sup x=1 |Ax, x| ≤ A< +∞. V´o.i mo.i x = 0 ta co´ x x = 1 nˆen |A( x x), x
x| ≤ α. Suy ra v´o.i mo.i
x∈H ta co´ |Ax, x| ≤ αx2. V´o.i mo.i x, y ∈H ta co´ : A(x+y), x+y − A(x−y), x−y= 2